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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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 manuel459 Verfasst am: 12. Apr 2017 15:34 Titel: Widerstand eines Kegelstumpfes |
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Hey Leute, ich soll den Widerstand eines Kegelstumpfes aus Metall mit gegebene Leitfähigkeit berechnen, wenn sich der Radius des Kegels von r1 auf r2 linear erhöht, dies geschieht über eine Länge L, wobei L viel größer als r ist sodass die Komponente des elektrischen Feldes in Radialer Richtung vernachlässigbar ist.
Wäre super wenn jemand dies überprüfen könnte:
U=R*I
Das Potential=Spannung habe ich wie folgt berechnet:
U=E*L
Der Strom:
 \, \dd x )
J...Stromdichte
Dann erhalte ich für I:
)
Dies setze ich in R = U/I ein und erhalte, wenn ich für E/J=Rho (Spezifischer widerstand) einsetze folgendes:
^2} )
Vielen Dank und LG |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 12. Apr 2017 15:59 Titel: Re: Widerstand eines Kegelstumpfes |
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| manuel459 hat Folgendes geschrieben: | ...
... |
Das kann nicht sein. Das stimmt ja schon dimensionsmäßig nicht.
Außerdem verstehe ich nicht, wie Du auf die Formel für I kommst.
Ich würde ja den infinitesimal kleinen Widerstand einer parallel zur Kegelstumpfgrundfläche liegenden Scheibe der Dicke dx bestimmen und alle infinitesimal kleinen Widerstände von 0 bis L addieren (=integrieren).
mit
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 12. Apr 2017 16:15 Titel: |
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Hey,
ja das habe ich auch schon gemacht,
einfach mit dR=rho_null * dx/A(dx)
Nur stand in der Angabe explizit "mit hilfe des Ohmschen Gesetzes" und darum habe ich versucht über diesen Weg ans Ziel zu kommen |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 12. Apr 2017 16:45 Titel: |
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| manuel459 hat Folgendes geschrieben: | | einfach mit dR=rho_null * dx/A(dx) |
Kleine Korrektur: Laut Aufgabenstellung ist nicht der spezifische Widerstand  , sondern die Leitfähigkeit  gegeben. Außerdem heißt es nicht A(dx), sondern A(x).
| manuel459 hat Folgendes geschrieben: | Nur stand in der Angabe explizit "mit hilfe des Ohmschen Gesetzes" und darum habe ich versucht über diesen Weg ans Ziel zu kommen
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Dann solltest Du das über die Aufsummation infinitesimal kleiner Spannungsabfälle tun, denn die ändern sich mit x, während der Strom I an jeder Stelle x derselbe ist. Ihn, obwohl konstant, irgendwie durch Integration zu bestimmen, wie Du das versucht hast, ist deshalb unsinnig.
Letztlich läuft die geforderte Vorgehensweise auf haargenau dieselbe Rechnung, wie von mir vorgeschlagen, hinaus, nur dass U noch durch I dividiert werden muss.
}=\frac{I}{\pi\cdot r^2})
Alles in erste Gleichung einsetzen und Konstante vors Integralzeichen ziehen:
mit
Siehst Du, dass die Rechnung haargenau dieselbe ist wie in meinem vorigen Beitrag? |
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 12. Apr 2017 16:58 Titel: |
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Ach! Wunderbar, ich hatte bereits einen Forumseintrag gesehen, wo du diesen Weg beschrieben hast, konnte aber die Verbindung nicht finden...
nun ist mir alles klar! auch wie das in Relation steht und gewissermaßen eh das gleiche ist! 
Vielen Dank für die schnelle und konkrete Hilfe! |
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 13. Apr 2017 12:31 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | manuel459 hat Folgendes geschrieben: | | einfach mit dR=rho_null * dx/A(dx) |
Kleine Korrektur: Laut Aufgabenstellung ist nicht der spezifische Widerstand , sondern die Leitfähigkeit gegeben. Außerdem heißt es nicht A(dx), sondern A(x).
| manuel459 hat Folgendes geschrieben: | Nur stand in der Angabe explizit "mit hilfe des Ohmschen Gesetzes" und darum habe ich versucht über diesen Weg ans Ziel zu kommen
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Dann solltest Du das über die Aufsummation infinitesimal kleiner Spannungsabfälle tun, denn die ändern sich mit x, während der Strom I an jeder Stelle x derselbe ist. Ihn, obwohl konstant, irgendwie durch Integration zu bestimmen, wie Du das versucht hast, ist deshalb unsinnig.
Letztlich läuft die geforderte Vorgehensweise auf haargenau dieselbe Rechnung, wie von mir vorgeschlagen, hinaus, nur dass U noch durch I dividiert werden muss.
Alles in erste Gleichung einsetzen und Konstante vors Integralzeichen ziehen:
mit
Siehst Du, dass die Rechnung haargenau dieselbe ist wie in meinem vorigen Beitrag? |
jetzt habe ich doch noch eine kleine Frage,
du sagst der Strom ist konstant... damit kann aber die Stromdichte nicht konstant sein, da ich diese durch eine sich ändernde Querschnitsfläche dividiere und damit ist das Argument, die Stromdichten aufzuintegrieren doch nicht so falsch oder wo liegt denn da der Denkfehler? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 13. Apr 2017 13:09 Titel: |
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| manuel459 hat Folgendes geschrieben: | | du sagst der Strom ist konstant... damit kann aber die Stromdichte nicht konstant sein, da ich diese durch eine sich ändernde Querschnitsfläche dividiere und damit ist das Argument, die Stromdichten aufzuintegrieren doch nicht so falsch oder wo liegt denn da der Denkfehler? |
Du hast recht, die Stromdichte ist nicht konstant, sondern abhängig von x. Und das deshalb, weil der Strom konstant und die Querschnittsfläche abhängig von x ist. An einer bestimmten Stelle x ist aber die Stromdichte auf der gesamten Querschnittsfläche konstant, so dass das Integral der Stromdichte über der durchströmten Fläche dasselbe ist wie die Stromdichte mal der Fläche an dieser Stelle. Als Ergebnis kommt an jeder Stelle derselbe Strom heraus. Diese Tatache haben wir ausgedrückt durch die Beziehung
})
Du wolltest aber die Stromdichte irgendwie über x integrieren, was heißen würde, dass Du einen mit x sich ändernden Strom zugrundelegst. Das ist aber wegen des Knotenpunktsatzes nicht möglich: Durch alle Elemente einer Reihenschaltung (hier Reihenschaltung der infinitesimal kleinen scheibenförmigen Widerstände dR) fließt derselbe Strom, weil zwischen den Widerständen kein Strom zu- oder abfließen kann.
Da die Stromdichte sich mit x ändert, ändert sich auch die elektrische Feldstärke, die ja direkt proportional der Stromdichte ist (ohmsches Gesetz für infinitesimal kleine Elemente).
Da die Feldstärke sich ändert, ändert sich auch der Spannungszuwachs dU mit x, so dass man sofort auf die Idee kommen muss, die unterschiedlichen Spannungzuwächse dU zur Gesamtspannung aufzusummieren (= zu integrieren), um dann wieder das ohmsche Gesetz R=U/I anwenden zu können. Und genau das haben wir getan.
Zusammenfassend: Dein Fehler lag darin, die Stromdichte über x zu integrieren, um den Strom zu erhalten, obwohl Strom und Stromdichte über die durchströmte Fläche und nicht über den vom Strom zurückgelegten Weg verbunden sind. Also wenn schon integrieren, dann
Da im vorliegenden Fall die Stromdichte J über der betrachteten durchströmten Fläche konstant ist, kann sie vor das Integralzeichen gezogen (=ausgeklammert) werden.
Dieses Integral bedeutet nichts anderes als die Summe aller infinitesimal kleinen Flächenstücke auf der Fläche A, ist also gleich der Fläche A, woraus folgt
oder, wie weiter oben bereits gezeigt,
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 19. Apr 2017 18:08 Titel: |
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Vielen Dank für die sehr ausführliche Erklärung! Hat mir echt perfekt geholfen!
Großes Lob! ;D
Nun ist mir klar wo der Fehler lag und dass das totaler Blödsinn war!
Nochmals Danke und LG |
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Shadow49
Anmeldungsdatum: 13.04.2017
Beiträge: 13
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| Shadow49 Verfasst am: 24. Apr 2017 23:32 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | manuel459 hat Folgendes geschrieben: | | du sagst der Strom ist konstant... damit kann aber die Stromdichte nicht konstant sein, da ich diese durch eine sich ändernde Querschnitsfläche dividiere und damit ist das Argument, die Stromdichten aufzuintegrieren doch nicht so falsch oder wo liegt denn da der Denkfehler? |
Du hast recht, die Stromdichte ist nicht konstant, sondern abhängig von x. Und das deshalb, weil der Strom konstant und die Querschnittsfläche abhängig von x ist. An einer bestimmten Stelle x ist aber die Stromdichte auf der gesamten Querschnittsfläche konstant, so dass das Integral der Stromdichte über der durchströmten Fläche dasselbe ist wie die Stromdichte mal der Fläche an dieser Stelle. Als Ergebnis kommt an jeder Stelle derselbe Strom heraus. Diese Tatache haben wir ausgedrückt durch die Beziehung
Du wolltest aber die Stromdichte irgendwie über x integrieren, was heißen würde, dass Du einen mit x sich ändernden Strom zugrundelegst. Das ist aber wegen des Knotenpunktsatzes nicht möglich: Durch alle Elemente einer Reihenschaltung (hier Reihenschaltung der infinitesimal kleinen scheibenförmigen Widerstände dR) fließt derselbe Strom, weil zwischen den Widerständen kein Strom zu- oder abfließen kann.
Da die Stromdichte sich mit x ändert, ändert sich auch die elektrische Feldstärke, die ja direkt proportional der Stromdichte ist (ohmsches Gesetz für infinitesimal kleine Elemente).
Da die Feldstärke sich ändert, ändert sich auch der Spannungszuwachs dU mit x, so dass man sofort auf die Idee kommen muss, die unterschiedlichen Spannungzuwächse dU zur Gesamtspannung aufzusummieren (= zu integrieren), um dann wieder das ohmsche Gesetz R=U/I anwenden zu können. Und genau das haben wir getan.
Zusammenfassend: Dein Fehler lag darin, die Stromdichte über x zu integrieren, um den Strom zu erhalten, obwohl Strom und Stromdichte über die durchströmte Fläche und nicht über den vom Strom zurückgelegten Weg verbunden sind. Also wenn schon integrieren, dann
Da im vorliegenden Fall die Stromdichte J über der betrachteten durchströmten Fläche konstant ist, kann sie vor das Integralzeichen gezogen (=ausgeklammert) werden.
Dieses Integral bedeutet nichts anderes als die Summe aller infinitesimal kleinen Flächenstücke auf der Fläche A, ist also gleich der Fläche A, woraus folgt
oder, wie weiter oben bereits gezeigt,
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Ohne jetzt pedantisch sein zu wollen, ist diese Erklärung jedoch nicht ganz richtig.
Der Threadsteller hat schon recht - die Stromdichte ist nicht überall konstant. Am einfachsten ist das zu sehen, wenn die Laplace-Gleichung für den Kegelstumpf ausgerechnet wird und die Stromlinie / Äquipotentialflächen visualisiert werden. Das Potential ist zwar für Deck- sowie Bodenfläche konstant, dazwischen wird es allerdings in radialer Richtung durch Besselfunktionen beschrieben, sodass der Gradient des Potentials und damit die Stromdichte mehrere Komponenten (und nicht bloß die z/Höhen-Komponente) besitzt. Somit ist eigentlich die Anwenung der unendlich dünnen Scheiben eine bloße Approximation - der Fehler liegt allerdings bei <10% und ist somit noch ertragbar. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 25. Apr 2017 02:39 Titel: |
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| Shadow49 hat Folgendes geschrieben: | | Somit ist eigentlich die Anwenung der unendlich dünnen Scheiben eine bloße Approximation |
... deren Anwendung in der Aufgabenstellung vorgegeben war.
| manuel459 hat Folgendes geschrieben: | | ... wobei L viel größer als r ist sodass die Komponente des elektrischen Feldes in Radialer Richtung vernachlässigbar ist. |
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