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Henri
Anmeldungsdatum: 08.02.2014
Beiträge: 82
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 Henri Verfasst am: 04. Jan 2017 12:47 Titel: Gleichgewichtsabstand in einem 1D Van der Waals Kristall |
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Servus,
Ich habe Probleme mit Berechnungen für einen "1D Van der Waals Kristall". Zunächst kann ich mir gar nicht vorstellen, was das für ein Gebilde sein soll und wie dementsprechend die nächsten Nachbarn usw. angeordnet sind.
Gegeben sind die potentielle Energie pro Teilchen:
 = 2 \epsilon \cdot [ A_{12} \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - A_{6} \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} ])
Und die Gittersummen über alle Nachbarpositionen R des Gitters:
^n} )
Und gesucht ist nun der Gleichgewichtsabstand r0.
Ich wollte nun das Potential und dessen Minimum berechnen, um auf r0 zu kommen. Das Problem liegt vor allem in der Berechnung der A12,6. Ich muss doch die potentielle Energie pro Teilchen über die Teilchenzahl aufsummieren und jeweils für r den Abstand der Teilchen einsetzen, oder? Zuletzt mit dem Faktor 1/2 multiplizieren, um nicht doppelt zu zählen. Diese Summe scheint ja in den Vorfaktoren enthalten zu sein, ich verstehe jedoch nicht wie die Nachbarpositionen R in einem 1D VdW Kristall auszusehen haben. Das u(r) oben scheint ja auch bereits die halbe potentielle Energie pro Teilchen zu sein, weil der Vorfaktor im LJ-Potential ja 4 wäre.
Kann mir da jemand weiterhelfen? Vielleicht auch ganz allgemein wie ich von der potentiellen Energie pro Teilchen ausgehend auf das gesamte Potential im Kristall komme.
Viele Grüße |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5865
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| Myon Verfasst am: 04. Jan 2017 14:51 Titel: |
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Hallo
Das obige u(r) ist schon die potentielle Energie pro Atom. Denn
^{12}-(\sigma/r)^6))
ist ja die potentielle Energie für zwei Atome.
Bei einem 1D-Kristall liegen die Atome entlang einer Gerade, und für die Summe A_12 ergäbe sich zum Beispiel (denke ich)
da 2 Nachbarn den Abstand a_0 haben, 2 den Abstand 2*a_0 etc. Für die Summe könnte man numerisch eine Näherung berechnen, die Summanden werden ja schnell kleiner, oder mit der Zeta-Funktion den Grenzwert der Reihe berechnen.
Mit den Summen A_12 und A_6 ergibt sich der Gleichgewichtsabstand r_0, wenn man die Nullstelle der Ableitung von u(r) berechnet. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 04. Jan 2017 15:04 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | H
da 2 Nachbarn den Abstand a_0 haben, 2 den Abstand 2*a_0 etc. |
Für mich sind nur 2 davon wirklich "Nachbarn".
Die Aufgabe im Originalwortlaut würde helfen... |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5865
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| Myon Verfasst am: 04. Jan 2017 15:15 Titel: |
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Ja, ok. Ich meinte es so: wenn man von einem bestimmten Atom ausgeht und die Summe bildet, haben die nächsten Nachbarn den Abstand a0, die übernächsten Nachbarn den Abstand 2*a0 etc... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 04. Jan 2017 15:32 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Ja, ok. Ich meinte es so: wenn man von einem bestimmten Atom ausgeht und die Summe bildet, haben die nächsten Nachbarn den Abstand a0, die übernächsten Nachbarn den Abstand 2*a0 etc... |
In jedem Fall ein lösbares Problem, und der numerische Unterschied ist winzig. |
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Henri
Anmeldungsdatum: 08.02.2014
Beiträge: 82
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| Henri Verfasst am: 04. Jan 2017 17:34 Titel: |
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Die Aufgabe lautet: Berechnen Sie den Gleichgewichtsabstand r0 in einem 1D Van-der-Waals-Kristall. Verwenden Sie dazu folgende potentielle Energie pro Teilchen:
Die Gittersummen über alle Nachbarpositionen  des Gitters sind:
Mit der Zeta Funktion kann ich das dann auch ausrechnen und komme auf Werte, die nur minimal von 2 abweichen, sprich der Gleichgewichtsabstand ist kaum anders als wenn nur 2 Atome da wären und die weiteren Nachbarn nicht da wären. Die Rechnung ist soweit einleuchtend, aber wieso reicht es, die potentielle Energie pro Teilchen zu betrachten  Ist die Energie wirklich die selbe oder ist das nur, weil beim Ableitugen der Vorfaktor verschwindet, den ich mir beim Hochrechnen auf den ganzen Kristall dort hinschreiben würde?
Viele Grüße |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 04. Jan 2017 17:49 Titel: |
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| Henri hat Folgendes geschrieben: | Die Rechnung ist soweit einleuchtend, aber wieso reicht es, die potentielle Energie pro Teilchen zu betrachten Ist die Energie wirklich die selbe oder ist das nur, weil beim Ableitugen der Vorfaktor verschwindet, den ich mir beim Hochrechnen auf den ganzen Kristall dort hinschreiben würde?
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Die Gesamtenergie, die Du eigentlich minimieren willst, ist einfach ) , da jedes Atom gleich beiträgt (also u_i=u, wenn man Randeffekte vernachlässigt). D.h. das minimieren der Energie pro Atom liefert Dir den gesuchten Wert des Abstandes.
(Ich finds immer noch merkwuerdig, wieviele Konstanten in der Aufgabenstellung vorkommen, aber das hat nichts zu sagen  ) |
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Henri
Anmeldungsdatum: 08.02.2014
Beiträge: 82
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| Henri Verfasst am: 07. Jan 2017 20:57 Titel: |
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Danke  |
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