RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Frage zum linearen Potentialtopf
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik
Autor Nachricht
ichUndSoNotLoggedIn
Gast





Beitrag ichUndSoNotLoggedIn Verfasst am: 07. Apr 2016 19:28    Titel: Frage zum linearen Potentialtopf Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ein Quantenobjekt kann in einem linearen Potentialtopf nur existieren wenn gilt: L = n * (Lambda / 2) . Wobei L die Breite des Topfes ist. Warum ist das so?

Meine Ideen:
Das Objekt lässt sich ja als stehende Welle betrachten wenn ich das richtig verstanden habe. Ich vermute das diese sich auslöscht wenn obige Gleichung nicht gegeben ist aber warum?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 07. Apr 2016 19:42    Titel: Antworten mit Zitat

Eine ausführliche Behandlung findet sich hier.
ichUndSo



Anmeldungsdatum: 04.04.2016
Beiträge: 19

Beitrag ichUndSo Verfasst am: 07. Apr 2016 19:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ich geh mich ja schon schämen :D Für alle die zu faul zum nachschauen sind:
Beschreibt man das Teilchen, wie in der Quantenphysik üblich, mit Hilfe einer einfachen Wellenfunktion, ergibt sich, dass im Inneren des Potentialkastens nur solche Teilchen existieren können, für die L ein ganzzahliges Vielfaches ihrer halben Wellenlänge ist, denn nur hier fällt auch nach einer Reflexion Wellenberg auf Wellenberg und Wellental auf Wellental (stehende Welle). Ist L kein Vielfaches der halben Wellenlänge, löscht sich die Welle durch Überlagerung nach kurzer Zeit selbst aus. Dies ist die erste Besonderheit der Quantenmechanik, die sich mit dem Teilchen im Kasten aufzeigen lässt: Teilchen innerhalb eines Potentialtopfes können nur in bestimmten Zuständen existieren, die mit der Quantenzahl n eindeutig beschrieben werden.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12580

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Apr 2016 19:46    Titel: Antworten mit Zitat

Das folgt 1) aus der Schrödingergleichung plus 2) der Forderung nach Stetigkeit der Wellenfunktion an den Wänden.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12580

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Apr 2016 20:05    Titel: Antworten mit Zitat

ichUndSo hat Folgendes geschrieben:
... ergibt sich, dass im Inneren des Potentialkastens nur solche Teilchen existieren können, für die L ein ganzzahliges Vielfaches ihrer halben Wellenlänge ist ... Teilchen innerhalb eines Potentialtopfes können nur in bestimmten Zuständen existieren, die mit der Quantenzahl n eindeutig beschrieben werden.

Das ist falsch!

Die Schrödingergleichung für ein Teilchen im Kasten der Länge L lautet



Hinzu kommt die Randbedingung



Die stationäre Schrödingergleichung folgt aus dem Ansatz für Energieeigenzustände





Genau diese Zustände erfüllen die von dir diskutierte Quantisierungsbedingung.

Nun sind jedoch Superpositionen der Form



explizit erlaubt. D.h. es existieren mehr erlaubte Zustände als es stationäre Zustände gibt. Diese erfüllen die zeitabhängigen Schrödingergleichung, nicht jedoch die Quantisierungsbedingung.


ichUndSo hat Folgendes geschrieben:
... ergibt sich, dass im Inneren des Potentialkastens nur solche Teilchen existieren können, für die L ein ganzzahliges Vielfaches ihrer halben Wellenlänge ist, denn nur hier fällt auch nach einer Reflexion Wellenberg auf Wellenberg und Wellental auf Wellental (stehende Welle). Ist L kein Vielfaches der halben Wellenlänge, löscht sich die Welle durch Überlagerung nach kurzer Zeit selbst aus.

Das ist ebenfalls falsch!

Betrachte eine simple Überlagerung der Form



Nun ist



und damit



D.h. dass diese Wellenfunktion nach endlicher Zeit aufgrund der Periodizität wieder eine identische Form annimmt. Dies gilt allgemein für alle (endlichen) Summen in der Superposition.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik