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Polarisation
 
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Banshee
Gast





Beitrag Banshee Verfasst am: 24. Feb 2016 10:53    Titel: Polarisation Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,
ich stütze mich auf die Herleitung im Nolting:
Zunächst definiert man die Polarisation als lokal-gemittelte Dipoldichte. Wie die Polarisation zu Stande kommt ist erstmal nicht bekannt, jedoch weiß man, dass P in irgendeiner Form von dem lokalen E-Feld abhängt und außerhalb von Materie Null ist.
Damit ergibt sich dann , wobei mit das Potential der äußeren/freien Ladungsverteilung (ohne Beachtung der Polarisation) gemeint ist. Dieser Ausdruck wird nun weiter umgeformt zu: , mit .
Hieraus folgert Nolting dann: (1).
Dieser Schritt erscheint mir nicht ganz klar, zumal er doch im Allgemeinen nicht stimmt: Im Übungsteil des Kapitels findet sich eine Aufgabe, in der nach dem Feld einer homogen polarisierten Kugel in einem Plattenkondensator gefragt ist. Es zeigt sich, dass das Feld außerhalb der Kugel (wo ist) nicht dem einfachen Feld des Plattenkondensator () entspricht. Wie kann dieser Widerspruch aufgelöst werden?

Meine Ideen:
Obiger Ausdruck für das Potential lässt sich mittels partieller Integration auf folgende Form bringen:

Wäre die Polarisation ein wirbelfreies Feld (was sie im Allgemeinen nicht ist, oder?), dann würde (1) aus dem Helmholtzschen Zerlegungssatz folgen. Kann es sein, dass (1) also nur unter bestimmten Bedingungen (bzw. in gewissen Raumbereichen) gültig ist? Welche wären das?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Feb 2016 11:10    Titel: Re: Polarisation Antworten mit Zitat

Banshee hat Folgendes geschrieben:

Dieser Schritt erscheint mir nicht ganz klar, zumal er doch im Allgemeinen nicht stimmt: Im Übungsteil des Kapitels findet sich eine Aufgabe, in der nach dem Feld einer homogen polarisierten Kugel in einem Plattenkondensator gefragt ist. Es zeigt sich, dass das Feld außerhalb der Kugel (wo ist) nicht dem einfachen Feld des Plattenkondensator () entspricht. Wie kann dieser Widerspruch aufgelöst werden?

Das E0 in der Aufgabe entspricht nicht dem E0(x) in der Herleitung vorher:
* in der Aufgabe ist E0, das Feld eines Plattenkondensators ohne die eingebrachte dialektische Kugel.
* in der Herleitung entspricht E0(x) dem Feld an einem bestimmten Punkt, das von den Ueberschussladungen (in diesem Punkt) erzeugt wird ohne die Beiträge der Polarizations P. Um diese E0 zu erhalten, muss aber die entsprechende Maxwellgleichung komplett gelöst werden, mit den entsprechenden Randbedingungen (wie in der Aufgabe, wo E0 aber für was anderes steht).
Banhsee
Gast





Beitrag Banhsee Verfasst am: 24. Feb 2016 13:39    Titel: Antworten mit Zitat

Aber gilt nicht ? Damit ist doch E_0 eindeutig festgelegt?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Feb 2016 14:21    Titel: Antworten mit Zitat

Welches E0 soll das sein? Es tauchen im Nolting wie gesagt zwei verschiedene in der Herleitung und in der Aufgabe auf.
Banshee
Gast





Beitrag Banshee Verfasst am: 24. Feb 2016 16:37    Titel: Antworten mit Zitat

Ich meine das aus der Herleitung
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Feb 2016 19:38    Titel: Antworten mit Zitat

Banhsee hat Folgendes geschrieben:
Aber gilt nicht ?

Dann: Richtig. Du musst die Poissongleichung mit entsprechenden Randbedingungen (und evtl Dielektrika die sich im Volumen befinden) lösen.
Banshee
Gast





Beitrag Banshee Verfasst am: 24. Feb 2016 20:53    Titel: Re: Polarisation Antworten mit Zitat

Ich verstehe es immer noch nicht und ich denke es liegt ein Missverständnis vor:
Also ich verstehe die Herleitung so, dass man den (physikalisch) allgemeinen Fall betrachtet, dh es gibt keine Randbedingungen, da die freie Ladungsverteilung p_0 für den ganzen Raum bekannt ist. Zusätzlich dazu kommt dann noch die Polarisationsladungsverteilung des Dielektrikums. Letzten Endes sind das aber auch nur Ladungen die sich ebenfalls im Vakuum befinden. Im Prinzip handelt es sich also um das Standardproblem der Elektrostatik, dass sich wie folgt eindeutig lösen lässt:
(2)
Durch Gradientenbildung erhält man dann "dass schon fertig bestimmte" E-Feld:

(3)
Wie gesagt weiß ich nicht, wie man von (3) auf (1) kommt. Wenn du sagst, man muss die Poissongleichung mit Randbedingungen lösen weiß ich nicht ganz was du meinst. Wir haben das ganze doch bisher ohne Randbedingungen behandelt. Handelt es sich bei den Größen E_0 und E_P etwa nicht um die in (1) auftretenden Größen, oder doch?
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Feb 2016 21:48    Titel: Re: Polarisation Antworten mit Zitat

Banshee hat Folgendes geschrieben:
Ich verstehe es immer noch nicht und ich denke es liegt ein Missverständnis vor:

Es kann in der Tat sein, dass ich Die falsch verstanden hab.
Zitat:

Wie gesagt weiß ich nicht, wie man von (3) auf (1) kommt.

Wenn ich Dich jetzt richtig verstehe fehlt Dir nur, dass Laplace 1/r ~ Delta (r) ist.
Banshee
Gast





Beitrag Banshee Verfasst am: 24. Feb 2016 23:37    Titel: Antworten mit Zitat

Ich schätze das Missverständnis existiert immer noch. Die Gleichung (1) steht in meinem ersten Post. Die ist aus dem Nolting. Gleichung (3) habe ich gerade eben hergeleitet. Ich bin mir weder im Klaren darüber, wie man (1) aus (3) gewinnt, noch ob die Größen E_0, E_P in beiden Ausdrücken das selbe sind. Hier noch einmal zur Übersicht:
Gleichung (3) :
, dabei gilt

und

Im Nolting wird wie am Anfang beschrieben die Gleichung (1) hergeleitet:
, mit
Hier ist mir unklar ob "mein" E_0 = "Noltings" E_0 gilt. E_P kann eigentlich nur dann dasselbe sein, wenn rot P = 0 (Helmholtz), was natürlich im allg. nicht der Fall ist...
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Feb 2016 00:11    Titel: Antworten mit Zitat

Banshee hat Folgendes geschrieben:
Ich schätze das Missverständnis existiert immer noch.

Ich denke nicht Augenzwinkern
Zitat:

Hier ist mir unklar ob "mein" E_0 = "Noltings" E_0 gilt.

Ja, sofern das Gebiet keinen Rand hat. Deswegen würde ich das auch nicht so schreiben wie Du, da es nur einen Spezialfall beschreibt.
Zitat:
E_P kann eigentlich nur dann dasselbe sein, wenn rot P = 0 (Helmholtz), was natürlich im allg. nicht der Fall ist...

Nein. Lies Dir meine letzte Antwort nochmal durch Augenzwinkern
Banshee
Gast





Beitrag Banshee Verfasst am: 25. Feb 2016 00:20    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Zitat:

Hier ist mir unklar ob "mein" E_0 = "Noltings" E_0 gilt.

Ja, sofern das Gebiet keinen Rand hat. Deswegen würde ich das auch nicht so schreiben wie Du, da es nur einen Spezialfall beschreibt.

Was meinst du mit Ja? Sind beides E_0s also identisch?

[quote="jh8979"]
Zitat:

Zitat:
E_P kann eigentlich nur dann dasselbe sein, wenn rot P = 0 (Helmholtz), was natürlich im allg. nicht der Fall ist...

Nein. Lies Dir meine letzte Antwort nochmal durch Augenzwinkern

Kannst du mir das mal vorrechnen? Ich sehe nicht wie das so einfach klappen soll, da ja
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Feb 2016 01:08    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich war heute Abend nur mit einem halben Hirn dabei und hab da u.a. paar Indizes übersehen ...vergiss meine letzten beiden Antworten Hammer

Also, jetzt vorm schlafen gehen nochmal richtig:
1. Was Nolting in der Herleitung E0 nennt, ist das was man (und Nolting vorher auch) eigentlich mit D bezeichnet und das entspricht auch Deinem E0, wenn bei Dir rho0 die Ueberschussladungsdichte bezeichnet.
2. Im Nolting folgt damit also trivial Ep~P aus der Definition von D.
3. Diese Definition ist -soweit ich sehen kann- erstmal nicht zwingend aus der Herleitung vorher (und somit auch nicht aus Deiner Herleitung), da man natürlich zu jedem D noch die Rotation eines beliebigen Vertorfeldes addieren könnte und dieselbe mikroskopische Maxwellgleichung erhalten würde.
4. Jetzt stellt sich die Frage, was so ein extra Term bewirken wurde, bzw. ob es einen Grund gibt ihn zu Null zu setzen (oder ob man ihn gar benötigt, wenn man das ganze korrekt machen will...).

So auf die schnelle (und nach meinen Antworten vorher Augenzwinkern ) mach ich heute Abend lieber keine Aussage mehr dazu smile Aber ich tippe auf: Wie auch immer die Antwort auf 4 ist, am Ende läuft es effektiv darauf hinaus, dass man diesen extra Rotations-Term einfach weglassen kann/muss.
Banshee
Gast





Beitrag Banshee Verfasst am: 25. Feb 2016 13:20    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn bei Nolting gilt :: (4), dann macht alles Sinn. Der Term für D ist dann eben recht kompliziert :
(5)
Ich hab mein "altes" E_0 jetzt in E_f umbenannt, um es von Noltings E_0 zu unterscheiden (beide sind nach dieser Auslegung (4) verschieden).

In der Anwendung versucht man dann warscheinlich den Raum in zwei Teile zu zerlegen (Dielektrikum und Vakuum), sodass sich die Gleichungen für D und E vereinfachen und man das ganze durch Randbedingungen wieder zusammenfügen kann?
Eine Vermutung die mir gerade eingefallen ist...
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Feb 2016 20:18    Titel: Antworten mit Zitat

Ich versteh ehrlich so langsam nicht mehr was Dein Punkt ist.

Letztendlich ist es ganz einfach: Wenn man die Vakuum-Maxwellgleichungen benutzt und dann über ein kleines Stück Volumen, welches Materie enthält, mittelt, bekommt man:

wobei die Mittelung des mikroskopischen elektrischen Feldes ist, die Mittelung über die mikroskopischen Dipolmomente, die Punkte "..." sind höhere Quadrupoltemre und ist die mikroskopische Ladungsdichte.

Daher ist es sinnvoll zu definieren

weil dies die Größe ist die in dieser Gleichung auftaucht.
Banshee
Gast





Beitrag Banshee Verfasst am: 26. Feb 2016 11:13    Titel: Antworten mit Zitat

Banshee hat Folgendes geschrieben:

(5)

Tut mir leid, ich habe ein paar Sachen vergessen:
(5)
Ich halte mich jetzt an die Definition für D aus dem Nolting in der ein epsilon auftaucht.
Nun war die Vermutung, dass im Nolting [latex]\vec {E}_0 = \ epsilon_0^{-1} \vec {D}[\latex] gilt (dort taucht E_0 ist der Gleichung 2.191 auf; 9.Auflage)
Ist diese Vermutung richtig?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 26. Feb 2016 11:50    Titel: Antworten mit Zitat

Banshee hat Folgendes geschrieben:

Nun war die Vermutung, dass im Nolting [latex]\vec {E}_0 = \ epsilon_0^{-1} \vec {D}[\latex] gilt (dort taucht E_0 ist der Gleichung 2.191 auf; 9.Auflage)
Ist diese Vermutung richtig?

Ja.

Ich würde Dir mal raten Dir das ganze im Kapitel 6.6 im Jackson durchzulesen. Da wird diese ganze Herleitung der mikroskopischen Maxwellgleichungen aus den mikroskopischen ausführlich dargestellt.
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