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BrickPig
Gast
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 BrickPig Verfasst am: 10. Dez 2015 17:59 Titel: Kraftfelder |
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Meine Frage:
Guten Abend,
ich sitze vor verschiedenen Aufgaben zum Thema Kraftfelder und komme durch Google und Skript lesen nicht weiter.
1) Ist das Kraftfeld F(r)=  konservativ?
2)Gegeben sei das Potential ) . Wie berechne ich die Kraft, die daraus erzeugt wird? Und wie zeige ich das es Zentralkräfte sind?
Meine Ideen:
1) Dazu findet man ja schon einiges. Ich habe jetzt gezeigt das rot x F = 0, da kam dann auch der Nullvektor raus. Im Skript steht, dass dieses Kriterium nur notwendig, aber nicht hinreichend sei. Als Kriterium wird dann gennant, dass es einfach zusammenhängend sei. Wie zeige ich das?
Außerdem habe ich das Potential berechnet mit: F=-gradU und bin dann auch auf ein U gekommen. Kann man dies auch als hinreichendes Kriterium nehmen?
2)Ich habe nur die Formel F=-gradU gefunden, aber dachte das dies nur für konservative Kräfte gilt. Mehr Ideen habe ich nicht dazu.
Zu Zentralkräften wenn V(  )=V(r) ist. Wie kann ich dies an einem Beispiel zeigen?
Vielen Dank für eure Hilfe  |
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MeMeansMe
Anmeldungsdatum: 03.10.2014
Beiträge: 36
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| MeMeansMe Verfasst am: 10. Dez 2015 19:12 Titel: |
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Hey
Sehr gute und wichtige Fragen!
Zu deiner ersten Frage: Wenn ein Kraftfeld zusammenhängen ist, dann muss gelten, dass
Das heißt, dass z.B. die Ableitung der x-Komponente der Kraft nach  gleich der Ableitung der y-Komponente nach  ist. Oder anders formuliert:
Daraus folgt natürlich, dass  .
Du hast auch das Potential ausgerechnet. Das geht auch, da nur konservative Kraftfelder ein Potential haben.
Zu deiner zweiten Frage: Die Gleichung gilt nur für konservative Kräfte, aber da du bereits ein Potential gegeben hast, weißt du, dass es sich bei der entsprechenden Kraft auch um eine konservative Kraft handeln muss. Um die Kraft zu berechnen, musst die einfach die Formel anwenden |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Dez 2015 21:21 Titel: |
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| BrickPig hat Folgendes geschrieben: |
Meine Ideen:
1) Dazu findet man ja schon einiges. Ich habe jetzt gezeigt das rot x F = 0, da kam dann auch der Nullvektor raus. Im Skript steht, dass dieses Kriterium nur notwendig, aber nicht hinreichend sei.
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Das stimmt, ist aber für Physiker meistens kein Problem.
| Zitat: |
Als Kriterium wird dann gennant, dass es einfach zusammenhängend sei. Wie zeige ich das?
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Das ist eine topologische Eigenschaft des Definitionsbereichs des Vektorfeldes. Daß ein Gebiet einfach zusammenhängend ist, bedeutet ungefähr (für Details bitte an Mathematiker wenden), daß jede geschlossene Kurve der Rand einer Fläche im Raum ist. Das ist z.B. nicht der Fall, wenn eine Achse aus dem Raum entfernt wurde. Kurven, die diese Achse umkreisen wären dann keine Ränder.
Was hat das mit der Konservativität zu tun? Das ergibt sich aus dem Satz von Stokes. Konservativ bedeutet "energieerhaltend". Also muß die entlang jeder geschlossenen Kurve  geleistete Arbeit
verschwinden. Wenn aber, da der Raum einfach zusammenhängend ist, der Rand einer Fläche ist, folgt aus dem Satz von Stokes und 
also die Konservativität des Vektorfeldes.
Es gibt noch andere nützliche hinreichende Bedingungen, z.B. daß das Gebiet sternförmig ist, d.h. jeder Punkt von einem Zentrum aus entlang einer Geraden erreichbar ist. Wenn dies der Fall ist, kannst du auf dem ganzen Gebiet ein Potential konstruieren. In diesem Fall ist die Arbeit entlang einer Kurve einfach gegeben durch die Potentialdifferenz über ihre Endpunkte. Da bei einer geschlossenen Kurve Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen, folgt also wieder die Konservativität.
| Zitat: |
Außerdem habe ich das Potential berechnet mit: F=-gradU und bin dann auch auf ein U gekommen. Kann man dies auch als hinreichendes Kriterium nehmen?
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Das kommt auf den Definitionsbereich von U an. Wenn F = -grad U überall gilt, dann ja. Wenn nicht, kann es schiefgehen. Z.B. ist der Winkel  das "Potential" der Windungszahlform
 . Diese ist aber nicht konservativ. Ihr Integral entlang eines Kreises um den Nullpunkt ergibt  . Sie ist überall definiert, außer im Nullpunkt. Ihr Definitionsbereich ist also (nach meiner etwas unpräzisen und auch der üblichen) Definition nicht einfach zusammenhängend. Ihr "Potential" ist auf der ganzen y-Achse nicht definiert. |
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BrickPig
Gast
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| BrickPig Verfasst am: 11. Dez 2015 20:29 Titel: |
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| Zitat: |
Es gibt noch andere nützliche hinreichende Bedingungen, z.B. daß das Gebiet sternförmig ist, d.h. jeder Punkt von einem Zentrum aus entlang einer Geraden erreichbar ist. Wenn dies der Fall ist, kannst du auf dem ganzen Gebiet ein Potential konstruieren. In diesem Fall ist die Arbeit entlang einer Kurve einfach gegeben durch die Potentialdifferenz über ihre Endpunkte. Da bei einer geschlossenen Kurve Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen, folgt also wieder die Konservativität.
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Rein aus Interesse, wie berechne ich, ob ein Feld sternenförmig ist? |
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