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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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 Widderchen Verfasst am: 01. Nov 2015 21:38 Titel: Virialsatz Aufgaben |
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Meine Frage:
Hallo,
die Aufgaben können auf dem folgenden Lnk eingesehen werden:
http://www.physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-I/Uebungen/Blatt_4.pdf
Meine Ideen:
Zu Aufgabe 13) a) :
Prinzipiell entspricht dies doch dem Virialsatz (Gleichung (1) ; linke Seite):
}{\dd t^2} \cdot \vec{x}_a (t) = \sum\limits_{a=1}^N \vec{F}_a \cdot \vec{x}_a (t) = - \sum\limits_{a=1}^N (\nabla_a V) \cdot \vec{x}_a (t) )
Ich denke, das sollte stimmen. Allerdings habe ich bei Aufgabenteil b) ein Problem. Zudem verstehe ich den Hinweis nicht so recht. Wozu soll ich die Zeitableitung bilden? Soll die Zeitableitung des Skalarproduktes der Bahnkurven gebilldet werden?
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Viele Grüße
Widderchen |
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 02. Nov 2015 07:55 Titel: |
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Hinweis in der Aufgabe
=\ddot{\vec{x} } \vec{x} +\dot{\vec{x} } \dot{\vec{x} } )
das Ergebnis noch etwas anders schreiben |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 02. Nov 2015 13:11 Titel: |
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Hallo,
wenn ich die von dir angegebene identität umstelle, dann erhalte ich:
 }{\dd t} - \dot{\vec{x}}^2 )
Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert mir dann:
 }{\dd t} - \dot{\vec{x}}^2 ) = \sum\limits_{a=1}^N -2T + m_a \cdot \frac{\dd (\dot{\vec{x}} \vec{x}) }{\dd t} ) .
Der letzte term sieht schon verdächtig nach kinetischer Energie aus, wobei
 gilt. Ist das soweit korrekt??
Viele Grüße
Widderchen
Ich befinde mich nun bei Aufgabe 13) iii) b) und kann nicht nachvollziehen, welches Potential V in der zu zeigenden Aussage gemeint sein soll??
ich erhalte in diesem Aufgabenteil:
 \cdot \frac{ \vec{r}_a - \vec{r}_b }{ |\vec{r}_a - \vec{r}_b |} \cdot \dot{\vec{x}}_a (t) \right>_{t} ) .
Soll ich das oben ermittelte Potential einfach V setzen???  |
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 02. Nov 2015 17:08 Titel: |
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zur kinetischen Energie
(identisch)
man hat gezeigt dass
 =\frac{nV_{ab}}{| \vec{r}_{b}-\vec{r}_{a}|}\vec{e} )
multipliziert mit
wahrscheinlich
erste Idendität im Aufgabenblatt
ergibt zusammen
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 02. Nov 2015 20:29 Titel: |
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Hallo xb,
zunächst vielen Dank für deine Hilfe soweit! Ich weiß allerdings nicht, wie das Gravitationspotential in d) aussieht, vielleicht etwa so:
} ) ??
Wo muss ich das Potential einsetzen??
In Teil b) habe ich folgendes Resultat erhalten:
 \right>_t )
Das muss die Behauptung beweisen, oder irre ich mich??
Viele Grüße
Widderchen
Ich bin nun bei Aufgabe 14 angekommen! Wie berechnet man ein effektives Potential? Vielleicht etwa so:
 ???
In Aufgabe 14 ii) muss ich offenbar die DGl mittels Variablenseparation lösen, die oben steht. Allerdings kann ich die übrigen Aufgabenstellungen nicht bearbeiten. Zu 14 iii und Aufgabe 15 fehlt mir ebenfalls ein Ansatz! |
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 02. Nov 2015 22:53 Titel: |
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| Widderchen hat Folgendes geschrieben: | :
??
Wo muss ich das Potential einsetzen??
:
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bei Aufgabe c und d braucht man aus meiner Sicht nur die Werte für n einzusetzen
2(T)=2(V) bzw (T)=(V) harmonischer Oszillator
2(T)=-1(V) Gravitationspotential (minus vor der eins)
| Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
In Teil b) habe ich folgendes Resultat erhalten:
Das muss die Behauptung beweisen, oder irre ich mich??
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das kann ich nicht sagen
aber wie es aussieht wird mein Ansatz nicht reichen
ich dachte man kann nVab einfach zu nV aufsummieren
aber es ist komplizierter
| Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
???
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2015 23:29 Titel: |
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| Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
In Teil b) habe ich folgendes Resultat erhalten:
Das muss die Behauptung beweisen, oder irre ich mich??
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Nein. Vor allem ist die Formel falsch (der Vektorindex von x müsste irgendwo kontrahiert sein).
Vllt hilft es zu wissen, dass  gilt und dass  . |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 03. Nov 2015 09:07 Titel: |
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Hallo,
viele Dank für eure Antworten! zu c) und d) habe ich auch den Wikipedia-Artikel zum "Virialsatz" entdeckt. Man muss tatsächlich nur den Parameter n=2 bzw. n = -1 für das Gravit.pot. wählen.
Mein Problem ist, dass ich den Vektor x_a in der Summe nicht "eliminieren" kann, sodass ich nur noch über alle V_{ab} aufsummieren müsste, um das Gesamtpotential V zu erhalten.
Wie kann mir die Symmetrie des Potentials dabei hilfreich sein??
Ja, die von mir aufgestellte Summe ist falsch, da das n an dieser stelle nicht auftauchen sollte (das n ist gerade Teil der Ableitung von V_{ab} ).
Was bedeutet an dieser Stelle, dass der Vektorindex kontrahiert sein muss?
Viele Grüße
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 03. Nov 2015 10:45 Titel: |
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| Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
Ja, die von mir aufgestellte Summe ist falsch, da das n an dieser stelle nicht auftauchen sollte (das n ist gerade Teil der Ableitung von V_{ab} ).
Was bedeutet an dieser Stelle, dass der Vektorindex kontrahiert sein muss?
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Auf der linken Seite der Gleichung steht ein Skala, auf der rechten ein Vektor. Das ist offensichtlich falsch.
[quote]Wie kann mir die Symmetrie des Potentials dabei hilfreich sein??[\quote]
Im Laufe der Rechnung musst Du das benutzen.
PS: Zur Einordnung: Dieser Teil iii.b) ist im Übrigen der einzige etwas schwierigere Teil der Aufgabe. Aber mit Teil iii.a) und meinen Tipps ist der auch nicht mehr so schwierig. |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 03. Nov 2015 12:16 Titel: |
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Hallo,
also ich hatte soweit den folgenden Ausdruck unter Verwendung von Aufgabenteil iii) erhalten:
 \cdot \frac{ \vec{r}_a - \vec{r}_b }{ |\vec{r}_a - \vec{r}_b |} \cdot \dot{\vec{x}}_a (t) \right>_{t} = - n \left< \sum\limits_{a=1}^N V_{ab} \cdot ( \nabla_a |\vec{r}_a - \vec{r}_b | ) \cdot (\vec{r}_a - \vec{r}_b ) \right>_{t} )
bzw.
 \cdot \frac{ \vec{r}_a - \vec{r}_b }{ |\vec{r}_a - \vec{r}_b |} \cdot \vec{x}_a (t) \right>_{t} = n \left< \sum\limits_{a=1}^N V_{ab} \cdot |\vec{r}_a - \vec{r}_b | \right>_{t} ) .
Dabei hatte xb  = \vec{r}_a - \vec{r}_b )
vorgeschlagen. Allerdings stimmt der Ausdruck immer noch nicht, da ein Potential multipliziert mit einer metrischen Einheit keine energetische Einheit ergibt.
Viele Grüße
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 03. Nov 2015 12:37 Titel: |
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1. Das ist nicht richtig, da hast du etwas aus teil iii.a falsch eingesetzt.
2. Es fehlt eine Summe.
3. x_ab taucht in der Formel gar nicht auf, nur x_a. Dies ist der kniffelige Part, der auch dafür sorgt, dass erstens die Summen alle die richtige Form annehmen und zweitens alle expliziten Abhängigkeit in x bzw r, die nicht V_ab stehen sich Wegkürzen. |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 03. Nov 2015 12:57 Titel: |
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Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Könntest du mir wenigstens die Gleichung für x_{a} näher erläutern bzw. wie ich zumindest x_a eliminieren kann?
Viele Grüße
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 03. Nov 2015 13:09 Titel: |
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In einheitlicher Notation (x_a = r_a) steht da sowas wie
durch geschicktes Umschreiben der auftretenden Summen kann man dies überführen in
)
so, dass sich alle r's wegheben
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 03. Nov 2015 18:05 Titel: |
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Hallo,
ich habe es hinbekommen. Mir fehlte bei der Gradientenbildung des Potentials die zweite Potenz des Betrags  im Nenner, so wie du es auch notiert hattest. Anschließend kürzen sich die Betragsquadrate weg und übrig bleibt die Summe der WW-Potentiale V_{ab}. 
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe!
Zu 14 ii): Wie stelle ich die Funktion r(t) auf? In der Vorlesung wurde bereits die Fomel für Phi(r) aufgestellt. Kann ich davon ausgehend r(t) bestimmen?
Ich versuche in der Zwischenzeit Aufgabe 15 zu bearbeiten.
Viele Grüße
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 03. Nov 2015 19:01 Titel: |
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| Widderchen hat Folgendes geschrieben: | Mir fehlte bei der Gradientenbildung des Potentials die zweite Potenz des Betrags im Nenner, so wie du es auch notiert hattest. Anschließend kürzen sich die Betragsquadrate weg und übrig bleibt die Summe der WW-Potentiale V_{ab}.
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Nach dem was Du oben geschrieben hast, fehlte Dir noch mehr. Das "geschickte Umschreiben" ist notwendig, man erhält nicht automatisch zwei Faktoren von (rb-ra) im Zähler.
| Zitat: |
Zu 14 ii): Wie stelle ich die Funktion r(t) auf? |
Am einfachsten über die Energieerhaltung: Du erhaelst eine Formel die r(t) und die erste Ableitung von r(t) enthält. Separation der Variablen führt dann auf die Losung t(r), in der keine Ableitungen von r mehr vorkommen. |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 03. Nov 2015 20:45 Titel: |
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Hallo,
ich befinde mich gerade bei Aufgabe 15 iii), die Aufgabenteile i) und ii) liefen problemlos.
Ich soll nun über die Erhaltung von Lenz-Vektor und Drehimpuls die angegebene Gleichung für die Bahnkurve (x,y,0) herleiten.
Muss ich dazu Gleichungen aus Tel i) verwenden?
Erhaltung der Vektoren:
Viele Grüße
Widderchen |
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 04. Nov 2015 00:18 Titel: |
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ich würde das so machen
man kann die Bahnkuve in Polarkoordinaten herleiten
wenn C und L konstant
C ist hier der Lenzfaktor
also der Betrag des Vektors
 } )
im Aufgabenblatt hat man die Kurve in kartesischen Koordinaten
also umwandeln
erst das Lambda einbauen
ich hab mal angefangen
 } ) |
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