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Herleitung Green-Funktion
 
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Greenfunktion
Gast





Beitrag Greenfunktion Verfasst am: 26. Jan 2015 01:56    Titel: Herleitung Green-Funktion Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hi,

ist jemand von euch so nett, mir in diesem Skript

http://www.phys.ethz.ch/~mrg/QMII/Teil1+2.pdf

in Gleichung 1.1.9 auf Seite 5 die Umformung zu erklären?

Insbesondere geht es mir darum, warum der Laplace-Operator als -q^2 in das Integral hineingezogen werden darf.

Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ideen.
Jayk



Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450

Beitrag Jayk Verfasst am: 26. Jan 2015 02:30    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist ja gerade das Tolle an der Fouriertransformation, dass Ableitungen in Multiplikationen übergehen. Das macht sie so nützlich zur Bestimmung von Greensfunktionen.

Eindimensional:

,

wobei partielle Integration verwendet wurde (die Aussage gilt zum Beispiel für Schwartzfunktionen sowie auch für temperierte Distributionen)

Mehrdimensional:



für alle Multiindizes .
Greenfunktion
Gast





Beitrag Greenfunktion Verfasst am: 26. Jan 2015 04:09    Titel: Antworten mit Zitat

Schon einmal vielen Dank!

Aber ist es nicht genau andersherum, also:

.

Schließlich wird die Ableitung ja in den Integral reingezogen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Jan 2015 07:04    Titel: Antworten mit Zitat

Leider funktioniert der Link (momentan?) nicht.

Jayk hat schon recht: es wird nicht die Fouriertransformierte nach x abgeleitet, sondern es wird die Funktion nach x abgeleitet und anschließend fouriertransformiert.

Andersherum macht das auch wenig Sinn: die Fouriertransformierte ist eine Funkion von k; wie willst du die nach x ableiten.

Also die Fouriertransformierte von f' ist einfach ik * die Fouriertransformierte von f: F[f'] = ik F[f]

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Jayk



Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450

Beitrag Jayk Verfasst am: 26. Jan 2015 16:31    Titel: Antworten mit Zitat

@TomS: Bei mir hat der Link noch funktioniert...

@Greenfunktion: Es gibt zwei ähnliche Formeln:





Plus entsprechende Regeln für die Rücktransformation! Ich kann mir die nicht merken und bin schneller, wenn ich mir das herleite.

Es gilt auch , weshalb man für temperierte Distributionen einfach definiert. Man sieht dann leicht, dass die Delta-Distribution die Fouriertransformierte 1 hat: , was man häufig formal als findet. Um die Greensfunktion für einen Differentialoperator zu finden, muss man also in der Definitionsgleichung



eine Fouriertransformation machen:



also



und hat "nur noch" die Fourierrücktransformation zu machen.

Für wählst du wählst du z.B. für und für .
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