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ohneplan123
Gast
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 ohneplan123 Verfasst am: 06. Jan 2015 12:47 Titel: Wann Biot-Savart und wann Ampere? |
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Folgende Aufgabe:
a) ein (unendlich) langer zylindrischer Leiter (Radius R) werde homogen vom Strom I durchflossen. Berechnen Sie das Magnetfeld  im ganzen Raum.
b) In dem Leiter befinde sich nun ein zylindrischer Hohlraum (Radius R1), dessen Achse im Abstand a parallel zur Leiterachse verläuft. Die homogene Stromdichte habe denselben Wert wie in a). Berechnen Sie im ganzen Raum, indem Sie das Superpositionsprinzip benutzen.
Mein Lösung:
Ich habe mich hier lange Zeit daran probiert die Aufgabe mit Biot-Savart zu lösen, was zwar möglich ist, aber sehr sehr aufwändig. Deswegen benutze ich das Amperesche Durchflutungsgesetz.
Auf Grund der Symmetrie gilt:
 \vec{e}_{\phi})
Außerdem ist:
)
Daraus folgt:
 \cdot 2\pi r = \mu_0 \int \vec{j}d\vec{A}=\mu_0 I(r))
Also:
=\frac{\mu_0 I(r)}{2\pi r}) (allgemein)
Jetzt muss ich unterscheiden zwischen innerhalb und außerhalb des Leiters.
innerhalb des Leiters (r<R):
=\frac{I}{\pi R^2} \cdot \pi r^2 = I \frac{r^2}{R^2})
=\frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2})
außerhalb des Leiters (r>=R):
=I)
=\frac{\mu_0 I}{2\pi r})
Also insgesamt:
 \vec{e}_{\phi} = \begin{cases}\frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} \vec{e}_{\phi} & r<R \\ \\ \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\vec{e}_{\phi} & r\geq R \end{cases}}})
Ist das erstmal so richtig gelöst?
Wenn ja, habe ich noch eine allgemeine Frage zum Durchflutungsgesetz von Ampere. Ich hab es so verstanden, dass ich einfach eine geschlossene Kurve in den Raum packe und die Stärke des Magnetfelds integriert entlang dieser Kurve ergibt den gesamten Strom, welcher die Fläche, den die Kurve einschließt, durchströmt. Richtig? Wie bestimme ich dann die Geometrie meiner Kurve? Einfach immer so, dass ich die entsprechende Querschnittsfläche, durch welche der Strom fließt umfassen kann? Macht ja erstmal alles soweit Sinn, denn wenn ich eine Kurve im Raum wähle, wo kein Leiter vorhanden ist, kommt dann entsprechend 0 für das Magnetfeld heraus. Heißt, dann aber nicht, dass an dieser Stelle das Magnetfeld 0 sein muss, sondern dass dort kein Megnetfeld erzeugt wird, weil kein Strom vorhanden ist, richtig?
Dann zu Biot-Savart:
Wann weiß ich, dass ich mit Biot-Savart besser fahre? Einfach ist das Gesetz ja meist anzuwenden, wenn beispielsweise eine Stromdichte gegeben ist und ich das Feld nur auf der z-Achse oder ähnliches berechnen soll. Aber woran erkenne ich recht schnell, mit welcher Möglichkeit ich schneller zum Ziel komme? Hier wäre ich über Tipps sehr dankbar.
Dann noch zu b). Hier verstehe ich irgendwie nicht, wie ich das ganze lösen soll. Superpositionsprinzip ist mir klar. Also dass ich irgendwie Lösungen überlagern soll. Aber irgendwie fehlt mir hier die Vorstellung wie ich das ganze machen soll. Vielleicht erst das Feld im Loch berechnen? Ich wäre auch hier dankbar über Hinweise.
Danke im Voraus! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 06. Jan 2015 17:27 Titel: Re: Wann Biot-Savart und wann Ampere? |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: |
Ist das erstmal so richtig gelöst?
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Ohne alles im Detail zu prüfen: Die Idee ist richtig.
| Zitat: |
Wenn ja, habe ich noch eine allgemeine Frage zum Durchflutungsgesetz von Ampere. Ich hab es so verstanden, dass ich einfach eine geschlossene Kurve in den Raum packe und die Stärke des Magnetfelds integriert entlang dieser Kurve ergibt den gesamten Strom, welcher die Fläche, den die Kurve einschließt, durchströmt. Richtig? Wie bestimme ich dann die Geometrie meiner Kurve? |
So dass es zum Ziel führt. In der Regel folgt man der Symmetrie der geometrischen Anordnung.
| Zitat: |
Dann zu Biot-Savart:
Wann weiß ich, dass ich mit Biot-Savart besser fahre? Einfach ist das Gesetz ja meist anzuwenden, wenn beispielsweise eine Stromdichte gegeben ist und ich das Feld nur auf der z-Achse oder ähnliches berechnen soll. Aber woran erkenne ich recht schnell, mit welcher Möglichkeit ich schneller zum Ziel komme? Hier wäre ich über Tipps sehr dankbar.
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Erfahrung und ausprobieren. Ob der eine oder andere Weg einfacher oder schwerer ist, ist oft auch Geschmacksache.
| Zitat: |
Dann noch zu b). Hier verstehe ich irgendwie nicht, wie ich das ganze lösen soll. Superpositionsprinzip ist mir klar. Also dass ich irgendwie Lösungen überlagern soll. Aber irgendwie fehlt mir hier die Vorstellung wie ich das ganze machen soll. Vielleicht erst das Feld im Loch berechnen? Ich wäre auch hier dankbar über Hinweise. |
Vllt hilft es Dir wenn Du die Stromdichte als Superposition zweier einfacher Stromdichten schreibst... |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 06. Jan 2015 18:24 Titel: |
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Wenn ich zwei Stromdichten finden soll, dann bleibt ja nur die Möglichkeit der Stromdichte für das Loch und für den Rest des Leiters.
Die stromdichte für das Loch ist 0 und für den restlichen Leiter ergibt sich
 allerdings weiß ich nicht so recht wie ich dir koordinaten hier reinbringe. Ich denke das wird nicjts in zylinderkoordinaten, oder? Kannst du mir hier vielleicht die Stromdichte angeben, wie du es meintest? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 06. Jan 2015 22:26 Titel: |
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Die Stromdichte im Loch ist in der Tat 0, aber es hilft mehr die gesamte Stromdichte als Summe zweier Anteile zu schreiben, die beide einzeln im Loch nicht 0 sind... |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 07. Jan 2015 10:48 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Die Stromdichte im Loch ist in der Tat 0, aber es hilft mehr die gesamte Stromdichte als Summe zweier Anteile zu schreiben, die beide einzeln im Loch nicht 0 sind... |
D.h. eine Stromdichte muss an der Stelle negativ sein, die andere positiv, sodass die Summe am Ende 0 ergibt? Ich stehe auf dem Schlauch muss ich sagen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 07. Jan 2015 11:22 Titel: |
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Das ist zumindest die geschickte Wahl... |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 07. Jan 2015 11:40 Titel: |
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Ok, also wäre meine Idee, die Stromdichte für den kompletten Leiter wie in der Aufgabe zuvor, als positiv anzunehmen. Und dann das Loch mit entsprechender negativer Stromdichte.
Heißt also:
 \vec{e_z})
Ich weiß nicht, wie ich den Ort des Lochs angebe. Kannst du mir hier helfen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 07. Jan 2015 12:09 Titel: |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: | | Ok, also wäre meine Idee, die Stromdichte für den kompletten Leiter wie in der Aufgabe zuvor, als positiv anzunehmen. Und dann das Loch mit entsprechender negativer Stromdichte. |
Genau. Das ist die Idee.
In Kugelkoordinaten lässt sich der Ort des Lochs nicht wirklich schoen angeben. Ich würde die Funktion einfach stückweise definieren. Solange man weiss was Du meinst (nämlich "negative Stromdichte nur da wo das Loch ist) ist doch alles ok. |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 08. Jan 2015 11:08 Titel: |
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Ich hab es jetzt doch mal in Zylinderkoordinaten probiert und glaube ich hinbekommen.
Ausgangspunkt für das Loch sei hierbei die Kreisgleichung mit Mittelpunkt:
)
Und Radius:
Daraus ergibt sich in kartesichen Koordinaten:
^2 + y^2)
Umwandlung in Zylinderkoordinaten liefert:
^2 + (R_1\sin{\phi})^2)
Und damit gilt dann für die Stromdichte:
 - \frac{I}{\pi R^2} \Theta\left(\frac{a}{2 \cos{\phi}}-r\right) \right)\vec{e}_z)
Ist das in Ordnung so, oder stimmt an der Überlegung etwas nicht? Bekomme nämlich Probleme beim Integrieren dann, an irgendwas hakt es. Wie würdest du es abschnittsweise definieren? |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 08. Jan 2015 11:27 Titel: |
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Fehler gefunden!!!
Es muss heißen
| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: | Ich hab es jetzt doch mal in Zylinderkoordinaten probiert und glaube ich hinbekommen.
Ausgangspunkt für das Loch sei hierbei die Kreisgleichung mit Mittelpunkt:
Und Radius:
Daraus ergibt sich in kartesichen Koordinaten:
Umwandlung in Zylinderkoordinaten liefert:
^2 + (r\sin{\phi})^2)
Und damit gilt dann für die Stromdichte:
 - \frac{I}{\pi R^2} \Theta\left(\sqrt{r^2-2ar\cos{\phi}+a^2}-r\right) \right)\vec{e}_z)
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Jetzt richtig? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2015 11:33 Titel: |
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Anstatt direkt für den verschobenen inneren Leiter die Integrale zu berechnen, machst du folgendes:
1) Koordinaten-Trf', so dass der innere Leiter in den neuen Koordinaten wieder bei r' = 0 liegt
2) Berechnung des B-Feldes mittels r'; ist identisch zu der oben gelösten Aufgabe
3) Rück-Trf, so dass du das B-Feld des inneren Leiters wieder zurück verschiebst
4) Addition der beiden B-Felder = des originalen von oben + des verschobenen des inneren Leiters
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 08. Jan 2015 12:07 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Anstatt direkt für den verschobenen inneren Leiter die Integrale zu berechnen, machst du folgendes:
1) Koordinaten-Trf', so dass der innere Leiter in den neuen Koordinaten wieder bei r' = 0 liegt
2) Berechnung des B-Feldes mittels r'; ist identisch zu der oben gelösten Aufgabe
3) Rück-Trf, so dass du das B-Feld des inneren Leiters wieder zurück verschiebst
4) Addition der beiden B-Felder = des originalen von oben + des verschobenen des inneren Leiters |
Ok, klingt plausibel.
Also gilt:
)
Daraus folgt für r' < R_1:
 = - \mu_0 I \frac {r'}{2\pi R^2} \vec{e}_{\phi} )
Und für r'>= R_1:
 = - \mu_0 I \frac {{R_1}^2}{2\pi r' R^2} \vec{e}_{\phi})
Da ich den Mittelpunkt meines Koordinaten Systems nun in x um a verschoben habe, muss ich das ganze zurücktransformieren.
Es gilt:
^2 + (r \sin\phi)^2})
soweit so gut...Einsetzen in die Berechnenten B-Felder liefert den Anteil des Lochs in den richtigen Koordinaten. Problem ist aber jetzt noch die Abschnittsweise Definition. D.h. Ich habe ja hier angegeben r'<R_1 Das muss ich ja auch irgendwie umtransformieren...wie macht man das? Heißt es gibt ja einen Bereich wo r im Leiter so klein ist, dass das Loch garnicht berührt wird, genauso kann icheinen Punkt finden, an dem das Loch bereits voll berücksichtigt ist, ich mich aber immernoch im Leiter befinde. Wie gehe ich damit um? |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 08. Jan 2015 13:02 Titel: |
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Oder ist es so, dass ich dann einfach 3 Bereiche innerhalb des Leiters habe?
Einmal nur Stromdurchflossener Bereich: r< a-R_1<R
Stromdurchflossener Bereich und teil des Lochs: a-R_1 <r < a+R_1<R
Stromdurchflossener Bereich und gesamtes Loch: a+R_1<r<R
und dann den Bereich außerhalb mir r>=R das ist klar.
Bin etwas verwirrt.  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2015 13:02 Titel: |
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Ich verstehe das Problem nicht. Du hast drei Bereiche:
1) Loch
2) Leiter
3) Aussenraum
Nun muss du die geeigneten Loesungen einsetzen; fuer die beiden Felder (A) und (B) ist das
1) (A-innen) und (B-innen)
2) (A-innen) und (B-aussen)
3) beide aussen
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 08. Jan 2015 13:16 Titel: |
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Mir gehts um die Abschnitssweise definition. Von wo bis wo gilt denn dann in Zylinderkoordinaten bspw. beide innen...das ist das Problem. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2015 13:51 Titel: |
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Na ja, das wäre
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 08. Jan 2015 15:34 Titel: |
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AHHHHHHHH jetzt hat es Klick gemacht. Ich habe den Denkfehler begangen, mir die ganze Zeit vorzustellen, was doch passiert, wenn ich von Innen ausgehend integriere und dann das Loch noch garnicht dabei ist, aber durch die Superposition ganz ich das doch komplett vergessen, denn die Überlagerung regelt das ja dann. Entschuldige dass ich völlig verpeilt war.
Kannst du mir noch bitte sagen, ob das folgende Ergebnis stimmt?
=\begin{cases}\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2} \left(r - \sqrt{r^2 + a^2 -2ar\cos{\phi}}\right) \vec {e}_{\phi}& |\vec r|<R \land |\vec r - a\vec {e}_r| <R_1 \\ \frac{\mu_0 I}{2\pi R^2} \left(r - \frac{{R_1}^2}{\sqrt{r^2 + a^2 -2ar\cos{\phi}}}\right) \vec {e}_{\phi} & |\vec r|<R \land |\vec r - a\vec {e}_r| \geq R_1 \\ \frac{\mu_0 I}{2\pi R^2} \left(\frac{R^2}{r}-\frac{{R_1}^2}{\sqrt{r^2 + a^2 -2ar\cos{\phi}}}\right) \vec {e}_{\phi} & |\vec r|\geq R \end{cases})
Danke für die Hilfe. Der restliche Teil der Lösung war ok so, also der Lösungsweg bei a)? @TomS: Hast du noch was zu Biot_savart und Ampére zu sagen, bzgl. der Tauglichkeit für Lösungen bestimmter Aufgabentypen und womit man in der Regel gut fährt? |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 14. Jan 2015 13:15 Titel: |
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Kann bitte nochmal jemand sagen, ob das Ergebnis denn so korrekt ist? |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 20. Jan 2015 17:13 Titel: |
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Hätte immernoch gern eine kurze Rückmeldung. Danke |
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