Dichteoperator - Spurklasse und Messbarkeit

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Hallo, ich habe ein paar Fragen an die Experten.

Ein Dichteoperator sowie ein Erwartungswert werden i.A. geschrieben als

wobei das System der |u> kein ONS jedoch vollständig sein muss. Dabei sind die Integrale mittels eines geeigneten Maßes zu definieren.

Interessanterweise definiert dies dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das genau der Bornschen Regel entspricht (s.a. Gleason's Theorem).

Fragen:
wer garantiert, dass die Menge S bzw. das System der |u> selbst messbar ist?
niemand, denn ich weiß ja, dass ich bereits auf der Einheitskugel nicht-messbare Mengen definieren kann!
verletzt ein derartiges rho evtl. die Spurklasse?
liegt der Fehler darin, dass ich kein diskretes System für die |u> verwende? (obwohl das wg. Separabilität immer funktioniert)

bassiks · Anmeldungsdatum: 11.08.2010 Beiträge: 194

Bevor ich mir darüber Gedanken mache, will ich sicher gehen, dass ich
verstehe, worauf du hinaus willst.
Verstehe ich deine Frage richtig wenn ich sie so formuliere:
Impliziert die Definition eines Dichteoperators die Messbarkeit von S?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

er andersherum: was bedeutet die Existenz nicht-messbarer Mengen für den Dichteoperator (auf diesen Mengen)

bassiks · Anmeldungsdatum: 11.08.2010 Beiträge: 194

Auf den ersten Blick denke ich dass die Existenz solcher Mengen nicht wirklich viel für den Dichteoperator bedeutet. Die Messbarkeit der Menge
ist für die Spur erstmal nicht relevant. Die Funktion p(u) muss so gewählt sein, dass die Spur 1 wird. Andernfalls handelt es sich schlicht um keinen Dichteoperator.

Mann könnte jetzt natürlich die Frage nach den notwendigen Eigenschaften von p(u) stellen. Eine sichere Abschätzung wäre vermutlich, dass p(u) einen kompakten Träger hat, dessen Schnitt mit S eine messbare Menge ergibt.
Ob dies die einzigen möglichen p's sind trau ich mich jetzt nicht zu behaupten.

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Für mich ist die Frage am falschen Ende aufgerollt.

Ich definiere einen Dichteoperator als normierten positiv semi-definiten Spurklasseoperator auf einem Hilbertraum (also

). Als Spurklasseoperator ist der Operator insbesondere kompakt und daher gilt der Spektralsatz für kompakte Operatoren:

Es gibt ein Orthonormalsystem

(Eigenvektoren) und eine (abzählbare) Menge

(das Spektrum von

) sodass

Das Spektrum ist dann als abzählbare Menge immer messbar. Auch wenn wir allgemeine beschränkte oder unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren zulassen, ändert sich nichts daran, dass deren Spektrum messbar ist.

Die Antwort wäre also: Man schreibt den Dichteoperator nicht einfach in der Integralform auf, diese stammt aus dem Spektralsatz, wo die Messbarkeit aller Mengen garantiert ist.

Alternativ kannst du Dichteoperatoren natürlich als normierte positive Funktionale auf einer C*-Algebra definieren, aber dann hast du die GNS-Konstruktion und gelangst zu Spurklasseoperatoren auf einem Hilbertraum und erst da macht die Integralbeschreibung meines Wissens nach Sinn.

Auf allgemeinen Kegeln kenne ich mich nicht ganz so aus, sollte aber alles ähnlich aussehen, weil die Spektraltheoreme ähnlich sind (müsste ich aber nachschauen).

Gruß
MI

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Du hast wohl recht.

Machen wir's noch einfacher. Nehmen wir einen zwei-dim. Hilbertraum. Dieser enthält die S². Auf dieser existiere eine nicht-messbare Teilmenge T (das wissen wir von Banach-Tarski). Nun "schreiben wir eine Matrix hin"

Das Flächenelement dS, die Funktion a sowie die Einheitsvektoren e sind Funktionen der Winkel.

Offensichtlich existiert T, jedoch wg. der fehlenden Messbarkeit nicht das Integral und damit auch nicht die Matrix A.

Was bedeutet das physikalisch? z.B. für ein Spinsystem?

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

In der Spektraldarstellung integrierst du über das Spektrum von A. Ich verstehe nicht, wieso da ein Integral über eine Teilmenge von

bei dir auftaucht. Das Spektrum von Observablen ist im allgemeinen eine abgeschlossene Teilmenge von R, sollte also stets Lebesgue-meßbar sein, oder nicht?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Also nochmal zum zweidimensionalen Beispiel

Natürlich kann ich zunächst eine Orthonormalbasis benutzen, also sowas wie

Aber ich weiß, dass auch andere Vektoren zulässig sind, die nicht mehr orthogonal, jedoch weiterhin normiert und vollständig sein müssen:

So wie ich da sehe, kann das Vektorsystem auch über-vollständig sein, d.h. auch

ist zulässig.

Und von da aus ist es kein großer Schritt zu einem Integral.

Ich gebe aber zu, dass meine Idee sehr weithergeholt erscheinen mag ...

bassiks · Anmeldungsdatum: 11.08.2010 Beiträge: 194

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Ich bin komplett abgehängt. Ich hatte verstanden, daß du nach der Existenz der Spektralzerlegung für Spurklasseoperatoren fragst. So wie ich MIs Antwort oben interpretiere, hatte er es auch so verstanden. Jetzt verstehe ich überhaupt nicht mehr, wonach du eigentlich fragst: ob man einen irgendwie definierten Spurklasseoperator als Integral über nicht-meßbare Mengen im Hilbertraum schreiben kann?

Warum sollte die Antwort darauf irgendwelche physikalischen Konsequenzen haben? Die Frage erscheint mir auch irgendwie widersprüchlich. Kannst du genauer erklären von was für einer Darstellung du eigentlich sprichst?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Also, ich versuch’s nochmal von vorne.

Gegeben sei eine zunächst abzählbare Menge von normierten Zuständen

die vollständig, jedoch nicht zwingend orthogonal sein müssen. D.h. wir haben sicher

Für einen Dichteoperator existiert dann die Darstellung

(1) Dabei bezeichnet p_u die (klassische) Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand |u> vorliegt. Diese berechnet man mittels des Projektors auf |u>, d.h.

Erwähnenswert ist evtl. noch, dass man (1) erweitern kann für mehrdimensionale Unterräume (wobei dann auf orthogonale Unterräume projiziert werden muss)

(2) Für weitere Observablen folgt der Erwartungswert

Natürlich müssen außerdem alle weiteren Anforderungen an einen Dichteoperator erfüllt sein, d.h.
(3) selbstadjungiert
(4) positiv semidefinit
(5) Spurklasse mit Spur gleich 1

Nun möchte ich zwei Verallgemeinerungen durchführen. Hier zunächst die erste (die zweite erst nach Abschluss).

Weil die |u> nicht notwendig orthogonal sein müssen und weil ich für andere Probleme überabzählbare Zustände verwenden kann, bin ich auf die Idee gekommen, diese beiden Ideen für den Dichteoperator zu kombinieren. D.h. jetzt betrachte ich

Dabei sei S eine messbare Menge mit einem geeigneten Maß. Um auf bekanntem Gelände zu bleiben könnte man z.B. kohärente Zustände betrachten, d.h.

Das Maß wäre dann soetwas wie

auf der komplexen u-Ebene. Wie man sieht hat dies nichts mit einer Spektralzerlegung zu tun.

Dabei stellt sich nun im Wesentlichen die Frage, ob dies mathematisch möglich und physikalisch sinnvoll ist, d.h. insbs. ob die Punkte (1) – (5) weiterhin gültig bleiben.

bassiks · Anmeldungsdatum: 11.08.2010 Beiträge: 194

Ok. Tut mir leid. Ich hab dich völlig falsch verstanden.

Was deine Frage betrifft, so meine ich zu wissen dass eine überabzählbare Folge von Einheitsvektoren ausreichend ist. Ich bin eben noch am Suchen nach einer verlässlichen Quelle.

Auch auf die Gefahr hin dass ich mich hier blamiere: Warum verlangst du Vollständigkeit?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

bassiks · Anmeldungsdatum: 11.08.2010 Beiträge: 194

Dann hab ich dich wieder falsch verstanden. Dachte du willst nur wissen was man für einen Dichteoperator mindestens benötigt. Wenn du alle möglichen Zustände damit beschreiben willst, dann ist natürlich Vollständigkeit gefragt...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich denke, speziell für kohärente Zustände genügt es zu zeigen, dass für jeden Dichteoperator (unter der Verwendung der Eigenzustände des harmonischen Oszillators)

eine Darstellung (unter Verwendung kohärenter Zustände)

existiert (u.u.).

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Diese "überabzählbaren" Zustände kenne ich nur aus der Spektralzerlegung von Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum. Und dann handelt es sich nicht eigentlich um Basiselemente des Hilbertraums, sondern um operatorwertige Maße. Dein Integral

erinnert frappierend an das, was man in diesem Zusammenhang als den Operator

zu bezeichnen pflegt, wobei

.
Hier wird jeweils nur über das (meßbare) Spektrum von T integriert.

Ist leider alles, was mir im Augenblick dazu einfällt. Wenn dir was anderes vorschwebt, ist mir noch nicht so richtig klar, was.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Das meine ich nicht.

Ich meine wirklich z.B. kohärente Zustände (diese sind überabzählbar und über-vollständig über C). Und ich meine nicht-ONS für Dichteoperatoren.

Schau mal hier: http://en.m.wikipedia.org/wiki/Coherent_state#Mathematical_features_of_the_canonical_coherent_states

Wichtig: eigtl. ist das nur ein Beispiel, und es geht mir um Dichteoperatoren, nicht um reine Zustände

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Also für kohärente Zustände funktioniert das tatsächlich: Kap. 3.4 und 3.5, insbs. Gl. (3.73) in
http://www.fulviofrisone.com/attachments/article/426/Coherent%20States%20in%20Quantum%20Physics.pdf

Die Eigenschaften (1) - (5) werden weiterhin, ggf. geeignet modifiziert, gültig sein. Ich werde das auch noch mal für andere kontinuierliche Systeme S überprüfen.

Damit ist die erste Verallgemeinerung der Dichtematrix abgeschlossen.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Ich denke, was du meinst ist nichts wesentlich anderes, als was ich geschrieben habe. (Auch die beiden Links scheinen erstmal von nichts anderem zu sprechen, auch wenn ich jetzt wieder nicht verstehe, was deine urpsrüngliche Frage mit einer "Verallgemeinerung der Dichtematrix" zu tun hatte.) Ich weiß zwar nicht ob es in diesem Fall technisch so problemlos durchführbar ist, wie im Fall von normalen Operatoren. Aber wenn du von kohärenten Zuständen sprichst, geht es ja erstmal nur um das Spektrum und die "verallgemeinerten Eigenzustände" des Vernichtungsoperators

.

Im Zusammenhang mit dem statistischen Operator physikalisch relevant scheint mir nun also erstmal die Frage, ob für Vernichtungsoperatoren ein meßbarer Funktionalkalkül definiert werden kann, der es erlaubt zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte

über dem (nun eben komplexen) Spektrum von

einen Operator

zu definieren, dessen Eigenwerte auf kohärenten Zuständen gerade die Wahrscheinlichkeit ergibt, daß sich das System in diesem Zustand befindet, also

. Im Falle von gewöhnlichen Observablen führt genau diese Frage auf die Definition von Spektralmaßen (als verallgemeinerte Eigenzustände) und das Spektraltheorem. (Das entscheidende für die Interpretation von Eigenzuständen von

als physikalische Zustände, ist denke ich aber die Existenz des Funktionalkalküls, nicht unbedingt das Spektralmaß.) Ob ein solches Maß in diesem Fall definiert werden kann, weiß ich wie gesagt nicht, aber deine beiden Quellen scheinen genau dies anzunehmen (oder vorauszusetzen). Oder was soll

anderes sein als ein Operatormaß auf dem Spektrum von

?

Wenn es aber existiert, sollte es auch kein Problem sein jeden Operator, nicht nur den statistischen, in dieser verallgemeinerten Basis in der Form wie in Gl. (3.73) darzustellen. Es sei denn ich übersehe da etwas, aber auf irgendwelche Subtilitäten wird in dem Buch an der Stelle jedenfalls auch nicht hingewiesen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich denke, wir sind uns ziemlich einig. Der einzige Punkt, der mir so ohne weiteres nicht klar war, ist folgender: ich kenne den Spektralsatz für selbstadjungierte sowie für normale Operatoren; beides trifft auf die Vernichter jedoch nicht zu, d.h. ich kann nicht einfach den Spektralsatz und alle Schlussfolgerungen übernehmen (mir ist intuitiv schon klar, dass es für kohärente Zustände funktioniert, aber eben nicht gnerell).

Der ursprüngliche Gedanke ging in die Richtung, dass im Falle der Dichtematrix diese direkt mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß dafür verknüpft ist, ein System in einem bestimmten (ggf. mehrdimensionalen) Unterraum, zu finden. Ich denke, das passt auch für verallgemeinerte Dichteoperatoren.

Ich denke nochmal über die Nicht-Messbarkeit nach.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Nach einigem Nachdenken:

Aufgrund der Separabilität des Hilbertraumes ist grundsätzlich immer eine diskrete, abzählbar unendliche Hilbertbasis möglich. Das Problem der Nichtmessbarkeit tritt gar nicht auf.

Wenn man kontinuierliche Basen verwenden möchte, dann kann man nicht-messbare Mengen künstlich einführen, aber das ist m.E. ohne physikalische Relevanz.

Nochmal zum zweidimensionalen Beispiel. Ich betrachte die Basis

Nun führe ich die kontinuierliche, überabzählbare Basis

ein. Bei geeigneter Verwendung von delta-Distributionen für p folgt unmittelbar die Darstellung in der abzählbaren Basis. Ich denke, es ist unmittelbar einsichtig, dass das auf endlich-dimensionale Räume und damit auf S^n erweiterbar ist (wobei die Sphäre immer eine Dimension weniger hat als der betrachtete Raum).

D.h. ich schreibe unter Verwendung des Winkel-n-Tupels Omega allgemein

Wenn ich nur ein Teilmenge T betrachte, also

dann ist das gleichbedeutend mit

wobei

Soweit alles klar.

Jetzt zu meiner eigtl. Frage, was passiert, wenn T eine nicht-messbare Menge ist und was das physikalisch bedeutet. Die Antwort, die ich mir selber gebe, lautet: die kontinuierliche Basis ist aufgrund der Separabilität des Hilbertraumes unnötig, für nicht-messbares T ist das Integral nicht definiert; physikalisch ist das irgendwo zwischen irrelevant und sinnlos.

Also Danke für’s Zuhören und Sorry für die Verwirrung!