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pendulum
Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68
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 pendulum Verfasst am: 05. Okt 2007 20:42 Titel: Dichteoperator |
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Ein Spin 1/2 wird wie folgt präperiert (gemischter Zustand):
50% 
25% 
25% 
Man soll nun eine Mischung von 2 orthogonalen Zuständen finden, wobei sie durch den gleichen Dichteoperator beschrieben werden sollen.
Hat jemand eine Idee wie man dieses Problem lösen kann?
Gruß, pendulum |
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schnudel
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 56
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| schnudel Verfasst am: 06. Okt 2007 09:41 Titel: |
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Sollst du
a)
diesen Dichteoperator durch Mischen zweier "reiner" orthgonaler Zustände anschreiben
b)
diesen Dichteoperator durch Mischen zweier "reiner" orthogonaler Zustände schreiben, die untereinander den gleichen (aber ntürlich einen vom angegebenen verschiedenen) Dichteoperator haben
?
a) ist trivial, man müsste nur auf eine definierte Basis gehen, zB auf die Eigenzustände der z-Richtung und die Zustände der y und x daher nur umschreiben (was ja nicht allzuschwer fällt, wenn man die Eigenvektoren der Paulimatrizen bildet).
b) können zwei orthogonale Zustände den gleichen Dichteoperator haben ? Das weiss ich momentan leider nicht...Oje, lang ists her...
Wenn ich die Mischung jedenfalls mit zwei reinen Zuständen a, b anschreiben würde (orthogonal oder nicht), dann wäre es ja
mit
Wenn nun a und b die gleichen Dichteoperatoren hätten, so wäre dies
was aber wiederum kein Mischzustand wäre, sondern ein reiner im Zustand a. Reine und gemischte Zustände kann man aber eindeutig an der Spur unterscheiden. Da kann doch was nicht stimmen... 
Wahrscheinlich verstehe ich die Frage nicht, dass du keine Antwort erhalten hast, liegt vielleicht an der etwas schwammigen Formulierung. |
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pendulum
Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68
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| pendulum Verfasst am: 06. Okt 2007 16:34 Titel: |
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ich denke es handelt sich um den Fall a)
Ich hab jetzt die Eigenzustände durch  ausgedrückt:
 )
und  ) .
Wenn ich nun den Dichteoperator ausrechne erhalte ich natürlich wieder den gleichen, als würde man die x/z Zustände nicht durch die y-Zustände ausdrücken.
Wie erhalte ich aber daraus die Mischung?
Danke, pendulum |
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schnudel
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 56
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| schnudel Verfasst am: 07. Okt 2007 09:23 Titel: |
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| pendulum hat Folgendes geschrieben: |
Wie erhalte ich aber daraus die Mischung?
Danke, pendulum |
indem du den Dichteopertaor explizit hinshreibst. Er ist
Nun musst du nur noch deine Umwandlungen einsetzen. |
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pendulum
Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68
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| pendulum Verfasst am: 07. Okt 2007 11:51 Titel: |
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ok, das hab ich schon gemacht. Und ich erhalte eben wie erwartet den gleichen Dichteoperator. Aber ist das schon die Mischung? Kann ich sie nicht irgendwie in der Form:
30 %  + 70%  .
angeben?
Gruß, pendulum |
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schnudel
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 56
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| schnudel Verfasst am: 07. Okt 2007 12:13 Titel: |
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Naja wie sieht der Dichteoperator DO denn nun konkret aus ?
Nun hast du ihn in der Basis der y Zustände geschrieben (ich hätte übrigens die z Zustände genommen, aber egal).
Wenn es erforderlich ist, den DO in die Form
zu bringen (was ich aber nicht genau weiss, aber mal zu 99% annehme, denn nur in dieser Darstellung ist es eben eine Mischung.), musst du schauen, ob er in deiner Darstellung Nichtdiagonalelemente beinhaltet. Ich bin mir darüber fast sicher, obwohl ich nichts gerechnet habe. Falls ja, musst du zwei Zustände a, b als Überlagerung der y Eigenzustände finden, die ihn eben diagonalisieren. Die a, b sind dann die gesuchten orthogonalen Zustände. Wie diagonalisiert man denn einen Operator ???
Kleiner Hinweis:
Wenn man den DO als
schreiben soll,
dann haben wir auch
Daraus folgt sofort
Die Forderung, dass a und b orthogonal sein sollen, ist in der Angabe überflüssig, da es anders gar nicht geht.
Geht dir vielleicht nun ein Licht auf ? |
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pendulum
Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68
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| pendulum Verfasst am: 07. Okt 2007 16:12 Titel: |
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Konkret sieht der Dichteoperator so aus:
 \\1/8 \, (i-1) & 1/4 \end{pmatrix})
Er beinhaltet also auch nicht-diagonal Elemente.
Seh ich das richtig, dass die Zustände  und  genau die Eigenvektoren der Dichteoperators sind?
Ich hab die mal berechnet (und das ist eine ganz schön lange Rechnung ;-) ) und erhalte:
Eigenwerte:  und  .
Eigenvekoren (ohne Normierung): }{2} \cdot (1+i) \\ 1 \end{pmatrix} )
und
 \\ 1 \end{pmatrix} )
Die beiden Eigenvektoren sind orthogonal und die Summe der Eigenwerte ergibt 1.
Wenn ich die Zustände wie folgt definiere:  \cdot v_{1} ) und analog mit b und damit dann den Dichteoperator berechne erhalte ich wieder den gleich wie oben.
Ist das dann schon meine Mischung? Ich hab ja dann die y-Eigenzustände gar nicht eingehen lassen.
Vielen Dank
pendulum |
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schnudel
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 56
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| schnudel Verfasst am: 07. Okt 2007 20:04 Titel: |
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| pendulum hat Folgendes geschrieben: | Konkret sieht der Dichteoperator (in der gewählten Basis !!!!) so aus:
Die Spur ist eins, was mal nicht schlecht aussieht. Es müsste das Quadrat der Dichtematrix eine eine Spur streng kleiner 1 haben. Das ist das Kriterium für einen Mischzustand.
Er beinhaltet also auch nicht-diagonal Elemente.
Seh ich das richtig, dass die Zustände und genau die Eigenvektoren der Dichteoperators sind?
Ja, darauf hab ich dich mit meiner obigen Bestimmungsgleichung führen wollen.
Ich hab die mal berechnet (und das ist eine ganz schön lange Rechnung ;-) ) und erhalte:
Eigenwerte: und .
Eigenvekoren (ohne Normierung):
und
Die beiden Eigenvektoren sind orthogonal und die Summe der Eigenwerte ergibt 1.
Wenn ich die Zustände wie folgt definiere: und analog mit b und damit dann den Dichteoperator berechne erhalte ich wieder den gleich wie oben.
Ist das dann schon meine Mischung?
Ja sicher, es ist eben eine Mischung aus a und b mit p(a)=lambda1 und p(b)=lambda2.
Ich hab ja dann die y-Eigenzustände gar nicht eingehen lassen.
Wie bist du dann auf die Matrix oben gekommen ? Die ist doch die Darstellung des Dichteoperators im Raum der y-Zustände, oder ? Und auch die Komponenten der beiden Eigenvektoren sind doch in diesem Raum berechnet worden. Oder in welchem denn sonst ???
Es ist doch
 \cdot |\uparrow_y\rangle + 1 \cdot |\downarrow_y\rangle )
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PS: es klingt plausibel, nachgerechnet hab ich aber nichts! Üblicherweise wählt man die Basis im Raum der z-Zustände, da alle Paulimatrizen darauf zugeschnitten sind. Ist aber nicht falsch, wenn du keinen Fehler eingebaut hast.  |
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pendulum
Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68
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| pendulum Verfasst am: 07. Okt 2007 23:28 Titel: |
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Auf den gleichen Dichteoperator bin ich auch durch
Einsetzen von  in
 gekommen.
Es macht (in diesem Fall zumindest) keinen Unterschied, ob ich die x, z - Zustände durch y ausdrücke oder nicht, ich komme auf die gleiche Dichtematrix.
Aber das Problem ist doch eigentlich gelöst, ich hab ja die beiden orthogonalen Zustände gefunden, die doch verlangt waren oder nicht?
Ich gib die Mischung einfach wie folgt an:
 mal der Zustand  und  mal der Zustand 
Gruß
pendulum |
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schnudel
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 56
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| schnudel Verfasst am: 08. Okt 2007 09:11 Titel: |
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| pendulum hat Folgendes geschrieben: | Konkret sieht der Dichteoperator so aus:
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Ja, das bekomm ich raus, wenn ich in der z-Basis rechne.
Für die y-Basis bekomme ich aber
| Zitat: | | Es macht (in diesem Fall zumindest) keinen Unterschied, ob ich die x, z - Zustände durch y ausdrücke oder nicht, ich komme auf die gleiche Dichtematrix. |
Deine Beobachtung, dass die Dichtematrix in y und z Darstellung gleich ist, kann ich daher nicht nachvollziehen. Ich habs jetzt 3 mal nachgerechnet, es kann aber leicht sein, dass ich nun schon betriebsblind bin...
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pendulum
Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68
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| pendulum Verfasst am: 08. Okt 2007 14:41 Titel: |
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Ich hab das ganze nochmals mit dem Taschenrechner überprüft und komme immer noch auf die gleiche Dichtematrix
Vielleicht mache ich auch irgendetwas falsch
Ich werde jetzt einfach die Eigenvektoren nehmen und die Mischung wie oben angeben.
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe
Gruß
pendulum |
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schnudel
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 56
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| schnudel Verfasst am: 08. Okt 2007 15:44 Titel: |
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| pendulum hat Folgendes geschrieben: | Ich hab das ganze nochmals mit dem Taschenrechner überprüft und komme immer noch auf die gleiche Dichtematrix
Vielleicht mache ich auch irgendetwas falsch
Ich werde jetzt einfach die Eigenvektoren nehmen und die Mischung wie oben angeben.
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe
Gruß
pendulum |
hmmm...
ich hab jetzt auch keine lust mehr darauf, es nochmals zu rechnen...der weg stimmt. details musst du verantworten 
grüße
michi |
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