Zentrifuge

matt · Anmeldungsdatum: 12.06.2014 Beiträge: 19

Hallo zusammen,
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen, ich schreibe morgen eine Physikklausur und habe die folgende Aufgabe gerade entdeckt. Ich weiß leider nicht wie ich diese lösen kann, ist hier vllt jemand so nett und kann mir zeigen wie ich sie brechne?

Eine Zentrifuge besteht aus einem quaderförmigen Gefäß (10 x 10 x
30 cm), das mit 3 Flüssigkeiten (je 1 l) der Dichten p1 = 0,8 kg/l, p2 =
1 kg/l und p3 = 1,2 kg/l gefüllt ist. Zunächst sind sie gleichmäßig
gemischt. Wie ändern sich Schwerpunkt und Trägheitsmoment bzgl. der Drehachse,
wenn die Flüssigkeiten getrennt sind?

Eine Idee habe ich, ich weiß allerdings nicht, ob es korrekt ist:
Den Schwerpunkt mit Hilfe der Formel

zu berechnen(Bild).

Vielen Dank im Voraus!

jumi · Gast

Wo ist denn die Drehachse?

matt · Anmeldungsdatum: 12.06.2014 Beiträge: 19

Das habe ich mich auch gefragt, aus der Aufgabe ist das ja nicht ersichtilich. Ich habe sie durch die Z-Achse gelegt. Auf dem beigefügten Bild wäre es allerdings die x-Achse, da ich den Quader "gedreht" habe.

jumi · Gast

Da kann ich dir leider auch nicht weiterhelfen.
Wo ist denn bei deiner Skizze die x-, y-, und z-Achse?
Bezeichnest du mit pi die Dichten oder die Massen?
Sind die xi nicht die Schwerpunktsabstände zur Drehachse?
Wie kommst du dafür auf 0,05 m, 0,15 m und 0,25 m?

matt · Anmeldungsdatum: 12.06.2014 Beiträge: 19

Oh, da hast Du natürlich Recht, mit pi sind die Dichten gemeint, es müsste aber mi heißen.
Also bei der Schwerpunktsberechnung habe ich die Entfernung der Mittelpunkte der einzelnen Masseteilchen zum Koordinatenursprung genommen.
Die Achsen habe ich im beigefügten Bild eingezeichnet.(nicht schön, aber ich hoffe man weiß wie es gemeint ist)

matt · Anmeldungsdatum: 12.06.2014 Beiträge: 19

Hat denn keiner eine Idee wie man vorgehen muss?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Welches ist denn nun die Drehachse, und wo genau liegt der Ursprung Deines Koordinatensystems?

matt · Anmeldungsdatum: 12.06.2014 Beiträge: 19

Ich habe nochmal eine neue Zeichnung erstellt, auf der alles zu sehen ist. Die Achse ist die Y-Achse. Meinen Koordinatenursprung habe ich mit der grünen 0 markiert. Das wäre nun der Teil mit den getrennten Flüssigkeiten.

Bei gemischten Flüssigkeiten komme ich auf einen Schwerpunkt von zs=7.5cm.
Damit würde ich nun mit Hilfe des Satz von Steiners

JA = Js + m*s² ausrechnen. (s = 7.5cm)

Muss ich dann das JA auch nochmal für das größere 's' ausrechnen?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

matt · Anmeldungsdatum: 12.06.2014 Beiträge: 19

Ja natürlich z=30cm, da hatte ich mich vertan.

Mit dem größeren 's' meinte ich den größeren Abstand des Schwerpunktes zur Drehachse, das war um 1.3cm größer als die 15cm zuvor.

Die Trägheitsmomente der einzelnen Teilmassen bzgl. der Y-Achse:

Js1 = 1/12 * m1*(a²+c²) = 1/12 * 0.8kg * ((0.1cm)²+(0.3cm)²) = 0.006 kgm²

Js2 = 1/12 * m2*(a²+c²) = 1/12 * 1kg * ((0.1cm)²+(0.3cm)²) = 0.0083 kgm²

Js3 = 1/12 * m3*(a²+c²) = 1/12 * 1.2kg * ((0.1cm)²+(0.3cm)²) = 0.01 kgm²

Jsges= Js1 + Js2 Js3 = 0.0243kgm²

Meintest Du das?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Nein, das ist verkehrt.
Du hast versucht, die Trägheitsmomente bzgl. einer Achse durch den jeweiligen Schwerpunkt zu bestimmen (das jedoch falsch), hast diese Trägheitsmomente aber als solche bzgl. der y-Achse deklariert. Du musst also zwei Korrekturen erledigen:

1. Richtige Kantentlängen für die Trägheitsmomente Js einsetzen (jede Teilmasse hat die Form eines Würfels).

2. Für jede Teilmasse den zugehörigen Steiner-Anteil dazu addieren.

matt · Anmeldungsdatum: 12.06.2014 Beiträge: 19

Jwürfel= 1/6 * m* a²

Js1 = 1/6 * m1*a² = 1/6 * 0.8kg * (0.1cm)² = 0.0013 kgm²

JA1=Js1 + m1*(0.05cm)²=0.0013kgm²+0.8kg*(0.05cm)²=3.3*10^-3kgm²

Js2 = 1/6 * m2*a² = 1/6 * 1kg * (0.1cm)² = 0.0016 kgm²

JA2=Js1 + m1*(0.05cm)²=0.0016 kgm²+1kg*(0.15cm)²=4.1*10^-3kgm²

Js3 = 1/6 * m3*a² = 1/6 * 1.2kg * (0.1cm)² = 0.002 kgm²

JA3=Js1 + m1*(0.05cm)²= 0.002 kgm²+1.2kg*(0.25cm)²=5*10^-3kgm²

Jgess= JA1 + JA2 + JA3 =0.0124kgm²

Beim Abstand für JA habe ich den Mittelpunkt jedes Masseteiles genommen.
Ist das korrekt?

jumi · Gast

Nein!

matt · Anmeldungsdatum: 12.06.2014 Beiträge: 19

Js1 = 1/6 * m1*a² = 1/6 * 0.8kg * (0.1m)² = 0.0013 kgm²

JA1=Js1 + m1*(0.05m)²=0.0013kgm²+0.8kg*(0.05m)²=3.3*10^-3kgm²

Js2 = 1/6 * m2*a² = 1/6 * 1kg * (0.1m)² = 0.0016 kgm²

JA2=Js2 + m2*(0.05m)²=0.0016 kgm²+1kg*(0.15m)²=0.0241kgm²

Js3 = 1/6 * m3*a² = 1/6 * 1.2kg * (0.1m)² = 0.002 kgm²

JA3=Js3 + m3*(0.05m)²= 0.002 kgm²+1.2kg*(0.25m)²=0.077kgm²

Jges= JA1 + JA2 + JA3 =0.1044kgm²

hatte mich gestern verrechnet... Das dürfte aber jetzt passen.