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Nachricht |
Chem02
Anmeldungsdatum: 11.05.2022
Beiträge: 8
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 Chem02 Verfasst am: 11. Mai 2022 20:49 Titel: Zentrifuge |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Die Gesamtlänge des Querarms sind larm = 10 cm, der Abstand Ihrer Probe von der Aufhängung des Reagenzglases ist
lProbe = 10 cm, den geschwindigkeitsabhängigen Auslenkungswinkel nennen Sie ?, die Probe haben
Sie eingewogen (mProbe = 10 g) und das Reagenzglas nehmen Sie als masselos an. Natürlich stellen
sich Ihnen dazu sofort die folgenden Fragen:
(a) Zeichnen Sie in einer Skizze alle wirkenden Kräfte für die drehende Zentrifuge ein.
(b) Wie schnell muss sich die Probe bewegen, damit sich der Winkel ? = 45?
einstellt?
(c) Im Labor zeigt die Zentrifuge an, dass sie mit einer Zentrifugalbeschleunigung von 300g, also
der 300-fachen Erdbeschleunigung, läuft. Rechnen Sie für diese Einstellung den Winkel ?, den
Umlaufradius rP der Probe, ihre Geschwindigkeit und die Umdrehungen pro Minute (RPM, "rounds
per minute") aus.
(d) Warum werden Sie eine Zentrifuge im Labor niemals so laufen lassen wie es hier skizziert ist?
Hinweis: Nehmen Sie die Erdbeschleunigung als g = 10 m s?2 an.
Meine Ideen:
Zur a) fällt mir nur die Zentrifugalkraft ein. Gibts noch wirkende Kräfte?
Für die restlichen Teilaufgaben fehlt mir leider das Wissen. Weder in Vorlesungsfolien oder im Netz habe ich hilfreiche Formeln gefunden.
Eine schnelle Hilfe wäre super. Danke im Voraus!
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 11. Mai 2022 21:53 Titel: |
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Wird der Arm als masselos angenommen?
Bitte Skizze.
Zu a) Wie sieht's denn mit der Gewichtskraft aus?
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Chem02
Anmeldungsdatum: 11.05.2022
Beiträge: 8
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| Chem02 Verfasst am: 11. Mai 2022 22:14 Titel: |
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Ja, der Arm wird als masselos angenommen.
Habe die Kräfte mal in eine Skizze gezeichnet:
| Beschreibung: |
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| Dateiname: |
IMG_0701.jpg |
| Dateigröße: |
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| Heruntergeladen: |
126 mal |
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Chem02
Anmeldungsdatum: 11.05.2022
Beiträge: 8
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| Chem02 Verfasst am: 11. Mai 2022 22:24 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Wird der Arm als masselos angenommen?
Bitte Skizze.
Zu a) Wie sieht's denn mit der Gewichtskraft aus? |
Ist die Skizze so richtig?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 11. Mai 2022 23:35 Titel: |
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Fz muss ja orthogonal auf die Drehachse sein, oder? Außerdem hast Du zwei verschiedene Kräfte als Fz bezeichnet, wenn ich das richtig sehe.
Wie ist denn die Formel für die Zentrifugalkraft? Wir hängen das Verhältnis der Zentrifugal- und der Gewichtskraft mit dem Winkel alpha zusammen?
Gruß
Marco
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Chem02
Anmeldungsdatum: 11.05.2022
Beiträge: 8
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| Chem02 Verfasst am: 12. Mai 2022 08:20 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | Fz muss ja orthogonal auf die Drehachse sein, oder? Außerdem hast Du zwei verschiedene Kräfte als Fz bezeichnet, wenn ich das richtig sehe.
Wie ist denn die Formel für die Zentrifugalkraft? Wir hängen das Verhältnis der Zentrifugal- und der Gewichtskraft mit dem Winkel alpha zusammen?
Gruß
Marco |
Die Formel für die Zentrifugalkraft lautet: Fz=m*v^2/r.
Mit dem Zusammenhang vom Winkel bin ich mir unsicher. Ich habe überlegt die b) mit der Zentripitalbeschleunigung zu berechnen, aber da fehlt mir dann der Winkel.
Letztendlich ist das ja eine Kreisbewegung, oder? Muss man dann die Winkelgeschwindigkeit ausrechnen? Ich wüsste dann aber leider nicht wie ich die berechnen müsste, da man bei der Winkelgeschwindigkeit noch die Zeit braucht...ich stehe echt auf dem Schlauch
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 12. Mai 2022 09:09 Titel: |
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Nochmals kurz zu a), damit das abgeschlossen ist. Es ist nicht ganz klar, welche Kräfte alle einzuzeichnen sind. Nehmen wir an, es geht um die Kräfte, welche auf das Reagenzglass mit der Probe wirken.
Im mitrotierenden Bezugssystem, so wie auf der Skizze, wirken auf das Reagenzglas die Gewichtskraft (greift bei der Probe an), die Zentrifugalkraft (greift bei der Probe an, wirkt horizontal nach aussen) und die Kraft der Halterung am Zentrifugenarm auf das Reagenzglas.
Zu b): Damit der Auslenkungswinkel des Reagenzglases konstant bleibt, darf insgesamt kein Drehmoment bezüglich der Halterung wirken. D.h., die vektorielle Summe aus Zentrifugal- und Gewichtskraft muss in Richtung des Reagenzglases wirken. Bei einem 45°-Winkel müssen die beiden Kräfte betragsmässig also ... sein.
Aus dem Winkel erhältst Du r, den Abstand der Probe von der Zentrifugendrehachse, und mit Deiner Formel dann die Geschwindigkeit v der Probe.
Zu c): geht dann ähnlich wie b). Aus dem Verhältnis von Zentrifugal- zur Gewichtskraft (300) ergibt sich der Winkel (es tritt der Arcustangens auf), der neue Radius rP der Bahn und mit Deiner Formel wieder die Geschwindigkeit.
Zu d): Kann ich nur vermuten. Es gilt für die Zentrifugalbeschleunigung
Bei geringerem Radius muss also die Winkelgeschwindigkeit erhöht werden, um die gleiche Zentrifugalbeschleunigung zu erreichen.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 12. Mai 2022 09:56 Titel: |
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Die Aufgabe ist nicht so trivial wie es scheint.
Befindet sich in dem Reagenzglas eine Flüssigkeit, verlagert sich durch die Zentripetalkraft deren Schwerpunkt und damit der Abstand zum Drehpunkt.
Dieser Effekt bleibt in der nachfolgenden Rechnung unberücksichtigt.
Es gibt eine Mindestrotationsgeschwindigkeit oberhalb derer eine stabile Lage der Probe entsteht.
Gleichgewichtsbedingung: Summe der Momente um den Drehpunkt = 0.
x = Horizontaler Abstand Massenschwerpunkt zur Drehachse
y = Vertikaler Abstand Massenschwerpunkt zum Drehpunkt
l_A = Länge des Arms
l_P = Länge der Probe
 )
)
 )\cdot \omega ^{2} \cdot l_P\cdot \cos(\alpha ) - m \cdot g\cdot l\cdot (l_A +l_p\cdot \sin(\alpha ) )=0)
 = \frac{g}{l_P\cdot \omega ^{2} } )
 \leq 1 \rightarrow \omega_{min} = \sqrt{\frac{g}{l_P} } )
Die Länge des Arms hat keinen Einfluss.
zu b)
 } } )
)
 } })
zu c)
 = \frac{a_Z }{g} = \frac{300\cdot g}{g} )
 = 300)
 = 89,9°)
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 12. Mai 2022 19:23, insgesamt 9-mal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 12. Mai 2022 10:30 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Es gibt eine Mindestrotationsgeschwindigkeit oberhalb derer eine stabile Bahn entsteht. |
Ich denke, das ist nur der Fall, wenn sich das Auslenkungsgelenk bei der Drehachse befindet. So, wie ich die Aufgabe verstehe, ist das hier nicht so. Ohne Abbildung ist es nicht sicher zu sagen, aber vermutlich wird nur das Reagenzglas ausgelenkt, das am 10cm langen Zentrifugenarm aufgehängt ist (siehe erste Abb. im Wikipedia-Artikel).
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 12. Mai 2022 10:39 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Es gibt eine Mindestrotationsgeschwindigkeit oberhalb derer eine stabile Bahn entsteht. |
Ich denke, das ist nur der Fall, wenn sich das Auslenkungsgelenk bei der Drehachse befindet. So, wie ich die Aufgabe verstehe, ist das hier nicht so. Ohne Abbildung ist es nicht sicher zu sagen, aber vermutlich wird nur das Reagenzglas ausgelenkt, das am 10cm langen Zentrifugenarm aufgehängt ist (siehe erste Abb. im Wikipedia-Artikel). |
Danke für Deinen Hinweis. Habe meine Rechnung entsprechend der Skizze des Aufgabenstellers revidiert.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 12. Mai 2022 16:33 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Die Länge des Arms hat keinen Einfluss. |
Wenn man an ein Karussell denkt, wäre es überraschend, wenn es eine Mindestgeschwindigkeit gäbe für eine stabile Bahn.
\omega^2}{g})
Die Funktion
 \rightarrow [0,\infty),\quad \alpha\mapsto\omega(\alpha))
ist bijektiv für  , d.h., es gibt für jeden Winkel alpha genau eine Winkelgeschwindigkeit, bei der die Momente im Gleichgewicht sind, und umgekehrt.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 12. Mai 2022 19:25 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Die Funktion
ist bijektiv für , d.h., es gibt für jeden Winkel alpha genau eine Winkelgeschwindigkeit, bei der die Momente im Gleichgewicht sind, und umgekehrt. |
Schöner Beweis 
Hatte ich nicht gesehen.
Injektiv, bijektiv und surjektiv sind aus dem Dunst der Erinnerung hervorgetreten.
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