Fragen zum Übungsblatt Quantentheorie

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hi, da ich mal ranklotzen muss und irgendwie immer zu spät anfange ( unglücklich

Wochen sind einfach zu kurz!) poste ich mal mein aktuelles Übungsblatt und stelle einige Fragen dazu, wäre super wenn ihr mir helfen könntet.
Das Blatt gibts hier: https://www.dropbox.com/s/rfpdr3jwa1ew10t/Aufgabenblatt3_v3.pdf

7a)

Noch halbwegs klar, ich integriere beide Seiten von -epsilon bis + epsilon und betrachte den limes von epsilon gegen Null.

mit c = -h_quer/2m

Das Integral über E*psi ergibt Null, also ist nur noch das Integral über die Deltafunktionen übrig, hier würde ich erhalten:

analog für x = a.

Nun meine erste Frage :
Die Stetigkeit von der Ableitung von Psi ist nun davon abhängig was sich für ein Wert von Psi an der Stelle x = 0 ergibt. Ich könnte mir sowohl vorstellen (nachdem was ich bisher gesehen habe), dass Psi an den Stellen der deltapotentiale Null ist (dann wäre die Ableitung stetig) oder eben ungleich Null (dann wäre sie unstetig). Mir fehlt das physikalische Kriterium hier, das eins von beiden ausschließt.

Es ergibt sich für die Wellenfunktion selber an der Stelle x = 0 (und analog für x = a):

Lautet nun die Stetigkeitsbedingung für die Wellenfunktion, dass die zweite Ableitung an der Stelle x = 0 stetig ist? (Was nicht sein kann, dort sollte sie ja gerade springen)
Ich stehe ehrlich gesagt etwas auf dem Schlauch.

7b)
Das sollte doch mit der üblichen Lösung der Schrödingergleichung gehen für Potentialtöpfe der Breite l (so wie oben beschrieben), oder? Nur wie wirken sich die Deltapotentiale auf die Lösung aus? Sehe gerade nicht, wie die einen Einfluss auf die Lösung haben sollten, da in den betrachteten Bereichen (übrigens sind diese leicht falsch notiert auf dem Übungsblatt, x < 0, 0 < x < a, x > a soll betrachtet werden) die Deltafunktionen Null sind und damit auch die Lösung unabhängig von diesen.
Kommen diese durch die Unstetigkeit der Ableitung der Wellenfunktion zum tragen (wie in 7a))?

8a)

Wenn die Eigenfunktionen und Eigenwerte des Hamiltonoperators gesucht sind, ist doch gemeint, dass man die Lösung der SG findet (dies ind doch die Eigenfunktionen zu den Eigenwerten E) bzw. zunächst für unbekannte E die SG löst und danach betrachtet für welche E eine physikalische Lösung existiert (d.h. für welche also die Wellenfunktion normierbar ist)?
Was ist mit "beschränken sie sich auf von links einfallenden Welle" gemeint? Aus der Vorlesung ist mir die Deutung der Lösung der SG eines Teilchens das auf eine Potentialbarriere trifft als Überlagerung einer nach rechts und einer nach links laufende Welle bekannt, soll ich also nur den Term exp(i*w*x) betrachten?

Das wars erstmal smile

Vielen Dank für jede Hilfe!

Namenloser324 · Gast

Ok, manches hat sich geklärt.
Einer Lösung konnte ich entnehmen, dass ich die Formulierung "Geben sie die Stetigkeits/Unstetigkeitsbedingungen an" falsch verstanden habe bzw. mich habe irre leiten lassen.

Es sollten tatsächlich nur die genannten Gleichungen formuliert werden (einmal über das Integral der SG und an den Deltapotentialen dann die Formulierung der Stetigkeit der Wellenfunktion d.h lim x->0- psi = lim x->0+ psi und identisch für x = a), welche dann bei der Lösung Bestimmungsgleichungen der unbekannten Amplituden der Lösungen liefert.

Daher kommt auch der Einfluss der Deltapotentiale in dem zur Bestimmung der Amplituden eben auch die Unstetigkeit der Ableitungen benutzt wird.

Bei 8a) hatte ich schlicht die Herleitung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung bzw. der Gesamtlösung der zeitabhängigen SG für zeitunabhängige Potentiale vergessen. Tatsächlich entsprechen also die Eigenfunktionen und Eigenwerte den Lösungen und möglichen Energiewerten.

Naja, vielleicht hilft das irgendwann mal irgendwem der das per Google findet.