wegstrecke einer parabelförmigen bahn

Lyla93 · Gast

Meine Frage:
Hey Leute,
ich brauche ganz dringend und möglichst zeitnah Hilfe bei folgender Aufgabe:

"Ein punktförmiges Teilchen der Masse m rollt auf einer parabelförmigen Bahn in die Tiefe. Es bewegt sich reibungsfrei auf der Kurve y=ax² im Potential mgy der Schwerkraft. Bei -xo<0 startet es aus der Ruhe heraus und nach der Zeit T erreicht es das Minimum x=0. (Zur Vereinfachung der Rechnung nehmen wir an: xo=1/(2a)
a) Welche Erhaltungsgröße gibt es bei diesem Problem? Gebe Sie an
b) Berechne die Geschwindigkeit am Minimum x=0
c) Berechnen sie die We
gstrecke, die das Teilchen bis zum Minimum zurücklegt und die Zeit T, die es dazu benötigt"

Meine Ideen:

a) Erhaltungsgröße ist die Energie: E=Ekin+Epot ist immer konstant (egal an welchem Punkt auf der Bahn...)
b) Eoben=Eunten, also: m*g*yo=0.5*m*v1²
nach v1 aufgelöst: Die Geschwindigkeit v1 am Minimum: v1=sqrt(0.5*g*1/a)
c) ich hab absolut keinen Plan und brauche dazu ganz dringend Hilfe. Ich habe auf dem Aufgabenblatt noch einen Hinweis bekommen, dass ich zwei Integrale benutzen kann, die dort angegeben sind. Aber was soll ich integrieren??

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7249

Es geht hier um die Berechnung der Bogenlänge:

http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)#L.C3.A4nge_eines_Funktionsgraphen

Viele Grüße
Steffen

Lyla93 · Gast

Danke erstmal für die schnelle antwort!
Das heißt ich benutze jetzt die Formel für die Länge eines Funktionsgraphen? und mein f(x) ist jetzt sozusagen: f(x)=a*x²? Aber was sind meine Integrationsgrenzen? 1/(2a) und 0?

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Ich schlage eine allgemeinere Definition vor, die evlt. auch einleuchtender für die Lösung der Aufgabe ist:

wobei

eine Kurve ist, die den Graphen beschreibt, d.h. Deckungsgleich mit ihm ist.

Diese Definition der Länge reduziert sich dann, wenn du x = t setzt und nichts falsch machst, auf die Formel auf die Stephen Bühler verwiesen hat.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7249

Lyla93 · Gast

ja, jetzt hab ichs.
Vielen lieben dank!

doch wie kann ich nun T bestimmen? Geht das einfach mit v=s/t?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Naja, prinzipiell schon... nur dass die Geschwindigkeit sich ständig verändert.
Du hast ja schon mit der Energieerhaltung gerechnet, wie die Geschwindigkeit im Ursprung sein wird. Du kannst damit aber auch die Geschwindigkeit an jedem Ort angeben.
Wenn Du das hast, musst Du wieder die ganzen infinitesimalen Wegstückchen, aber diesmal geteilt durch die aktuelle Geschwindigkeit, aufsummieren, weil das die infinitesimalen Zeitspannen dt sind.

Dafür wirst Du wahrscheinlich dann das zweite Integral benötigen, was auf Deinem Zettel angegeben ist...

Gruß
Marco

Lyla93 · Gast

Also ich nehme praktisch die Formel t=s/v
für s nehme ich das eben ausgerechnete wegintegral bis zum minimum. aber was ich für v nehmen soll, verstehe ich noch nicht so ganz. Wie soll ich die geschwindigkeit an jedem ort angeben?
Also, soll ich wieder anfangen mit E(x0) = E(an irgendeinem x-wert:x2) und dann setze ich an: m*g*y0=0.5*m*v2+mg*y2 und forme das nach v2 um?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Lyla93 · Gast

Dankeschön as_string!!! ich hab es jetzt verstanden und bin sogar aufs "Hinweis-Integral" gekommen Fröhlich