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Energieerhaltung in der Quantenmechanik und mehr
 
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kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 22. Apr 2014 14:04    Titel: Energieerhaltung in der Quantenmechanik und mehr Antworten mit Zitat

Hi, gerade in der Vorlesung hatten wir das Beispiel des Teilchen der Energie E das auf einen Potentialsprung V0 trifft besprochen.
Für den Fall das E < V0 ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Bereich des Potentials nicht gleich Null.
Das bedeutet ja, das es möglich ist, dass das Teilchen im Potential auftaucht.
Würde es das aber tun würde ich intuitiv erwarten, dass die Energie E um V0 vermindert werden würde, also negativ würde. Macht ob der quadratischen Abhängigkeit vom Impuls keinen Sinn.
Wie ist es also um die Energieerhaltung in der Quantenmechanik bestellt, wie wird sie da umgesetzt?

Andere Frage:
Für ein freies Teilchen, also V = 0, sind ebene Wellen Lösungen der Schrödingergleichung. Diese sind aber laut Skript unphysikalisch, da ihr Betragsquadrat konstant ist.
Aus der Superposition aller Lösungen ergibt sich aber eine physikalische Lösung die also normierbar ist.
Wie darf man es deuten, dass sich aus unphysikalischen Lösungen durch Addition physikalische ergeben?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 22. Apr 2014 14:46    Titel: Re: Energieerhaltung in der Quantenmechanik und mehr Antworten mit Zitat

kingcools hat Folgendes geschrieben:
Hi, gerade in der Vorlesung hatten wir das Beispiel des Teilchen der Energie E das auf einen Potentialsprung V0 trifft besprochen.
Für den Fall das E < V0 ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Bereich des Potentials nicht gleich Null.
Das bedeutet ja, das es möglich ist, dass das Teilchen im Potential auftaucht.
Würde es das aber tun würde ich intuitiv erwarten, dass die Energie E um V0 vermindert werden würde, also negativ würde. Macht ob der quadratischen Abhängigkeit vom Impuls keinen Sinn.
Wie ist es also um die Energieerhaltung in der Quantenmechanik bestellt, wie wird sie da umgesetzt?

Der Operator p^2 hat in der Tat einen negativen Erwartungswert in diesem Fall (der auch noch exponentiell Unterdrückt ist). Ich denke nicht, dass dies ein Problem darstellt (vermutlich ist das ein subtiles mathematisches Problem, was die Definition von Hilbertraeumen, Operatoren und ihren Definitionsbereichen angeht...).
Zitat:

Andere Frage:
Für ein freies Teilchen, also V = 0, sind ebene Wellen Lösungen der Schrödingergleichung. Diese sind aber laut Skript unphysikalisch, da ihr Betragsquadrat konstant ist.
Aus der Superposition aller Lösungen ergibt sich aber eine physikalische Lösung die also normierbar ist.
Wie darf man es deuten, dass sich aus unphysikalischen Lösungen durch Addition physikalische ergeben?

Die Anforderung an eine "physikalische" Lösung, sind dass die die Schroedingergleichung erfüllt und normierter ist. Da die ebenen Wellen die SG schon erfüllen, liegt es nahe aus diesen durch Superposition eine normierbare Lösung zu konstruieren (die dann auch die SG erfüllt)... Sobald man die Lösung dann hat, ist es ja egal wie man darauf gekommen ist.
kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 22. Apr 2014 23:46    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für deine Antwort.
Das hört sich so an, als wäre der Impuls nicht mehr wirklich mit dem Teilchen im Sinne einer Teilcheneigenschaft assoziiert. Wie darf ich mir die Aussage "Der Operator p^2 hat in der Tat einen negativen Erwartungswert", ich "verstehe" das nur noch statistische Aussagen gemacht werden können in der Quantenmechanik, aber die Aussage, dass der Erwartungswert des Impulsquadrates negativ ist "verstehe" ich so, dass der wahrscheinlichste Wert in der Tat negativ ist.
Aber wie kann ein "realer" Impuls im Quadrat negativ sein?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 23. Apr 2014 00:15    Titel: Antworten mit Zitat

Die Wellenfunktion fällt exponentiell ab, eine Art das zu sehen ist, weil der Impuls imaginär wird... ich denke, Du möchtest Dir etwa bildlich vorstellen in einem Bereich, in dem das schlicht nicht zulässig ist (zumindest nicht in der Weise wie Du es gern möchtest)....
kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 23. Apr 2014 00:26    Titel: Antworten mit Zitat

Hmm, kann man den Impuls dann überhaupt als Teilcheneigenschaft im Sinne der klassischen Mechanik verstehen oder wie wird der interpretiert?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 23. Apr 2014 00:30    Titel: Antworten mit Zitat

Natürlich kann man das... nur in der speziellen von die gefragten Situation Stößt das Bild eines klassischen Teilchens an seine Grenzen (was kein Wunder ist)....
kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 23. Apr 2014 00:37    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, dann nehm ich das erstmal so hin. Danke.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 23. Apr 2014 00:39    Titel: Antworten mit Zitat

Ich sehe das etwas anders.

Ob ein Operator H positiv ist oder nicht hängt zunächst nicht direkt von den Eigenwerten ab, sondern von der Eigenschaft des Matrixelementes



Dabei muss psi keine Eigenfunktion sein, jedoch zwingend Element des Hilbertraumes.

Äquivalent dazu ist die Eigenschaft, dass H selbstadjungiert ist und dass das Spektrum nicht negativ ist. Dummerweise ist aber das Spektrum von H im Raum der quadratintegrablen Funktionen die leere Menge, da die "Eigenfunktionen" nicht normierbar sind. Daher ist es schwierig, hier mit ebenen Wellen als "Lösung" der Schrödingergleichung zu argumentieren.

Aber die Eigenschaft, dass



gilt, kann man für beliebige, jedoch normierbar psi beweisen.

H ist also positiv.

Außerdem ist doch der Eigenwert keineswegs negativ. Setzt man die Potentialstufe bei x=0 an, so hat man





Für x<0 ist V=0 und E>0. Für x>0 ist V>0. Wenn nun E<V, so ist k imaginär, aber dennoch ist weiterhin E>0. Insofern sind auch diese "Eigenwerte" von H positiv.

Auch p^2 ist positiv. M.E. darf man nicht mehr annehmen, dass die Eigenfunktionen zu H auch Eigenfunktionen zu p sind, da wegen der Potentialstufe kein festes k mehr existiert; k nimmt für x<0 sowie für x>0 unterschiedliche Werte an. Anders formuliert, die Potentialstufe bricht die Translationsinvarianz (*) daher ist p (bereits in der klassischen Mechanik) keine Erhaltungsgröße mehr.

Aber die o.g. Definition eines positiven Operators, d.h.



bleibt weiterhin gültig.

Oder übersehe ich da was?

(*) Aufgrund des Sprungs des Potentials ist das etwas kompliziert, aber man kann auch eine glatte Funktion für V(x) nutzen und damit den Sprung annähern. Dann ist



und



was äquivalent zu der Aussage ist, dass die Translationsinvarianz gebrochen und daher p keine Erhaltungsgröße mehr ist.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 23. Apr 2014 00:50, insgesamt einmal bearbeitet
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 23. Apr 2014 00:40    Titel: Antworten mit Zitat

PS: Ich weiss, dass meine Antwort nicht sehr befriedigend ist. Aber letztendlich läuft es auf die Frage hinaus, wie genau Du etwas messen willst...

PPS: @TomS, was genau siehst Du anders.. ich würde auf den ersten Blick sagen, dass ich Dir zustimmt... smile
kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 23. Apr 2014 00:44    Titel: Antworten mit Zitat

Danke euch beiden. Wie gesagt haben wir gerade erst angefangen und kriegen vom Professor erstmal ne grobe Übersicht geboten und danach gehts dann erst tiefer, daher erwarte ich gar nicht, dass sich das in meinem Kopf in gerade Wohlgefallen auflöst, ich nehm das so hin und komme in ein paar Wochen (zumindest in meinem Kopf Zunge raus) darauf zurück.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 23. Apr 2014 07:39    Titel: Re: Energieerhaltung in der Quantenmechanik und mehr Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
@TomS, was genau siehst Du anders.. ich würde auf den ersten Blick sagen, dass ich Dir zustimmt... :)

Das hier sehe ich anders:

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Der Operator p^2 hat in der Tat einen negativen Erwartungswert ...

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