Massenschwerpunkt Halbring, Stab und Pyramide

Calis04 · Anmeldungsdatum: 27.03.2014 Beiträge: 13

Meine Frage:
Hallo,

Muss den Massenschwerpunkt

Folgender Massenverteilung herausfinden... Integrale und Volumen sind nicht meine Stärke und weiss nicht genau wie vorgehen, habe auch die Suchfunktion benutzt aber nichts gefunden...

a) Ein dunner gleichförmiger Halbring mit dem Radius R und der linearen Dichte ?.

b) Ein dunner Stab der Länge l, dessen lineare Dichte linear zwischen ? = ?0 am linken Ende und ? = 2?0 am rechten Ende zunimmt.

c) Die unten abgebildete Pyramide fur den einfachen Fall einer homogenen Dichteverteilung. Geben Sie den Schwerpunkt in den Koordinaten des hier dargestellten Koordinatensystems an.

Meine Ideen:
Ehrlich gesagt leider habe ich keine Ideen...wäre für jede Hilfe oder kleinen Denkanstoss sehr dankbar

jumi · Gast

Zur Halbkreisaufgabe:
Deine Vektorschreibweise lassen wir mal weg und betrachten den Halbkreis in der x-y-Ebene liegend mit dem Mittelpunkt im Ursprung und über der x-Achse.

Da die Massenverteilung homogen ist, können wir die Dicht weglassen (= Dichte = 1 annehmen). Somit ist die Masse proportional der Bogenlänge.
Offensichtlicht liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse, also für x = 0.
Den y-Wert bestimmen wir mit einem Integral.
Wir betrachten ein Bogenelement, das beim Winkel phi zur x-Achse liegt. Es hat die Länge R*d(phi).
Sein Moment bezüglich der x-Achse ist: R*d(phi)*R*sin(phi).
Die Summe all dieser Momemte daher:

Dieses Integral muss gleich sein der Gesamtbogenlänge*y-Abstand des Schwerpunktes.

Das Integral ist leicht zu berechnen.
Ergebnis ist