Energie vs. Hamiltonfunktion

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Hallo! Man hört ja immer wieder, dass die mechanische Gesamtenergie nicht notwendigerweise dasselbe wie die Hamiltonfunktion ist. Warum bzw. wann ist das so? Hintergrund: Aus der Homogenität der Zeit, also mit

und den dazugehörigen Lagrange-Gleichungen 2. Art wird gezeigt, dass

Laut Landau/Lifschitz heißt die Größe in Klammern "Energie". Nun sind doch aber die kanonisch konjungierten Impulse definiert als

, doch

ist doch gerade die Hamilton-Funktion. Im Kapitel "Die HAMILTONschen Gleichungen" steht auch der Satz "... stellt die Energie des Systems dar; ausgedrückt durch die Koordinaten und Impulse heißt sie die HAMILTON-Funktion des Systems".

In welchen Fällen fallen Gesamtenergie und Hamilton-Funktion nicht zusammen? Vermutung: Systeme, die explizite Zeit-Abhängigkeiten enthalten? Oder ist das eine Konsequenz von Landaus Bemühen, alles auf der Lagrange'schen Mechanik aufzubauen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18187

Ein Beispiel sind reparametrisierungsinvariante Systeme wie z.B. das relativistische freie Teilchen, oder diffeomorphismeninvariante Systeme wie z.B. die Feldtheorie der allgemeinen Relativitätstheorie. In beiden Fällen ist die Hamiltonfunktion (in bestimmten Koordinaten) Null. Dies ist jedoch als Zwangsbedingung H ~ 0 und nicht als Identität H = 0 aufzufassen, da H weiterhin die korrekten Bewegungsgleichungen liefert.

Eine Diskussion der verschiedenen Aspekte findest du hier: http://www.physikerboard.de/topic,19142,-wirkung-lagrange-funktion.html

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Die Hamiltonfunktion entspricht der Gesamtenergie, wenn das Potential nicht von den generalisierten Geschwindigkeiten abhängt und die Zwangsbedingungen skleronom sind. Ich kann jetzt aber nur für die klassische nicht-relativistische Mechanik sprechen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18187

Du hast natürlich recht; in sehr vielen Bereichen ist H mit E identisch. I.A. jedoch nicht. In dem o.g. Link hab euch ein Gegenbeispiel diskutiert.