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Gekoppelte Schwingungen und Unterdeterminanten
 
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Alessandro
Gast





Beitrag Alessandro Verfasst am: 03. Feb 2014 19:19    Titel: Gekoppelte Schwingungen und Unterdeterminanten Antworten mit Zitat

Hallo liebe Physikfreunde!

Ich bräuchte mal eure Hilfe beim Thema "gekoppelte Schwingungen". Es gibt da eine Stelle im Mechanik-Band des Lehrbuchs der Theoretischen Physik von Landau und Lifschitz, die ich nicht ganz verstehe. Es geht darum, die s Bewegungsgleichungen zu lösen:

(23,5)

Der Ansatz wird gesucht in der Form . Daraus folgt das lineare Gleichungssystem

(23,7). Damit es nichttriviale Lösungen gibt, muss die Determinante muss null sein:

(23,8)

So weit ist alles klar. Wenig später steht jedoch:

Zitat:
Nachdem die Frequenzen gefunden sind, setzt man sie in Gleichung (23,7) ein und kann die dazugehörigen Werte der Koeffizienten bestimmen. Wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung alle verschieden sind, werden die Koeffizienten Ak bekanntlich den Unterdeterminanten (vom Grad s-1) der Determinante (23,8) proportional, wobei in letzterer omega durch die entsprechenden Werte zu ersetzen ist; wir bezeichnen diese Unterdeterminanten mit . Eine partikuläre Lösung des Differentialgleichungssystem (23,5) hat folglich die Form

,

worin eine beliebige (komplexe) Konstante ist.


Das verstehe ich nicht. Welche Unterdeterminanten sind gemeint? Und warum sind die Koeffizienten den Unterdeterminanten der Determinante proportional? Ich habe ja erst gedacht, vielleicht ist der Schlüssel zum Verständnis, die Determinante nach der i-ten Zeile zu entwickeln und die so entstehenden Unterdeterminanten den Ak zuzuweisen. Aber damit ist dann die Gleichung (23,7) doch jeweils nur für ein i erfüllt. Außerdem muss es ja irgendwas damit zu tun haben, dass die Eigenfrequenzen verschieden sind. Aber was ist dann gemeint? Im Goldstein steht leider auch nicht viel dazu, so sinngemäß "wie das gelöst wird, ist bekannt".

Dass die Wurzeln verschieden sein müssen, klingt ja fast so, als hätte das irgendwas mit Diagonalisierbarkeit zu tun. Kann mir jemand einen Hinweis geben, von welchen mathematischen Zusammenhängen hier die Rede ist?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2014 19:34    Titel: Antworten mit Zitat

Das Wort "bekanntlich" sollte misstrauisch machen smile Es bedeutet für Landau was anderes als für uns smile

Gemeint sind wohl die Unterdeterminanten, wenn man die k-te Zeile und Spalte streicht (oder äquivalent, die k-te Spalte mit dem k-ten Einheitsvektor ersetzt). Das dies richtig ist kann man sich leicht überlegen, wenn schon alles diagonalisiert ist (und dann sieht man auch wieso das nur geht wenn alle w_a verschieden sind).

PS: Durch Transformation in beliebige Basis kriegt man dann das gewünschte (allgemeine) Resultat. Vermutlich mit ein paar Subtilitäten wegen der Unterdeterminante. Irgendwo in der Linearen Algebra haben wir das sicher mal gelernt: Lösen von Gleichungssystemen, Basis des Kerns, Eigenwerte, Unterdeterminanten,...
Alessandro
Gast





Beitrag Alessandro Verfasst am: 04. Feb 2014 19:52    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die Antwort! Ich habe gestern durch Zufall herausgefunden, dass es für positiv definite symmetrische Matrizen den Begriff der "simultanen Diagonalisierbarkeit" gibt, was wohl ungefähr auf das zutrifft, was hier steht. Leider reichen meine Kenntnisse in Linearer Algebra hierfür nicht aus. Ich wäre ja bereit, etwas dazu zu lernen, wenn ich wüsste, wonach ich suchen muss. Wir hatten einen Algorithmus zur Bestimmung einer Basis des Kerns angegeben, der funktioniert über die normierte Stufennormalform der Koeffizientenmatrix. Ein Zusammenhang mit Unterdeterminanten erschließt sich mir nicht: Das Wort tauchte nur auf im Zusammenhang mit der adjunkten Matrix, dem Entwicklungssatz von Laplace und der Cramerschen Regel. Deswegen habe ich ja vermutet, man könne ausnutzen, dass die Determinante null ist, indem man nach einer Spalte entwickelt. Doch leider kann man eine Determinante nicht nach einer Diagonalen entwickeln. Big Laugh
Kongzi
Gast





Beitrag Kongzi Verfasst am: 04. Sep 2017 15:10    Titel: Aber funktioniert das wirklich? Antworten mit Zitat

Stecke an derselben Stelle und wollte das dann mal an einem simplen Beispiel testen.
Habe also eine symmetrische Matrix mit positiven verschiedenen Eigenwerten
aufgestellt. Als "Massematrix" benutze ich die Einheitsmatrix.
Als Eigenwertproblem einfach

Diagonalisiert (Eigenwerte 1 und 6) ist der Fall klar. Wenn ich nun aber einsetze und die Hauptunterdeterminanten 4 und 1 erhalte, kriege ich den Vektor , der nicht proportional zum Eigenvektor ist. Hätte mich auch gewundert, weil das in keiner LA-Vorlesung erwähnt wurde.

Meine Frage also.....was mache ich falsch?
Kongzi
Gast





Beitrag Kongzi Verfasst am: 06. Sep 2017 09:58    Titel: ach so Antworten mit Zitat

Ich habe in einem Englischen Forum nachgelesen.
Es sind nicht die Hauptunterdeterminanten ( kte Zeile, kte Spalte),
sondern die Unterdeterminanten bei Entwicklung nach einer beliebigen Zeile, wie das auch in der Laplace Zerlegung passiert.
LOL Hammer
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