Planetenbewegung/ Meteoridenabsturz

Melönchen · Anmeldungsdatum: 30.01.2014 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo Leute,
Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Ich habe total Probleme mit einer Aufgabe. Sie sieht relativ leicht aus, ich denk ich steh nur auf dem Schlauch.

Die Aufgabe lautet:

Ein Meteor der Masse m bewege sich im Gravitationsfeld der Erde (Masse M), die als fixiertes Zentrum be- trachtet werden darf, radial auf die Erde zu. Lo?sen Sie die Bewegungsgleichung unter der Annahme, daß der Meteor aus dem Unendlichen mit Geschwindigkeit 0 losgeflogen ist (d.h. v ? 0 fu?r r ? ?).
Hinweis: Verwenden Sie den Energiesatz! Gehen Sie bei der Integration der Bewegungsgleichung davon aus, daß sich der Meteorit zur Zeit t = 0 in einer endlichen Entfernung r0 von der Sonne befindet.

Meine Ideen:
Energiesatz, d.h. Doch nur Ekin=Epot ?
Dass wiederum ist doch 1/2m*v^2 = mgh oder nicht?
Was soll ich denn da integrieren?

Hoffentlich kann mir einer helfen. Danke im Voraus! smile

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Erstmal zu den physikalischen Grundlagen: Wenn es um die Bewegung eines Meteors im Gravitationsfeld geht, ist

eine ganz schlechte Näherung. Das Gravitationspotential ist hier

, die Näherungsformel entsteht durch Taylorentwicklung um den Erdradius mit

.

Zur Aufgabe: Genauer gesagt musst du die Energieerhaltung und die Drehimpulserhaltung anwenden. Du startest mit der Energie in Polarkoordinaten:

. Du verwendest Impulserhaltung, um

durch r und L auszudrücken (das geht, weil phi eine zyklische Koordinate ist). Damit hast du das Problem auf ein eindimensionales reduziert, sodass die Energie nur noch von

abhängt. Dann kannst du die Gleichung so umformen, dass du das Differential

auf eine Seite alleine bekommst. Du hast das hier bestimmt schon einmal gesehen:

(evtl. Vorzeichen beachten, das wird am Umkehrpunkt entscheidend)

[EDIT: Die Formel kannst du aber so direkt nicht verwenden, weil wir das Problem durch ein äquivalentes ersetzt haben, bei dem aber zur potentiellen Energie noch ein Zusatzterm hinzu kommt, der gewöhnlich als "Zentrifugalpotential" bezeichnet wird.]

Dann kannst du auch dt durch einen Ausdruck mit

ersetzen, das auflösen und du bekommst dann mit geeigneten Substitutionen einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten:

, wobei du dein Ergebnis kontrollieren kannst: Bei einer Parabel (also, wenn der Meteor im Unendlichen die Geschwindigkeit null hat) ist

. Den Rechenweg solltest du aber als "Kepler-Problem" in jedem Theo-Buch finden.

Ersti · Anmeldungsdatum: 04.02.2014 Beiträge: 3

Die Antowort von meinem Vorgänger ist komplett falsch, setzte einfach die Energien gleich und lös das DGL auf.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Wow, ich habe echt lange überlegt, warum sie komplett falsch gewesen sein soll. Aber ja, ich hätte vielleicht genauer lesen sollen: Der Meteor bewegt sich radial auf die Erde zu. Noch dazu "endlich" mit "unendlich" verwechselt, man liest halt gerade das, was man lesen möchte. Big Laugh

Ich bin Aufgabenstellungen aus dem Landau/Lifschitz gewöhnt, da ist das das, was man zu tun hat, wenn die Aufgabenstellung heißt "Integrieren Sie die Bewegungsgleichung". Aber durch die radiale Bewegung ist dieses Problem ja schon eindimensional, also ja, es ist wirklich so einfach:

(EDIT: Was hier vorher stand, war für den vorliegenden Fall falsch)