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Nachricht |
alec
Gast
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 alec Verfasst am: 19. Jan 2014 11:20 Titel: Magnetfeld zweier Leiter |
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Hallo,
ich habe folgende Frage zum Durchflutungsgesetz - oder besser gesagt, warum man es hier nicht so anwenden kann:
Gegeben sind zwei parallele, unendlich lange Leiter im Abstand d, die entgegengerichtet vom Strom I durchflossen sind. Das Koordinatensystem (Zylinderkoordinaten) liegt so, dass für einen Leiter R = 0 gilt, er also auf der z-Achse liegt. Der vorgegebene Weg, das Magnetfeld im Abstand R zu berechnen ist, mit dem Durchflutungsgestz H jedes einzelnen Leiters zu berechnen und dann das Superpositionsprinzip zu verwenden. Warum das eine Möglichkeit ist, verstehe ich.
Mein erster Gedanke war aber: Wenn ich um einen geschlossenen Kreis (Mittelpunkt auf der z-Achse) integriere, müsste doch nach dem Durchflutungsgestz gelten...
Für R < d ist nur ein Leiter in der eingeschlossenen Fläche enthalten, also ist  = \frac{I}{2\pi R}) . Für R > d aber sind beide Leiter in der Fläche enthalten, die Ströme heben sich auf und es müsste gelten:  = 0) . Mit ist klar, dass das so nicht stimmen kann (man ist ja immer an einem der Leiter "näher" dran) - aber ich kann mir einfach nicht erklären, wie ich das Durchflutungsgesetz hier "falsch" benutzt habe. Ist hier eine Voraussetzung nicht erfüllt? Hängt es damit zusammen, dass die Ströme nicht symmetisch in der Fläche fließen?
Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte.
Viele Grüße
alec |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5906
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| Myon Verfasst am: 19. Jan 2014 12:14 Titel: |
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Das Ampèresche Gesetz (Durchflutungsgesetz, diesen Namen kannte ich gar nicht), lautet ja in der integralen Form
 ,
wobei über eine geschlossene Kurve um den Strom I integriert wird. Erfolgt die Integration um eine kreisförmige Kurve um einen Leiter in der Mitte folgt daraus (da H aus Symmetriegründen auf dieser Kurve konstant ist)
=\frac{I}{2\pi R})
Erfolgt die Integration wie in Deinem Beispiel um beide Leiter herum, ist H auf dieser Kurve nicht konstant und daher auch nicht gleich 0. Das Integral ergibt jedoch null (positive und negative Beiträge), da der Strom durch die Kurve insgesamt null ist. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 19. Jan 2014 12:23 Titel: |
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| alec hat Folgendes geschrieben: | | Hängt es damit zusammen, dass die Ströme nicht symmetisch in der Fläche fließen? |
So ist es. Die Gesamtanordnung ist nicht zylindersymmetrisch. Also kannst Du auch nicht erwarten, dass bei einem Kreis um den Ursprung an allen Stellen der Betrag von H gleich ist, und auch nicht, dass die Richtung von H der Kreislinie folgt. Dennoch gilt natürlich der Durchflutungssatz, der ja nur besagt, dass die Summe aller infinitesimal kleinen magnetischen Spannungsanteile  auf einem beliebigen geschlossenen Umlauf gleich der Summe der umfassten Ströme ist. Wenn diese Anteile vom Betrag alle unterschiedlich sind und auch unterschiedliche Vorzeichen haben, kann sich leicht die Summe Null ergeben, was ja so sein muss, wenn die beiden umfassten Ströme entgegengesetzt gleich groß sind. Allerdings kannst Du daraus nicht auf den Betrag und die Richtung von H an jeder Stelle des Integrationsweges schließen. Das Integral lässt sich nicht auflösen. Das geht nur, wenn es sich ume eine symmetrische Anordnung handelt.
Wenn es sich z.B. um einen einzigen stromdurchflossenen Leiter handelt, kannst Du den Durchflutungssatz
dann leicht nach H auflösen, wenn Du als geschlossenen Integrationsweg einen konzentrischen Kreis um den Leiter wählst. Denn für eine solche Konstellation kannst Du von Vornherein sagen, dass aus Symmetriegründen
1. die Richtung von  und  an jeder Stelle des Integrationsweges dieselbe ist, also
woraus nach der Definition des Skalarproduktes folgt
und
2. der Betrag  auf dem gesamten Inegrationsweg,
woraus folgt, dass nach Regeln der Integralbildung (Konstante wird ausgeklammert, also vors Integralzeichen gezogen)
Das verbliebene Integral ist die Summe aller infinitesimal kleinen Wegelemente auf der geschlossenen Kreislinie, ist also gerade gleich dem Umfang des Kreises. Demnach
Fazit: Sobald die beiden obigen Voraussetzungen nicht erfüllt sind, ist der Durchflutungssatz zwar weiterhin gültig, Du kannst aber praktisch nichts mehr damit anfangen. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 19. Jan 2014 13:52 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Fazit: Sobald die beiden obigen Voraussetzungen nicht erfüllt sind, ist der Durchflutungssatz zwar weiterhin gültig, Du kannst aber praktisch nichts mehr damit anfangen. |
So kategorisch kann man das nicht sagen. Wenn sich das gesuchte Magnetfeld als Summe von Feldern darstellen lässt, deren jedes einzelne nach dem Durchflutungsgesetz berechenbar ist, dann ist auch das Gesamtfeld nach dem Durchflutungsgesetz berechenbar. Das ist bei dieser Aufgabe der Fall. Man muss nur die Teilfelder vektoriell addieren. |
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alec
Gast
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| alec Verfasst am: 19. Jan 2014 14:20 Titel: |
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Alles klar, das macht Sinn. Vielen Dank für die Erklärungen! |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 19. Jan 2014 14:27 Titel: |
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| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | GvC hat Folgendes geschrieben: | | Fazit: Sobald die beiden obigen Voraussetzungen nicht erfüllt sind, ist der Durchflutungssatz zwar weiterhin gültig, Du kannst aber praktisch nichts mehr damit anfangen. |
So kategorisch kann man das nicht sagen. Wenn sich das gesuchte Magnetfeld als Summe von Feldern darstellen lässt, deren jedes einzelne nach dem Durchflutungsgesetz berechenbar ist, dann ist auch das Gesamtfeld nach dem Durchflutungsgesetz berechenbar. Das ist bei dieser Aufgabe der Fall. Man muss nur die Teilfelder vektoriell addieren. |
Was ich gemeint hatte, sollte eigentlich aus dem Zusammenhang erkennbar gewesen sein. Ist es aber offensichtlich nicht. Es ging um einen kreisförmigen Integrationsweg um beide Leiter herum, wie er von alec in seinem Eröffnungspost vorgeschlagen worden war. Und dafür gilt mein Fazit nach wie vor. Falls nicht nur Du, sondern auch alec das falsch verstanden haben sollte, bitte ich für die Verwirrung, die ich offenbar gestiftet habe, um Entschuldigung.
Dass sich die magnetischen Feldstärken infolge beider Ströme natütlich einzeln mit dem Durchflutungssatz bestimmen lassen, hätte aus meinem Beitag ebenfalls hervorgehen können. Denn ich habe die Bedingungen dafür klar genannt. Hat aber offenbar bei Dir ebenfalls nicht funktioniert. Und dass sich Feldstärken, deren Betrag und Richtung man kennt, vektoriell addieren lassen, ist fast schon eine Trivialität.
Mein Anliegen war halt nur, darauf hinzuweisen, dass die Anwendung und Auswertung des Durchflutungssatzes in der Form  , wie der Fragesteller es machen wollte, im Allgemeinen so nicht funktioniert. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 19. Jan 2014 14:36 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Was ich gemeint hatte, sollte eigentlich aus dem Zusammenhang erkennbar gewesen sein. Ist es aber offensichtlich nicht. |
Das war nun wirklich aus dem Wortlaut deines Beitrags schwer erkennbar. Es stand da nur, wie es nicht geht. Es fehlte jeder Hinweis darauf, wie es geht.
@alec
Wenn jetzt alles klar ist, solltest du deine Lösung mal hinschreiben. Das hilft Mitlesern und man kann überprüfen, ob wirklich alles klar ist. |
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