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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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 The Observer Verfasst am: 15. Dez 2013 14:56 Titel: Coulomb-Eichung |
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Untersucht wird das freie, elektromagnetische Feld in einem ladungsfreien, stromfreien, Würfelvolumen V mit Kantenlänge L.
Das Vektorpotential in Coulomb-Eichung lässt sich als Fourierreihe darstellen als:
 = \sum\limits_{k} \vec{A}_k(t) e^{i \vec{k} \vec{r}})
Wobei: 
Frage: Welche 2 Bedingungen müssen für ) gelten, damit die Reihe tatsächlich Coulomb-geeicht ist.
Mein Ansatz: Für Coulomb-Eichung muss gelten:  = 0)
Wenn ich nun die Divergenz nicht falsch angewandt habe, dann müsste gelten:  = \sum\limits_{k} \vec{A}_k(t) \vec{k} e^{i \vec{k} \vec{r}})
Das heißt in anderen Worten, die Summe aller Fourierkoeffizienten muss verschwinden.
Was ist nun aber die 2. Bedingung?  |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 15. Dez 2013 17:35 Titel: Re: Coulomb-Eichung |
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| The Observer hat Folgendes geschrieben: |
Das heißt in anderen Worten, die Summe aller Fourierkoeffizienten muss verschwinden.
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Also das eher nicht
Ich hätte folgende Ideen
A(t) muß über ganz k definiert sein (ist aber wahrscheinlich Voraussetzung)
A(t) muß eine komplexe e-Funktion sein |
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 15. Dez 2013 17:57 Titel: |
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Da stellt sich dann natürlich zwangsläufig die Frage: Warum? 
Dass nicht alle Fourierkoeffizienten 0 sein sollen, ist vielleicht noch "nachvollziehbar", sonst wäre das Vektorpotential einfach nur trivialerweise 0. Aber wie kommst du auf "komplexe e-Funktion"? |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 15. Dez 2013 18:20 Titel: |
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Um ehrlich zu
Ich wollte meine Antwort gerade löschen,aber da hattest du schon geantwortet
| The Observer hat Folgendes geschrieben: | | Aber wie kommst du auf "komplexe e-Funktion"? |
Weil mir nicht ganz klar ist wie man  sonst loswerden will
Du hattest glaube ich das gemeint
=0)
Da weiß ich nicht was das bringen soll |
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 15. Dez 2013 19:52 Titel: |
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Na ja. Folgendermaßen. Coulomb-Eichung bedeutet, dass die Divergenz des Vektorpotentials verschwindet. Also:
muss gelten.
Es gilt im Exponenten in der Fourierreihe:
Dann ist })
Dann ist:
 e^{i \vec{k} \vec{r}} = \begin{pmatrix} A_{kx}(t) \\ A_{ky}(t) \\ A_{kz}(t) \end{pmatrix} e^{i 2 \pi (\frac{n_x}{L} x + \frac{n_y}{L} y + \frac{n_z}{L} z)})
Folglich ist die Divergenz:
 e^{i \vec{k} \vec{r}}) = (A_{kx}(t) 2 \pi i \frac{n_x}{L} + A_{ky}(t) 2 \pi i \frac{n_y}{L} + A_{kz}(t) 2 \pi i \frac{n_z}{L}) e^{i \vec{k} \vec{r}})
 = \nabla \sum\limits_{k} \vec{A}_k(t) e^{i 2 \pi (\frac{n_x}{L} x + \frac{n_y}{L} y + \frac{n_z}{L} z)} = (A_{1x} + A_{2x + ...}) 2 \pi i \frac{n_x}{L} e^{i \vec{k} \vec{r}} + (A_{1y} + A_{2y + ...}) 2 \pi i \frac{n_y}{L} e^{i \vec{k} \vec{r}} + (A_{1z} + A_{2z + ...}) 2 \pi i \frac{n_z}{L} e^{i \vec{k} \vec{r}})
Damit dieser Ausdruck also 0 wird, muss eben gelten:
 = 0)
 = 0)
 = 0)
Mit anderen Worten: Die Summe aller Fourierkoeffizienten muss 0 sein.
Ich sehe jedenfalls nicht, wo ich da einen Fehler gemacht haben könnte.
Die Frage ist dann nur, was ist eine weitere Bedingung? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Dez 2013 20:06 Titel: |
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Eine Bedingung an die Ak erhält man daraus dass A reell ist.
Eine zweite erhält man durch Berechnen der Divergenz. Das geht zumindest z.T. so wie Du es gemacht hast.
e^{i \vec k \cdot \vec x})
Damit diese Summe Null ist, müssen die Koeffizienten alle Null sein (gilt allgemein für die Fourier-Reihe), also
 . |
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 15. Dez 2013 20:17 Titel: |
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Also müssen tatsächlich alle Koeffizienten 0 sein und nicht nur deren Summe? Das heißt, das Vektorpotential ist auch insgesamt 0? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 15. Dez 2013 20:25 Titel: |
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| The Observer hat Folgendes geschrieben: | | Also müssen tatsächlich alle Koeffizienten 0 sein und nicht nur deren Summe? Das heißt, das Vektorpotential ist auch insgesamt 0? |
Nein, denn die Bedingung lautet nicht
sondern
D.h. alle Fourierkomponenten müssen orthogonal zum Wellenvektor k sein (Transversalität).
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 15. Dez 2013 20:34 Titel: |
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Ah, natürlich. 
Ich werde mir das später nochmal genauer anschauen. Die Ansätze zum Lösen habe ich ja jetzt.
Andere Frage:
 http://s7.directupload.net/images/131215/mmix5gwx.png
(Die Fourierdarstellung ist die in diesem Thread besprochene)
Welche Bewegungsgleichung ist hier genau gemeint? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 15. Dez 2013 21:45 Titel: |
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Ich vermute, die Wellengleichung für das Vektorpotential in der Coulombeichung.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 16. Dez 2013 00:57 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Eine Bedingung an die Ak erhält man daraus dass A reell ist. |
Hier bin ich mir übrigens immer noch nicht sicher. Heißt das einfach, die A_k addiert mit den komplex konjugierten A_k sollen reell sein? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 16. Dez 2013 00:59 Titel: |
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Nein das ist nicht die Folgerung, die man daraus erhält. |
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 16. Dez 2013 01:11 Titel: |
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Ich verstehe aber nicht, wie man aus einer gegebenen komplexen Fourierreihe eine reelle machen kann, indem man nur die Koeffizienten einer "Bedingung" unterzieht. Die Methode die ich kenne ist die, dass man dem Term in der Summe nochmal den komplex konjugierten Term dazuaddiert. Dann wird's reell. Aber ich soll ja nicht die Reihe transformieren, sondern sagen was für die A_k gilt. |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 16. Dez 2013 02:05 Titel: |
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Die relle ergibt sich durch "Summation" von allen Reihengliedern.
a_n + a_-n ist das n-te reelle Fourierglied. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2013 18:20 Titel: |
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| The Observer hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe aber nicht, wie man aus einer gegebenen komplexen Fourierreihe eine reelle machen kann, indem man nur die Koeffizienten einer "Bedingung" unterzieht. |
Man fordert
 = 0)
Dazu betrachtet man
Ausmultiplizieren liefert für den Imaginärteil
 \left(\cos kx + i\sin kx\right) + \left(a_{-k} + ib_{-k}\right)\left(\cos kx - i\sin kx\right) =
<br />
\ldots + i\left(a_k\sin kx + b_k\cos kx - a_{-k}\sin kx + b_{-k}\cos kx\right) =
<br />
\ldots + i\left(b_k + b_{-k} \right) \cos kx + i\left(a_k - a_{-k}\right)\sin kx )
Daraus folgen zwei Bedingungen
Und das ist äquivalent zu
(bitte nochmal prüfen)
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The Observer
Anmeldungsdatum: 17.11.2013
Beiträge: 22
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| The Observer Verfasst am: 18. Dez 2013 15:58 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Und das ist äquivalent zu
(bitte nochmal prüfen) |
Ja, vielen Dank. Das habe ich jetzt auch so aus Wikipedia übernommen gehabt. Jetzt weiß ich auch wieder, warum das so ist (Fourierreihen ist schon etwas her^^). |
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