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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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 planck1858 Verfasst am: 11. Sep 2013 18:15 Titel: Fallbewegung mit Luftwiderstand |
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Hi,
wie der obigen Überschrift zu entnehmen ist, geht es bei meiner Frage um die Fallbewegung unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes.
Auf einen Fallschirmspringer der Masse m=75kg wirkt eine Reibungskraft F_r, welche proportinal zum Quadrat der Fallgeschwindigkeit v ist: F_r=kv^2 mit der Proportionalitätskonstanten k=0,29kg/m.
Welche Geschwindigkeit kann der Fallschirmspringer maximal erreichen, bevor er den Fallschirm öffnet?
Meine Idee:
bzw. als Differenzialgleichung:
^2)
Wie löse ich nun diese Differentialgleichung so, dass ich die Geschwindigkeit angeben kann?
Ich habe mich bisher noch nicht mit Differentialgleichungen beschäftigt, lediglich mit der sogenannten Separation, sprich Variablentrennung.
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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
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| GvC Verfasst am: 11. Sep 2013 18:23 Titel: |
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Von wegen Differentialgleichung. Die maximale Geschwindigkeit ist erreicht, wenn die Beschleunigung Null, also die Gesamtkraft Null ist. Der Rest ist nur noch Auflösen nach v. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
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| Jayk Verfasst am: 11. Sep 2013 18:35 Titel: |
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Du kannst eine Lösung raten (hier passt der hyperbolische Tangens, wenn du den etwas zurecht biegst). Denn die Ableitung von dem ist gerade  ' = 1 - \tanh^2 x) .
Ansonsten hilft Separation der Variablen auch hier:
Das Monstrum auf der linken Seite kannst du mit Partialbruchzerlegung integrieren. Ich gebe mal eine Kurzfassung: wenn du etwas hast wie }{q(x)}) , wobei der Grad von p kleiner als der von q ist, dann kannst du das in folgende Form bringen:
^2} + \dots + \frac{a_{1 n_1}}{(x - x_1)^{n_1 }} + \frac{a_{2 1}}{x - x_2} + \frac{a_{22}}{(x - x_2)^2} + \dots)
wobei die  die Nullstellen von q sind und die  die so genannten Vielfachheiten (also wie oft der entsprechende Term in der Linearfaktorzerlegung vorkommt). Die ganzen a sind Konstanten, die du durch Koeffizientenvergleich bestimmen musst. Im konkreten Fall hast du
 \left( v + \sqrt{\frac{m g}{k}} \right)} = \frac{a}{v - \sqrt{\frac{m g}{k}}} + \frac{b}{v + \sqrt{\frac{m g}{k}}})
Die Terme, die dann da stehen, kannst du durch Substitution leicht integrieren.
Allerdings kannst du die maximale Geschwindigkeit auch anders bestimmen. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 11. Sep 2013 18:46 Titel: |
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Also handelt es sich dabei doch um eine Differentialgleichung, oder?
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 11. Sep 2013 18:53 Titel: |
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Ja. Wenn du sie lösen willst, nur zu. Aber GvC hat Recht, dass du das Maximum auch ablesen kannst. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 11. Sep 2013 18:57 Titel: |
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Also würde das dann nach GvC's Methode bedeuten, dass ich für die Beschleunigung a=0 setze und nach v hin auflöse?
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
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| GvC Verfasst am: 11. Sep 2013 19:05 Titel: |
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Ja natürlich. Kräftegleichgewicht kennst Du doch, oder? Ich dachte, Du seist mittlerweile schon weiter.
@Jayk
Es war nur nach der maximalen Geschwindigkeit gefragt. Die Differentialgleichung war für den vorgegebenen Fall nur eine einigermaßen unsinnige Idee von planck1858. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
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| planck1858 Verfasst am: 11. Sep 2013 19:07 Titel: |
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Also in dem lehrbuch zur Analysis wird ebenfalls eine Differentialgleichung aufgestellt und gelöst.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 11. Sep 2013 19:13 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | | Also in dem lehrbuch zur Analysis wird ebenfalls eine Differentialgleichung aufgestellt und gelöst. |
Da wird aber nicht nur die maximale Geschwindigkeit bestimmt, sondern der Geschwindigkeitsverlauf. Du hattest aber nur nach der maximalen Geschwindigkeit gefragt.
Warum gibst Du die Methode mit der Differentialgleichung als Deine aus, wenn Du sie doch aus dem Lehrbuch hast? |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 11. Sep 2013 21:58 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | | Also in dem lehrbuch zur Analysis wird ebenfalls eine Differentialgleichung aufgestellt und gelöst. |
Ich hatte auch nur ungenau gelesen, entschuldigung. Nicht, dass man das Problem nicht mit der Lösung der DGL lösen könnte. Es ist nur eben dafür etwas "overkill". In diesem Analysis-Lehrbuch (welches auch immer das ist) wird das Beispiel vermutlich aus Interesse an der Differentialgleichung und nicht aus Interesse am Problem gebracht.
| Zitat: | | Warum gibst Du die Methode mit der Differentialgleichung als Deine aus, wenn Du sie doch aus dem Lehrbuch hast? |
Das ist allerdings interessant. Vor allem aber: Wieso fragst du, wenn die Antwort im Buch steht? |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
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| planck1858 Verfasst am: 11. Sep 2013 22:07 Titel: |
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Auf das mit der Differentialgleichung bin ich selbst gekommen. Ich habe anschließend in meinen Büchern danach gesucht und bin auf den Eintrag im Heuser gestoßen.
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