Masse und Schwerpunkt einer inhomogen gefüllten Kugel?

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Hallo Leute,

ich habe ein kleines Problem. Wir haben bis jetzt nur mit homogenen Massenverteilungen gerechnet. Ich will aber nun die Gesamtmasse und den Schwerpunkt einer inhomogenen Massenverteilung ausrechnen.

ist die Dichte der Kugel mit Radius R.

und b und

sind konstant.

ist der Winkel zwischen Ortsvektor eines Massenpunktes und einer festen Achse durch den Kugelmittelpunkt, der bei 0,0,0 liegt.

Gesucht:
1. Gesamtmasse der Kugel
2. Schwerpunktsvektor

der Kugel

Ansatz:
- Kugelkoordinaten, klar

Gilt bei inhomogenen Massenverteilungen auch folgendes?

Was gilt für den Schwerpunkt?

Hoffe, ihr könnt mir helfen?!

Grüße

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

Ich vermute

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Für die Gesamtmasse gilt

Für den Massenmittelpunkt gilt

(der Schwerpunkt ist in inhomogenen Gravitationsfeldern i.A. vom Massenmittelpunkt verschieden - die Begriffe werden häufig verwechselt)

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Das heißt, dass sich die Formeln nicht unterscheiden zu denen, die bei homogenen Massenverteilungen gelten...

Schwerpunkt und Massenmittelpunkt:
Der Schwerpunktsvektor ist aber doch das integral, was du angegeben hast, TomS?

Das von DrStupid ist doch nicht der Schwerpunktsvektor, oder?

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

Die Gleichungen sind identisch.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

DrStupid hat im Nenner explizit das Integral für die Masse geschrieben (und verzichtet auf die Vektorpfeile). Ich habe nur 1/M geschrieben. Die Formeln sind identisch.

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Danke sehr für die Hilfe.

Ich war mir einfach nicht sicher, ob ich diese Formeln, die mir bekannt waren, auch bei inhomogenen Körpern nehmen darf...

Frage beantwortet.