Delta-Distribution u. Ortsoperator

Pflupp · Gast

Meine Frage:
Nabend allerseits,
ich habe mal in mein altes "Physik mit Bleistift"-Lehrbuch geschaut und bin bei dieser Formel hängen geblieben...
Der letzte Schritt, das "ins Integral ziehen", wird mir nicht klar:

wobei

gelten soll. Sprich die Delta-D. seien die Eigenwerte des Operators X

Kann mir jemand dazu einen Denkanstoß geben?!

Meine Ideen:
..also vom Gefühl her würde ich sagen, ich steh' auf dem Schlauch - hoffentlich... Ich muss irgendwas grundlegendes übersehen.. ..kann ja nicht so schwer sein, oder?!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Frage: was ist X?

Wenn X der Ortsoperator sein soll, dann darfst du in der Ortsdarstellung einfach x (die Variable x) dafür setzen.

Pflupp · Gast

Hallo, danke erstmal.
...ist er. Bzw. wird er dann als Ortsoperator identifiziert.
Den letzten Schritt vom Integral zu "x*u(x)" habe ich einfach mal weg gelassen. -Der ist mir immerhin klar..

Der Punkt ist, dass die Rechnung offensichtlich auch ohne QM auskommen soll, eben nur letztendlich darauf führt, -also erstmal nur ein mathematisches Problem ist (ich dachte mir beim Posten, hier sei der beste Platz dafür).

Im Buch wird erstmal nur von einem Operator X mit Eigenfkt. "delta(x-a)" geredet. -> " X delta(x-a) = a*delta(x-a) "
Daraus scheint sich dann alles zu ergeben, wenn man an "X u(x)" 'rumwerkelt..
Wie gesagt, das 1. "=" ist (per Def.) klar, nur das 2. macht mir Probleme..

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Man muss umgekehrt vorgehen und mit dem Integral starten

Pflupp · Gast

Danke TomS!
Er führt zwar nicht direkt zur Lösung, aber der Tipp war gut... Mit dem Integral zu staten ist normalerweise ja nicht möglich, man will es schließlich erstmal errechnen, aber wenn ich dann auch mal anfange über Linearität nachzudenken, -bitte gerne..
Offenbar soll es sich um einen linearen Operator handeln?! Sodass Integral und X kommutieren... Anders macht es (für mich) keinen Sinn. Aber zumindest im umliegenden Text steht davon nichts; -wahrscheinlich steht irgendwo zu Beginn des Buches, dass wir uns nur mit linearen OPs auseinandersetzen werden, -wer weiß...

Ist der Operator denn komplett, oder zumindest in Punkto Linearität, durch seine Eigenwertgleichung bestimmt??
Schon etwas peinlich, aber zum Verstehen fehlte mir nur die Linearität. Das nächste Problem ist dann die Frage, ob ich irgendeinen heißen, bzw. selbstverständlichen Tipp aus dem Buch übersehen habe...

Bin ich denn grundsätzlich in der Lage aus den gegebenen Infos über den OP (aber ohne "X u(x) = x*u(x)"!) einen Kommutator (mit dem "Integral-OP") zu berechnen?? Ich bin mir zwar fast sicher, dass in dem Buch nichts vom Kommutator erwähnt wird, aber letztlich möchte ich das Wissen auch außerhalb des Buchs verwenden können...

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Das Integral und der Operator X vertauschen, da X offensichtlich ein linearer Operator der auf Funktionen von x wirkt sein soll.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Pflupp · Gast

...Ist "X u(x)" die Notation ausschließlich für lineare OPs ?!!
Andernfalls sehe ich das offensichtliche nicht, wie's aussieht...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Ja, das ist die Notation wie bei einer Matrix-Vektor-Multiplikation, X wirkt auf u in x-Darstellung

Pflupp · Gast

Der Weg von diskret zu kontinuierlich ist mir klar. Und eig. auch die OP-Notation, dachte ich..
Aber folgt zufällig allein aus der Notation, dass "X A u(x) = A X u(x)" ??

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Was ist A?

Wenn es eine Zahl ist, dann liest man A streng genommen als A * id, und damit vertauscht der Einheitsoperator id logischerweise mit X (und jedem anderen Operator).

Wenn A ein andere Operator ist, dann weiß man zunächst für die Vertauschung von X und A nichts.

Pflupp · Gast

..eine Zahl, na das wäre doch zu einfach...
Ich wollte nur sicher gehen, ob die Notation "OP links wirkt auf rechts" nicht einfach Kommutieren impliziert... Wenn nicht, ist's gut... aber dann weiß ich auch nicht weiter!

Kann mir jemand seinen Gedankengang darlegen, bitte?! Ich frage mich wirklich woran es bei mir hapert... Ich glaube, ich gehe die Aufgabe immer wieder unter falschem Fokus an.
Die Aufgabe lautet zusammengefasst:
Wie wirkt ein bel. Operator X, für den

"X delta(x-a) = a*delta(x-a)"

gilt, auf eine bel. Fktn. "u(x)"?!? Wobei bekannt ist, dass:

"u(p) = integral dq u(q)*delta(p-q)"

..was übersehe ich...??

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

An irgendeinem Punkt wirst du annehmen muessen das X und Integration vertauschen, bzw es zeigen müssen (z.B. durch Annaehern der Delta-Distribution durch Riemanintegrierbare Funktionen und des Integrals als Summe). Dann sollte doch klar sein, dass das Ergebnis
X u(x) = x*u(x)
ist, oder nicht?