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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
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 planck1858 Verfasst am: 15. Apr 2014 17:31 Titel: Delta-Distribution |
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Hi,
ich habe eine Aufgabe gegeben zur Delta-Distribution, die aus zwei Teilaufgaben besteht.
In der ersten Teilaufgabe soll ich zeigen, dass der Grenzwert der Funktionenfolge
=\sqrt{\frac{n}{\pi}}exp(-nx^2))
für 
folgende Eigenschaften besitzt:
 = \begin{cases}
<br />
\infty & \mbox{für }x=0 \\
<br />
0 & \mbox{für }x\neq 0
<br />
\end{cases})
und
dx=1)
In der zweiten Teilaufgabe soll gezegt werden, dass man aus jeder Funktion ) , welche für große x hinreichend schnell abfällt und für die das Integral
dx=N)
existiert, durch
=\frac{n}{N}g(nx))
eine Darstellung der Delta-Distribution für erhält.
Ich kann mit dieser Aufgabe leider nichts anfangen und wäre sehr um eure Hilfe erfreut.
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 15. Apr 2014 17:53 Titel: |
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Wie sieht die Exponentialfunktion für x = 0 denn aus?
Was kannst du dann für den Grenzwert im Falle x = 0 für n gegen unendlich sagen?
Was weißt du denn aus der Mathevorlesung über die Änderung von exp(a*n) gegenüber SQRT(n) für feste reelle Zahl a? Was passiert dann wohl mit SQRT(n)/exp(a*n) für n-> unendlich?
Wenn du dir das überlegst hast du schon mal die erste Eigenschaft nachgewiesen.
Für die zweite kannst du dir ja mal http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerintegral
anschauen und dir überlegen, ob der Wert des Integrals von der Zahl 1/2 abhängig ist oder nicht (geh einfach die Beweisführung dort durch und setze statt 1/2 irgendeine andere Zahl ein).
Dann kommst du zurück und überlegst dir wie das wohl mit exp(-nx^2) aussieht.
Zur zweiten Teilaufgabe:
Substituier im Integral mit Integranden g(x) einmal x mittels x = n*z. Was erhälst du dann hinsichtlich n/N?
Wie könnte dir das dann weiterhelfen in Bezug auf h(x)? |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 18:19 Titel: Re: Delta-Distribution |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: |
dass man aus jeder Funktion , welche für große x hinreichend schnell abfällt und für die das Integral
existiert, durch
eine Darstellung der Delta-Distribution für erhält.
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Das glaub ich so nicht. Müsste da nicht noch etwas mehr gefordert sein? |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 15. Apr 2014 18:30 Titel: Re: Delta-Distribution |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: | | planck1858 hat Folgendes geschrieben: |
dass man aus jeder Funktion , welche für große x hinreichend schnell abfällt und für die das Integral
existiert, durch
eine Darstellung der Delta-Distribution für erhält.
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Das glaub ich so nicht. Müsste da nicht noch etwas mehr gefordert sein? |
Nee, das stimmt schon. Meine vorgeschlagene Substitution führt zu N/n = Integral von g(n*z) was dazu führt, dass eben (n/N)*g(n*z) integriert immer 1 ergibt.
Das ist die erste Eigenschaft der Diracfunktion.
Die andere ist trivial wenn man das "hinreichend schnelle" Abfallen von g(x) entsprechend konkretisiert, so dass lim n*g(n*x) gegen Null geht. |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 18:56 Titel: |
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| kingcools hat Folgendes geschrieben: |
Nee, das stimmt schon. |
Glaub ich immernoch nicht. Betrachte z.b. eine Funktionenfolge  , so dass für alle  gilt:
 und ) (das tut eigentlich nicht viel zur Sache, soll nur andeuten das das Integral existiert)
Sprich also man wähle eine Funktion g(x) mit kompaktem Träger der die Null nicht enthält. Dann entsteht eine ähnliche Situation, oder seh ich da was falsch?
Zuletzt bearbeitet von Nobundo am 15. Apr 2014 19:00, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 19:04 Titel: |
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@Nobundo
Das ist immer noch eine Darstellung der Delta-Distribution, nur halt nicht von ) , sondern ) . |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 19:14 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | @Nobundo
Das ist immer noch eine Darstellung der Delta-Distribution, nur halt nicht von , sondern . |
Wieso ist das so? Eine solche Funktion konvergiert gegen die konstante Null Funktion. Für  müsste aber \neq 0) sein. Das wurde doch oben so definiert? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 19:20 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: |
Wieso ist das so? Eine solche Funktion konvergiert gegen die konstante Null Funktion. Für müsste aber sein. Das wurde doch oben so definiert? |
Wenn Deine Funktionenfolge wirklich gegen "identisch Null" konvergiert, dann kann die Integralbedingung  nicht mehr erfüllt sein. |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 19:37 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
Wenn Deine Funktionenfolge wirklich gegen "identisch Null" konvergiert, dann kann die Integralbedingung nicht mehr erfüllt sein. |
Die Bedingung lautet
dx=1)
und die ist erfüllt. Die Folge  ist konstruiert wie in der Aufgabenstellung vorgegeben, dadurch ist doch die Normierung gewährleistet?
Zuletzt bearbeitet von Nobundo am 15. Apr 2014 19:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 19:40 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: |
Die Bedingung lautet
und die ist erfüllt. |
Wenn das bei Dir erfüllt ist, kann Deine Funktionenfolge nicht gegen identisch Null konvergieren. Ansonsten gib mal explizit eine Funktionenfolge an, die dies tut.
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 15. Apr 2014 19:46, insgesamt einmal bearbeitet |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 19:45 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
Wenn das bei Dir erfüllt ist, kann Deine Funktionenfolge nicht gegen identisch Null konvergieren. Ansonsten gib mal explizit eine Funktionen an, die dies tut. |
Beispiel: ist eine glatte Funktion mit kompaktem Träger der die Null nicht enthält. Dann ist
dx=N<\infty)
und für alle n gilt:
dx=\int \frac{n}{N}g(nx)dx=\int\frac{1}{N}g(u)du=1) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 19:47 Titel: |
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Es geht um Deine Behauptung dass das in jedem Punkt gegen Null konvergiert...
(und explizit eine Funktionenfolge angeben ist auch was anderes  ) |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 20:00 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Es geht um Deine Behauptung dass das in jedem Punkt gegen Null konvergiert...
(und explizit eine Funktionenfolge angeben ist auch was anderes ) |
Die Konvergenz gegen Null folgt direkt daraus das der Träger die NUll nicht enthält.
Das Beispiel steht für eine ganze Klasse von Beispielen, du zweifelst doch nicht die Existenz einer solchen Funktion an? |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 15. Apr 2014 20:07 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Es geht um Deine Behauptung dass das in jedem Punkt gegen Null konvergiert...
(und explizit eine Funktionenfolge angeben ist auch was anderes ) |
Die Konvergenz gegen Null folgt direkt daraus das der Träger die NUll nicht enthält.
Das Beispiel steht für eine ganze Klasse von Beispielen, du zweifelst doch nicht die Existenz einer solchen Funktion an? |
Es steht noch dort, das die Funktion g(x) hinreichend schnell gegen Null laufen soll. Das ist so zu verstehen, das, sofern dein Beispiel korrekt ist (ich kenne mich mit kompakten Trägern nicht aus), dein Beispiel schlicht nicht so eine Funktion g ist |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 20:13 Titel: |
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| kingcools hat Folgendes geschrieben: |
Es steht noch dort, das die Funktion g(x) hinreichend schnell gegen Null laufen soll. Das ist so zu verstehen, das, sofern dein Beispiel korrekt ist (ich kenne mich mit kompakten Trägern nicht aus), dein Beispiel schlicht nicht so eine Funktion g ist |
Doch ist es. Mein Beispiel geht nicht nur "hinreichend" schnell gegen Null sind ist für große x exakt Null. Schneller geht nicht. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 20:14 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: |
Die Konvergenz gegen Null folgt direkt daraus das der Träger die NUll nicht enthält.
Das Beispiel steht für eine ganze Klasse von Beispielen, du zweifelst doch nicht die Existenz einer solchen Funktion an? |
Ob der Träger die Null enthält oder nicht, hat doch nichts damit zu tun, ob die Funktionenschar gegen die Nullfunktion konvergiert... ich versteh vermutlich nicht, was Du mir mitteilen möchtest. Nenn mir doch einfach explizit eine Funktionenschar, die Deine Bedingungen erfüllt. Ich zweifel nämlich sehr wohl an, dass diese existiert, die Bedingungen erfüllt und gleichzeitig gegen die Nullfunktion konvergiert. |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 20:26 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Nenn mir doch einfach explizit eine Funktionenschar, die Deine Bedingungen erfüllt. Ich zweifel nämlich sehr wohl an, dass diese existiert, die Bedingungen erfüllt und gleichzeitig gegen die Nullfunktion konvergiert. |
Eine explizite Funktionenschar müsste ich jetzt auch kurz googlen, aber das glatte funktionen mit kompakten Trägern existieren das sollte doch mal nicht Thema der Diskussion sein. Sei also g(x) eine solche Funktion, deren Träger die Null nicht enthält. Die in der Aufgabe definierte Folge ist dann:
=n/N\cdot g(nx))
zu zeigen: \rightarrow 0) punktweise.
Beweis: Da  kompakt ist existiert ein  , so dass 
Sei  , dann gilt =n/N\cdot g(0)=0) da 0 nicht im Träger liegt nach Voraussetzung. Es folgt also \rightarrow 0) .
Sei  , dann existiert ein  , so dass  für alle  . Für gilt dann weiterhin =n/N\cdot g(nx)=0) und somit auch .
Insgesamt also  punktweise. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 20:36 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: |
Eine explizite Funktionenschar müsste ich jetzt auch kurz googlen, |
Das solltest Du mal tun, vllt findest Du dann deinen Fehler |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 20:39 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
Das solltest Du mal tun, vllt findest Du dann deinen Fehler |
Ich glaube eigentlich im Moment das ich keinen Fehler gemacht habe, die Aufgabe ist einfach nicht korrekt. Aber bittschön: http://de.wikipedia.org/wiki/Testfunktion |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 20:55 Titel: |
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Ich hab immer noch keine konkrete Funktionenschar gesehen, die Deine Aussage unterstützt (irgendwelche Testfunktionen kann ich selber googlen)... |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 21:06 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Ich hab immer noch keine konkrete Funktionenschar gesehen, die Deine Aussage unterstützt (irgendwelche Testfunktionen kann ich selber googlen)... |
Puh nagut dann geb ich dir eben eine konkrete Funktion an, obwohl mir nicht klar ist was das ändern soll:
 =\begin{cases}
<br />
\exp\left(\frac{-1}{(x-2)^2-1}\right), & \text{für }1<x<3 \\
<br />
0, & \text{sonst }
<br />
\end{cases})
wie inder Aufgabe vorgegeben.
Zuletzt bearbeitet von Nobundo am 16. Apr 2014 14:41, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 21:17 Titel: |
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Und inwiefern ist diese Funktion glatt bei x=1 und x=3?
PS: Von mir aus fehlt das in den Angaben vorher.. aber Du selber hast die ganze Zeit von glatten Funktionen gesprochen...
PPS: Auch eine Glaettung diese Funktion wird in Delta-Funktionen enden, diesmal  + \delta (x-3)) ... aber ok.. wenn in der Anfnagsaufgabenstellung eine einfache Deltafunktion rauskommen soll, dann muss man noch bisschen mehr annehmen... (ich bezweifel aber irgendwie dass das Dein Punkt war ) |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 21:27 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Und inwiefern ist diese Funktion glatt bei x=1 und x=3?
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Die ist glatt, ist ja eine testfunktion. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 21:28 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Und inwiefern ist diese Funktion glatt bei x=1 und x=3?
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Die ist glatt, ist ja eine testfunktion. |
 Ah.. Du nennst sie Testfunktion.. dann muss sie glatt sein
Dann sag mir doch als erstes mal den Wert der Funktion bei x=1 und x=3
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 15. Apr 2014 21:30, insgesamt einmal bearbeitet |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 21:29 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
PPS: Auch eine Glaettung diese Funktion wird in Delta-Funktionen enden, diesmal ) |
Das stimmt zwar nicht, aber du redest ja von Glättung. Wieso glaubst du dann nicht an glatte Funktionen mit kompaktem Träger? Wie glättest du denn? |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 21:31 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
Ah.. Du nennst sie Testfunktion.. dann muss sie glatt sein
Dann sag mir doch als erstes mal den Wert der Funktion bei x=1 und x=3 |
Die Funktion ist glatt (falls ich mich nicht vertippt habe). Rechne es nach wenn du zweifelst. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 21:31 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
PPS: Auch eine Glaettung diese Funktion wird in Delta-Funktionen enden, diesmal ) |
Das stimmt zwar nicht, aber du redest ja von Glättung. Wieso glaubst du dann nicht an glatte Funktionen mit kompaktem Träger? Wie glättest du denn? |
Ich "glaube" an glatte Funktionen mit kompakten Träger.. aber Deine Funktion ist nichtmal definiert bei x=1 und x=3...
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 15. Apr 2014 21:36, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 21:33 Titel: |
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Evtl hast Du ein Minuszeichen vergessen in der Exponential-Funktion?
PS: die n*x Konstruktion funktioniert wohl nur wenn die Funktion bei x=0 gepeakt ist... ansonsten sollte es wohl n*(x-a) heissen... vermutlich ist das der Knackpunkt um den es hier die ganze zeit geht... |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 21:37 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Evtl hast Du ein Minuszeichen vergessen in der Exponential-Funktion?
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Ich schaue gerade nochmal nach, aber trotzdem: verannt hab ich mich hier nicht. Das ist nur ein konkretes Beispiel, den allgemeinen Fall habe ich bereits bewiesen, das sollte mal nicht vergessen werden. Du zweifelst die Existenz einer Beispielfunktion ja nun doch nicht an. |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 21:38 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
PS: die n*x Konstruktion funktioniert wohl nur wenn die Funktion bei x=0 gepeakt ist... ansonsten sollte es wohl n*(x-a) heissen... vermutlich ist das der Knackpunkt um den es hier die ganze zeit geht... |
Na also, diese Korrektur hatte ich auch im Sinn. Dann brauch ich ja am Beispiel nicht mehr weiterrechnen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 21:39 Titel: |
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Wieso sollte ich die Existenz einer Testfunktion i.A. anzweifeln??
Ich denke es geht um die n*x-Konstruktion.. da hast Du vermutlich recht.. aber ich finde das relativ trivial... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 21:41 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
PS: die n*x Konstruktion funktioniert wohl nur wenn die Funktion bei x=0 gepeakt ist... ansonsten sollte es wohl n*(x-a) heissen... vermutlich ist das der Knackpunkt um den es hier die ganze zeit geht... |
Na also, diese Korrektur hatte ich auch im Sinn. Dann brauch ich ja am Beispiel nicht mehr weiterrechnen? |
Wenn das Dein ganzes Problem war: Nein brauchst Du nicht.. aber das hättest Du auch gleich sagen können... ich finde diese Korrektur relativ trivial, da anschaulich klar ist was die Aussage ist/sein soll...
PS: Da ich ich mittlerweile genug Physiker und zu wenig Mathematiker... |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 21:42 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Wieso sollte ich die Existenz einer Testfunktion i.A. anzweifeln??
Ich denke es geht um die n*x-Konstruktion.. da hast Du vermutlich recht.. aber ich finde das relativ trivial... |
Ich habe auch nie behauptet das die Darstellungen der delta-Fkt. die in der AUfgabe angesprochen werden generell für die Tonne sind. Ich habe nur gesagt das man durchaus eine Folge haben kann mit
und
dx=1)
Ich dachte nicht das das auf soviel Widerstand stößt, sonst hätte ich auch nicht ewig mit Testfunktionen und so weiter diskutieren müssen. Ich hatte nur das Gefühl das das hier stark angezweifelt wurde?
Edit: Nun gut jetzt sind wir uns ja einig, dann hat sich die Diskussion doch gelohnt
Edit2: Anschulich war klar was gemeint sein soll, das stimmt natürlich. Ich wollte nur darauf aufmerksam machen was schief gehen kann. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 22:00 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: | Ich habe nur gesagt das man durchaus eine Folge haben kann mit
und
Ich dachte nicht das das auf soviel Widerstand stößt, sonst hätte ich auch nicht ewig mit Testfunktionen und so weiter diskutieren müssen. Ich hatte nur das Gefühl das das hier stark angezweifelt wurde? |
Das Zweifel ich immer noch an, da verlangt war, dass g schnell genug abfällt, bzw bei Dir immer von einem kompakten Träger die Rede war... ziemlich sicher, dass das dann nicht geht... |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 15. Apr 2014 22:17 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Nobundo hat Folgendes geschrieben: | Ich habe nur gesagt das man durchaus eine Folge haben kann mit
und
Ich dachte nicht das das auf soviel Widerstand stößt, sonst hätte ich auch nicht ewig mit Testfunktionen und so weiter diskutieren müssen. Ich hatte nur das Gefühl das das hier stark angezweifelt wurde? |
Das Zweifel ich immer noch an, da verlangt war, dass g schnell genug abfällt, bzw bei Dir immer von einem kompakten Träger die Rede war... ziemlich sicher, dass das dann nicht geht... |
doch doch das geht, siehe beweisrechnung. Bin mir da sicher, du darfst es mir ruhig glauben, oder einfach den Beitrag nochmal lesen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 22:33 Titel: |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: |
Das Zweifel ich immer noch an, da verlangt war, dass g schnell genug abfällt, bzw bei Dir immer von einem kompakten Träger die Rede war... ziemlich sicher, dass das dann nicht geht... |
doch doch das geht, siehe beweisrechnung. Bin mir da sicher, du darfst es mir ruhig glauben, oder einfach den Beitrag nochmal lesen.[/quote]
Sofern die Funktionen nicht stetig sein müssen, von mir aus... ansonsten beweis es mir nochmal... |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 15. Apr 2014 22:38 Titel: |
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Ich verstehe die Argumentation nicht so wirklich.
In meinem Beitrag am Anfang habe ich gezeigt, dass für jede Funktion, für die die Substitution x = z*n gültig ist (also jede differenzierbare) natürlich Das Integral über g(nx) identisch N/n ist.
Daraus folgt dann, dass man am Ende immer lim n g(nx) erhält und nur noch lim n g(nx) gegen Null gehen muss. Für jede derartige Funktion funktioniert das. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 15. Apr 2014 22:38 Titel: |
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Ich hoffe, ihr könnt mir verzeihen, dass ich mir nicht alles durchgelesen habe. Doch ich befürchte, Nobundo hat recht, solange man nur punktweise Konvergenz fordert.
Ich würde mal dieses Beispiel vorschlagen:  := \begin{cases} n^2 x : & 0 < x \leq 1 / n \\ 2 n - n^2 x : & 1 / n < x < 2 / n \\ 0 : & \text{sonst} \end{cases})
(okay, vielleicht sollte ich das dazu schreiben: Das ist ein dreieckiger Buckel zwischen 0 und 2/n mit Spitze bei 1/n, der immer die Fläche 1 hat)
Zuletzt bearbeitet von Jayk am 15. Apr 2014 22:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Apr 2014 22:41 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | Ich hoffe, ihr könnt mir verzeihen, dass ich mir nicht alles durchgelesen habe. Doch ich befürchte, Nobundo hat recht, solange man nur punktweise Konvergenz fordert.
Ich würde mal dieses Beispiel vorschlagen: |
Guck Dir mal das Maximum an... genau darum gehts die ganze Zeit. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 15. Apr 2014 22:47 Titel: |
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Die konvergiert punktweise gegen Null: Für x=0 ist gn(x)=0 für alle n. Für  wählt man einfach  und hat für  = 0) , das ist hinreichend für  = 0 (\forall x )) . Jedoch kann eben nicht  unabhängig von x angegeben werden, also ist gleichmäßige Konvergenz nicht gegeben. |
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