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eyezen
Anmeldungsdatum: 28.03.2013
Beiträge: 5
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 eyezen Verfasst am: 28. März 2013 11:44 Titel: Raumschiff soll Planeten ansteuern |
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Hallo!
Ich bin im Rahmen eines Softwareprojekts mit einem Problem konfrontiert, dass ich so unmittelbar nicht lösen kann:
Es gilt den Autopiloten eines Raumschiffes zu programmieren, der in der Lage sein soll, einen gleichmäßig beschleunigten Körper anzusteuern und beim Zusammentreffen genau so schnell sein, wie der Körper.
Mein Lösungsansatz soweit:
Zunächst ist der anzusteuernde Körper also durch seine Position und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t bestimmt als
Pk: Initialposition
Gk: Initialgeschwindigkeit
Ak: Beschleunigung des Körpers
Das Raumschiff kann maximal mit Beschleunigung Amax beschleunigen. Zunächst lassen sich die Gleichungen für die Position und Geschwindigkeit aufstellen, also
|As| = gegeben als Amax
Setzt man nun aber einfach die Formeln für S gleich und minimiert t dann ist das Raumschiff beim Auftreffen auf seiner Höchstgeschwindigkeit und das soll nicht sein. Mein erster Gedanke war, nun einfach die Zeit in zwei Intervalle aufzuteilen: Zuerst beschleunigt das Raumschiff und gleicht danach seine Geschwindigkeit an.
Es ergibt sich dann
 + 0.5 * A_a * t_a^2 + 0.5 * A_b * t_b^2)
Aa: Beschleunigung 1 zum schnellen Annähren an den Körper
Ab: Beschleunigung 2 zum Angleichen der Geschwindigkeit
ta, tb: Erstes und zweites Zeitintervall
Gesucht sind also letztlich Aa, Ab, ta und tb.
Ist das soweit richtig, oder sieht da jemand einen konzeptionellen Fehler?
Wie minimiert man da t? Ist das lösbar? Traut sich jemand eine Lösung zu? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 29. März 2013 15:21 Titel: |
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Dein Ansatz mit der Unterteilung in 2 Zeitintervalle ist richtig. Die kürzeste Gesamtzeit ergibt sich, wenn das Raumschiff so lange wie möglich maximal beschleunigt und dann maximal verzögert. Allerdings ist deine Formel für  nicht ganz richtig. Korrekt ist:
=P_S+G_St_a+\frac {1}{2}A_at_a^2+(G_S+A_at_a)t_b+\frac {1}{2}A_bt_b^2)
Wenn beim Raumschiff maximale Beschleunigung und maximale Verzögerung betragsmäßig gleich sind, hat man  .
Jetzt musst du nur noch das Gleichungssystem
=S_S(t_a+t_b))
=V_S(t_a+t_b))
lösen. Das ist im Prinzip einfach, führt aber wegen der vielen Variablen zu recht länglichen Formeln. |
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eyezen
Anmeldungsdatum: 28.03.2013
Beiträge: 5
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| eyezen Verfasst am: 31. März 2013 16:25 Titel: |
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| Zitat: | Allerdings ist deine Formel für  nicht ganz richtig. |
Da musste ich erst mit mir ringen... aber hast Recht. Danke für die Korrektur.
| Zitat: | | Wenn beim Raumschiff maximale Beschleunigung und maximale Verzögerung betragsmäßig gleich sind, hat man |
Den Gedanken hatte ich auch schon, scheitert aber ein wenig an der Vorstellung: Ist das Raumschiff zB in der linken unteren Bildschirmecke und das andere fliegt in der Mitte von unten nach oben kommt man mit nie und nimmer auf dessen Kurs. Ich bin mir noch nicht einmal sicher, ob eine zeitlich optimale Lösung für 2 Intervalle überhaupt existiert oder ob das mehr sein müss(t)en.
Mein Gedanke war für das anschauliche Beispiel zuerst in Richtung des Pfades des anderen Köpers (also irgendwo oben rechts) zu beschleunigen und dann irgendwann in Richtung oben links, so dass die letztlich resultierende Geschwindigkeit auch direkt nach oben zeigt.
Dann wäre es aber mit gleichsetzten der Positionen und Geschwindigkeiten nicht mehr getan, weil vorraussichtlich unendlich viele Lösungen existieren. Man müsste irgendwie zur Zeit hin ableiten und einen Tiefpunkt bestimmen. Und da muss ich gestehen, den überblick zu verlieren...
Nützt es etwas  zu setzen, nach t hin umzuformen, indem man  setzt und das dann abzuleiten oder müsste man die partiellen Ableitungen für ta und tb bilden und dann irgendwie verknüpfen? Wenn ja, wie? Oder muss man das ganz anders lösen?
Zuletzt bearbeitet von eyezen am 31. März 2013 19:34, insgesamt einmal bearbeitet |
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eyezen
Anmeldungsdatum: 28.03.2013
Beiträge: 5
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| eyezen Verfasst am: 31. März 2013 18:13 Titel: |
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Konkreter im Zusammenhang mit oben:
Ich hab mal das ganze für einfach gleichförmig beschleunigte Bewegungen angefangen durchzurechnen ohne auf die Geschwindigkeiten beim Schnittpunkt zu achten:
Man hat jeweils
=P+V*t+t^2*A) (die 0.5 * einfach in A eingerechnet)
Nach Gleichsetzung und umformen dann
mit , dV=(V_B-V_S), dA=(A_B-A_S))
Wenn man die Gleichung dann ganz normal mit p,q Formel oder quadratischer Ergänzung nach t mit dA als Variable umformt ergibt sich
 = - \frac{dv}{2 \cdot da} \pm \sqrt{ -\frac{dp}{da} + \frac{dv^2}{4 \cdot da^2} })
Ein erstes Kopfzerbrechen: Geht das? Man teilt entweder durch Vektoren oder - wenn man das als Gleichungssystem schreibt - gibt es keine Lösungen wenn zB  was ggf. anschaulicher Unsinn ist.
Das Bedenken ignoriert und abgeleitet ergibt sich dann eine etwas unschöne Gleichung, die sich aber sicherlich - mit 0 gleichgesetzt - nach dA umformen ließe:
 = f(da) \pm g(h(da)))
 = f'(da) \pm h'(da) * g'(h(da)) )
 = \frac{dv}{2 \cdot da^2} \pm \left( \frac{dp}{da^2} - \frac{2 \cdot dv^2}{ 4 \cdot da^3} \right)
<br />
\cdot \frac{1}{2 \cdot \left( \sqrt{ -\frac{dp}{da} + \frac{dv^2}{4 \cdot da^2} } \right) })
Das nach dA umzuformen sieht ziemlich kompliziert aus.
Und so konzeptionell: Man erhielte bestenfalls Lösugen für  komponentenweise abhängig von  - wo brächte man da den Zusammenhang zu  unter? Ist das konzeptionell falsch gedacht?
Ich muss gestehen, dass da bei mir die Schmerzgrenze erreicht ist... So als erste Abschätzung: Wie viel komplizierter würde das werden, wenn man die Endgeschwindigkeiten gleich haben will, also mit Intervallen? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 01. Apr 2013 09:33 Titel: |
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Deine Gleichungen ließen vermuten, dass du ein eindimensionales Problem betrachtest, denn sie lassen sich nicht einfach zwei- oder dreidimensional interpretieren. Meine obige Antwort bezog sich auf das eindimensionale Problem.
Jetzt also mal zweidimensional betrachtet: Ohne Anpassung der Geschwindigkeit geht das noch recht einfach. Zur Vereinfachung betrachte ich ein Koordinatensystem, in dem das Raumschiff sich bei t = 0 im Ursprung befindet und das mit der Anfangsgeschwindigkeit des Raumschiffs mitbewegt wird. In diesem Koordinatensystem ist die Anfangsgeschwindigkeit des Raumschiffs 0. Außerdem verwende ich ich für Ort, Strecke, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung die üblichen Symbole r, s, t, v, a. Die Transformationsgleichungen in das mitbewegte Koordinatensystem (^-System) sind:
Die folgende Gleichungen beziehen sich auf das ^-System. Aus Schreibfaulheit habe ich aber das ^-Symbol weggelassen. Der Planet hat zur Zeit t die Position
=\vec r_{P,0}+ t\vec v_P)
Seine Entfernung zum Ursprung ist
=|\vec r_P(t)|=\sqrt {(\vec r_{P,0}+ t\vec v_P)^2})
Wenn das Raumschiff mit maximaler Beschleunigung  beschleunigt, hat es zur Zeit t die Entfernung
=\frac{1}{2}at^2)
zum Ursprung. Durch Gleichsetzen
 \quad s_S(t) = s_P(t))
bekommt man die kürzeste Zeit t, in der das Raumschiff den Planeten erreichen kann. (*) ist eine quartische Gleichung, die man formelmäßig oder numerisch lösen kann. Die reelle Lösung der Gleichung mit positivem t ist die gesuchte Lösung. Hat man t gefunden, steht der Ort des Treffens fest. Damit steht dann auch fest, in welche Richtung das Raumschiff beschleunigen muss, d. h. die Komponenten  und  von  lassen sich bestimmen.
Wenn auch die Geschwindigkeit angepasst werden soll, wird es komplizierter, da die Bahnkurve des Raumschiffs jetzt gekrümmt sein wird. Ich habe zwar eine berechenbare Strategie entwickelt, bin mir aber nicht sicher, ob sie wirklich die minimale Zeit liefert oder ob es noch bessere Strategien gibt. |
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eyezen
Anmeldungsdatum: 28.03.2013
Beiträge: 5
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| eyezen Verfasst am: 01. Apr 2013 14:43 Titel: |
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Hmm, das sehe ich jetzt nicht so ganz. Wo bleibt denn da die Beschleunigung?
 =s_P(t)) sind im n-dimensionalen Fall n Gleichungen, man hat aber mit  und  n+1 Unbekannte. Wenn oder gegeben wären, könnte man das so losen.
Mit den Unbekannten landet man, glaub ich, immer beim Ableiten und damit bei obigen Fragestellungen: Man erhält immer nur in Abhängigkeit von :) .
Von der Sache her: Es müssen doch auf jeden Fall mehr als eine Lösung existieren, solange man nicht nach t hin minimiert.
Edit: Genau gelesen gibt es doch nur zwei Lösungen, wenn man  einrechnet. Dann lässt sich das doch durch Gleichsetzen lösen.
Danke für den Hinweis.
Trotzdem hätte ich gerne noch Antworten zu den Fragen im obigen Beitrag, da ich kein Physiker bin und auch in Mathe nur das nötigste gemacht habe in meinem Studium weiss ich nicht, wie man für den Fall mit den Intervallen weiterrechnen würde - das mit den Ableitungen nach t, ta oder tb hin.
Zuletzt bearbeitet von eyezen am 01. Apr 2013 15:01, insgesamt einmal bearbeitet |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 01. Apr 2013 14:59 Titel: |
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Offenbar verstehst du das alles völlig falsch.
=s_P(t))
ist auch im n-dimensionalen eine einzige Gleichung. s sind doch hier die Abstände zum Ursprung. Das sind Skalare (Zahlen) und keine Vektoren. Und a hatte ich doch gerade als Betrag der Beschleunigung definiert. Das ist also auch ein Skalar (Zahl). Da a gegeben ist, ist die einzige Unbekannte in dieser Gleichung t. Überall, wo Vektoren auftreten, habe ich sie durch einen Pfeil über der Variablen kenntlich gemacht. |
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eyezen
Anmeldungsdatum: 28.03.2013
Beiträge: 5
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| eyezen Verfasst am: 01. Apr 2013 15:14 Titel: |
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Das hab ich tatsächlich Falsch gelesen. Du führst also den n-dimensionalen Fall auf den eindimensionalen zurück. Auf den Trick bin ich nicht gekommen.
Ich werde mal etwas drüber nachsinnen, ob mir das weiterhilft bei der Ursprünglichen Fragestellung.
Danke. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 01. Apr 2013 15:33 Titel: |
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Ja, aber nur wenn die Geschwindigkeiten nicht angeglichen werden sollen.
Wenn die Geschwindigkeiten angeglichen werden sollen, läuft meine Idee auf eine Kombination zweier eindimensionaler Fälle hinaus, die dann eine Aufteilung der Beschleunigung in 2 Richtungen ergibt. Die Rechnung ist dann schon deutlich anders als ohne Geschwindigkeitsanpassung. Wie schon gesagt, bin ich mir aber nicht sicher, ob diese Idee wirklich die minimale Zeit liefert oder ob es noch bessere Manöver gibt. |
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