Federn mit großen Verformungen

Winterheart · Anmeldungsdatum: 11.03.2005 Beiträge: 74 Wohnort: bei München

Hallo Leute!

Ich habe da ein Problem, dem ich nicht Herr werde.

Folgendes:

Betrachtet werden 2 Federn, welche in Reihe horizontal zusammenhängen. Diese Federn selbst sind Masselos.
In dem Punkt, in dem sie zusammen hängen, nennen wir ihn "P" greift eine Kraft vertikal an. Nennen wir sie "F".
Desweiteren sei die Federkonstante der beiden Federn, sowie ihre Länge Unterschiedlich.

Nun ist es ja so, daß nach der linearen statik die Federkräfte unendlich sein müssen, weil sich kein Krafteck bilden läßt. In der Realität ist es aber doch so, das sich die Federn im Punkt P durchsenken, und sich so ein Kräftegleichgewicht bildet. Der Punkt P senkt sich soweit durch, bis die kräfte in den Federn sich mit der Kraft F im Gleichgewicht halten. Wenn die Federn zudem unterschiedliche Länge haben, verschiebt sich P auch noch horizontal. Kurzum, nicht nur die kräfte allein, sondern Kräfte und Verformungen bilden das Gleichgewicht.

Was ich versuche auszurechnen ist:
Vertikale Verschiebung des Punktes P
Horizontale Verschiebung des Punktes P

Wenn das gelungen ist, lassen sich die Federkräfte bestimen.

Vorweg:
Ich habe dieses Problem bereits gelöst, jedoch iteratiev, was sehr mühsam war.
Jetzt wollte ich die ganze Sache mal nicht mit Kräften und Verformungen, sondern mit hilfe des Energieerhaltungssatzes angehen. Ich hoffe, so eine geschlossene Lösung dieses Problems zu bekommen. Leider habe ich es bis jetzt nicht geschafft.
Hat jemand von euch eine Idee? Einen Ansatz? Eine DGL? Ein Irgendwas??

Vielen Dank für eure Antworten

Edit: Habe in der Aufgabenstellung etwas ändern müssen. Die Federkonstanten sind nicht gleich

Winterheart · Anmeldungsdatum: 11.03.2005 Beiträge: 74 Wohnort: bei München

Habe zum besseren Verständniss mal eine Skizze mit Paint gezeichnet.

Winterheart · Anmeldungsdatum: 11.03.2005 Beiträge: 74 Wohnort: bei München

Hallo!
Schade, daß niemand geantwortet hat.
Ich habe das Problem jetzt selber ausgeknobelt.
gestern Nacht is es mir vorm einschlafen eingefallen.

Wenn es wen interresiert:

Man betrachtet Das System im ausgelenkten Zustand, ohne die Kraft.
Die Energie ist somit
Eges = Espann = 0,5*D1*S1² + 0,5*D2*S2²
S = verlängerung der Feder

Jetzt bringt man gedanklich die Kraft auf das System. Den Energiehorizont legt man durch die beiden seitlichen Lagerungspunkte.
Die Kraft befindet sich im ausgelenkten Zustand unter dem Horizont. Deshalb hat sie ein negatives Vorzeichen!!!
Die Energie ist:
Eges = Espann + Epot = 0,5*D1*S1² + 0,5*D2*S2² - F*X
Die Verschiebung Y geht nicht in die Gleichung ein, da sie energetisch keinen Beitrag leistet.
Die Verlängerung der Feder läßt sich mit Phytagoras durch X und L ausdrücken
S1 = sqrt(X² + L1²) - L1
S2 = sqrt(X² + L2²) - L2
Das wird in die Energiegleichung für S1 und S2 eingesetzt.
Jetzt haben wir eine Gleichung mit 2 Unbekannten, X und Eges.
Aber da jedes System nach der niedrigsten Energie strebt, muß ein X gefunden werden, für das Eges minimal ist.
Dazu muß man die Gleichung für Eges nach X ableiten und =0 setzen.
Die 0 gesetzte Ableitung ist nichts anderes als ein Kräftegleichgewicht. P(aktio)=Federkraft(reaktio)
da die Lösung sehr schwierig ist, habe ich ein Kurvendiskusionsprogramm bemüht.
Durch Einsetzten von X in S1 und S2 bekommt man nun die Verlängerungen und aus diesen lassen sich die Federkräfte und die Verschiebung Y mit Winkelfunktionen berechnen.

Gruß
Winterheart

Gast

Winterheart · Anmeldungsdatum: 11.03.2005 Beiträge: 74 Wohnort: bei München

Hi!
Sorry! Hatte einen Tipfehler! P ist ja nur der Punkt, völliger Quatsch!
Es ist natürlich die Kraft F.
F*X ist Epot.
Wenn du meinst, es ist was falsch, dann sags mir bitte, aber ich denke es stimmt. Habe 3 Beispiele gerechnet und bin exakt auf den Wert gekommen, wie mein Computerprogramm.

Ich wollte das Problem nur mal analytisch gelöst haben :-) Rechner sind ja ganz fein, aber ich wills auch so verstehen!

Gast

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

kurze erläuterung zur Skizze...

,

... Längen der Federn im Ausgangszustand *

,

... Längen der Federn, wenn Masse dranne hängt
m1 ... Position der masse vorm auslenken; masse an sich*
m2 ... Position danach; masse an sich*

... Höhenunterschied

... Auslenkung

... Kraft auf Feder 1

... Kraft auf Feder 2

... Projektion von F1 auf die Horizontale

... Projektion von F2 auf die Horizontale

... Federkonstante von F1 *

... Federkonstante von F2 *

Hinter die Meiner Meinung nach bekannten aus dem Versuchsaufbau mach ich mal nen *;

Als erstes zu den Längen;
Laut Pythagoras ergibt sich für die neuen Längen

s sei immer nach rechts gerichtet positiv (also, wenns nach links geht isses als negativ einzusetzen);

für die Auslenkung s gilt, sie wird nicht verändert, wenn die Projektionen von F1 und F2 auf die horizontale identisch sind;

als letztes noch der energieansatz, den du ja mit drinne haben wolltest:

die Unbekannten sind nun noch

,

, wobei sich die ersten beiden durch die letzten beiden asudrücken lassen,wie ganz oben beschrieben;

so bleiben 2 gleichungen mit 2 unbekannten...
sollt ezu lösen sein, aber nicht für mich (hattes noch nie so mit mathematik... und mein rechner gibt da nicht viel kleinere terme aus und außerdem bin ich grade nich in stimmung, sone fetten gleichungen reinzuhacken ^^)...

also,,, vielleicht fällt jemandem dazu dann ne weitere lösung ein O.o

eventuell sind auch nicht d1 und d2 sondern h und s gegeben... aber man köme trotzdem auf 2 gleichungen mit 2 variablen, die man dann lösen kann...

so far,
DaRkI

Winterheart · Anmeldungsdatum: 11.03.2005 Beiträge: 74 Wohnort: bei München

Hallo!
@ Gast
Genau an diesem Punkt bin ich so lange gescheitert.
Beispiel:
Eine Vertikal hängende Schraubenfeder mit einer Kraft F am Ende.
Ansatz wie vorher:
Epot = Espann
F*x = 0,5 * D * x² | :x
F = 0,5 * D * x
Das ist falsch!!! Weil F nicht über x konstat ist. (Stischwort unendlich langsame Belastung)
Wenn man aber bedenkt, das die Kraft die Ableitung der Energie ist..
Nochmal:
F*x = 0,5 * D * x² | /dx
F = D * x
Jetzt stimmts! Man muß das ganze infinit betrachten!
Was anderes habe ich oben nicht gemacht. Ich habe meinen Enerieansatz nach x abgeleitet und =0 gesetzt um x zubekommen

Immerhin stimmt mein Ergebnis bei 3 Beispielen mit den Computerlösungen eines etablierten Statik-Programmes überein!

@ darki
danke! werde das morgen mal auswerten!

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

?ich weiß grade nich was du meinst *G*

aber meines wissens nach is das k*x² allgemeingültig als gespeicherte energie in einer feder; wie man dahin gekommen ist... ob mit konstanter kraft oder wie auch immer, ist total egal...
deswegen denke ich, müsste man mit dem energieansatz und dem bisserl aufgeschriebenen da obbe irgendwie zurecht kommen O.o

ach ja, sehe grade oben 1/2 als faktor vergessen zu haben... *edit*

hmm.. dann ahb ich ja eben nur das gleiche aufgeschrieben wie du-.... *zonk*

naja, sind wir uns ja wenigstens einig ^^

Winterheart · Anmeldungsdatum: 11.03.2005 Beiträge: 74 Wohnort: bei München

Ohhh! Jetzt haben wir wohl kreuz und quer aneinander vorbei geredet!
Ich meinte mit meinem post den "Gast".
Gute Nacht!

Gast

nein, ich denke nicht dass das hinkommt.

Was hinkommt ist, dass in den beiden Spannenergieen das Integral
F(x) dx über h drinsteckt. Wie man daraus allerdings h berechnen will erschließt sich mir derweil nicht. Vielleicht steh ich auch nur auf dem Schlauch

Gast

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

m is die masse die man da drannehängt..
zugehörig zu der (gewichts-)kraft, die zwischen den federn wirkt...

letztendlich muss es aber so sein, dass die potentielle energie der masse, die sie ja abgibt, letztendlich in der federsdpannenergie der federn stecken..
das verhältnis der kräfte in feder 1 und feder2 lässt sich mit der 2. formel bestimmen...

ich habe nirgendwo stehen, dass ich sage, dass die kraft über die wegstrecke konstant is, nur dass die energie, die die masse verloren hat (und das is bei epot immer m*g*h) irgendwo hin muss.. und außer den federn gibbet in dem beispiel keinen anderen energiespeicher...

Gast

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

k, andere frage...

potentielle energie ist iummer m*g*h ...
wo ist dann die energie hin, die bei der bewegung nach unten frei wird, wenn sie NICHT in den federn is???

Gast

na, denk mal drüber nach, vielleicht findest es ja selbst raus. Ich kenn den Fehler.

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

kinetische energie soll 0 sein.. befindet sihc ja nachm auslenken in ruhe O.o
potentielle enrgie der masse hat abgenommen -> energie wird frei;
thermische energie der umgebung/der feder/des systems... ist im idealfall (also.. wenn wir masselose federn betrachten, betrachten wir auch reibungsfreiheit und

)

wird das gesamtvolumen der feder vergrößert, sodass sie volumenarbeit verrichtet? ich glaube eher nich O.o

bleibt noch entropieänderung, innere energie und federspannenergie, wobei ich die ersten beiden als 0 annehmen kann, glaube ich o.O

kannst du bitte meine hilflosigkeit beenden und mir sagen, in welche energieform der rest der pot. energie deiner meinung nach umgeformt wird?

Gast

Nein, lass dir noch bisserl Zeit zum Grübeln . Augenzwinkern

Musst doch zugeben dass meine Beweisführung erdrückend ist, also muss einfach ein Fehler in deiner Darstellung sein. Es sollte sich demnach lohnen danach zu suchen, oder ?

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

ich muss grad erstmal überlegen, was denn jetz eigentlich F(x) ist O.o
laso,, die gewichtskraft is ja in jedem punkt gleich...
kanne s die schonmal nicht sein...

dann ist sie wahrscheinlich die gegenkraft zur gewichtskraft, also die summe der projektionen der federspannkräfte auf die vertikale...
is also zu beginn etwa unendlich und am ende dann so groß wie Fg, damit's sich in der waage hält;

dann hab ich jetzt in diesem moment aber widder nen problem... O.o
also.. nen vorstellungproblem, weil nämlich:
stelle ihc mir jetzt dieses oben erwähnte F(x) so vor, dann habe ich dafür ne hyperbel, die ausm unendlichen kommt und irgendwo Fg schneidet...
die arbeit die von F(x) ausgeht, is dann aber in jedem falle größer als die arbeit von Fg, qweil das ja nur ein teil der fläche is O.o

also äähm, je mehr ich darüber nachdenke, desto verwirretr bin ich hier und desto unklarer wird mir diese sache....

och nöööö :-((((

Gast

Etwas zur Entwirrung beitrage.

Per Problemformulierung waren die Federn massenlos. Die Kraft F(x) wirkt vertikal auf der Ausgangslage der Federn stehend. F(x) entspricht jeweils der vertikalen Rückstellkraft die die Federn bei einer Vertikalauslenkung um x zusammen aufbingen. F(0) ist damit Null. Gesucht ist die Auslenkung h bei einer vertikal anliegenden Kraft F, so habe ich das verstanden.

übrigens hast mindestens noch nen weiteren Fehler drin, den ich unüberlegter Weise, per Drag and Copy, einfach so mitgeschleppt habe.

Espann = 1/2*k1*(d'1^2-d1^2)+1/2*k2*(d'2^2-d2^2) <> 1/2*k1*(d'1-d1)^2+1/2*k2*(d'2-d2)^2

Meine Aussage war einfach, Espann(h) = Integral(...) < m*g*h.
(Korrigieren kann ich nicht, also bitte entsprechend undeuten)

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

k, wenns außer mir keinen interessiert, werde ich wohldas problem auflösen müssen ^^
ich glaube nämlich, ich habs grade geblickt

also, zur einfacheren vorstellung nehmen wir mal eine einfache, vertikal hängende feder...

hängt man ein massestück dran (Fg), dann beginnt sie, zu schwingen... wenn sie fertig geschwungen hat, bleibt sie an ner bestimmten stelle stehen...
die auslenkung is dann soweit, dass m*g = k*s
integriert man m*g über s, erhält man m*g*s, für die energie der feder 1/2*k*s² ´= 1/2*m*g*s ... (das ergibt sich, wenn man die formel davor einsetzt)
frage, wohin... antwort: in die bewegung/ letztendlich in reibung und wärme;
wenn man den körper unendlich langsam bewegt, tritt dieser bewegungseffekt mit luftreibung etc nicht ein aber es muss ja eine kraft wirken, die die gewichtskraft hemmt, sodass die geschwindigkeit -> 0 geht...
diese zusätzliche kraft wird zB durch die hand des experiomentators aufgebracht, bzw. an dieser wird die restliche hubarbeit (oder senkarbeit ^^.. der rest der pot energie halt ^^) verrichtet...

überträgt man das jetzt auf das andere system, so wird da also auch nicht alle lageenergie in federspannenergie umgewandelt ...

jetzt wäre noch zu klären, ob es bei beliebigen federn auch der faktor 1/2 is, also ob die kraft linear nach unten zu nimmt O.o (ich glaube ich hole mir nachher mal 2-3 große leere blätter, weil.. das mit dem rumintegrieren etc könnte ein wenig länger dauern...)

ich informiere dann später, ob das ganze mit 1/2 bei beliebigen hinhaut oder wie der faktor sonst ist...

so far,
DaRkI

PS: bin ich jetzt auf dem richitgen weg, gast?

Gast

richtige Richtung . Augenzwinkern

ich sag dazu mal, zu jeder vertikalen Auslenkung x gilt richtigerweise

Espannzunahme(x) + EKIN(x)!! = Epot(x)

das unter der Annahme dass zwischen den Federn eine Masse m = F/g ist, die irgendwann losgelassen wird.

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

wenn sie losgelassen wird..
mir fehlte die begründung, was passiert, wenn sie sich unendlich langsam nach unten bewegt (Ekin=0).. aber da kann sie ja nicht losgelassen werden.. also.. die kinetishe energie geht in das system, was die kugel zur "unendlich langsamen bewegung" zwingt...

Gast

Du hast (ohne Masse m) folgende Möglichkeit um den gewünschten Zustand zu erreichen. Du setzt eine von Null zu F kontinuierlich ansteigende Kraft an. Das Integral über die Kraftfunktion und der Auslenkung ist dann die geleistete Arbeit, die sich voll und ganz in Espannzunahme wiederfindet. Epot und Ekin gibts dabei nicht weil das System ja masselos ist.

Die AlternativVariante mit der Masse hast du dir ja ausgedacht, nun musst sehen warum das SCHEINBAR nicht zu dem anderen passen will. Ich sage es passt schon, nur musst halt den Knoten finden und durchschlagen.
Du bist auf dem richtigen Weg ... langsam absenken mit der Masse geht nicht, weil du dazu eine Gegenleistung einbringen musst die in deiner Energieformel nicht drin war, da bleibt nur Loslassen ...

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

und bei loslassen gibts im idealfall ne harmonische, ungedämpfte schwingung ...
hört diese schwingung in der unendlichkeit irgendwann auf, sind wir bei 1/2*m*g*h als energie, die in der feder is O.o der rest ist "in der umgebung"

Gast

Ja, ich denke idealisiert sollte das hinkommen. Deswegen auch der Titel, Federn mit großen Verformungen ?

Nun bleibt aber noch offen, wieso das sich wiederum mit von Winterhearts gepüfter Formel 0 = Eges = Espann + Epot = 0,5*D1*S1² + 0,5*D2*S2² - F*X nicht decken kann und will, mal davon abgesehen dass er mit S1^2 und S2^2 den gleichen Fehler drin hat wie du.

Aber ehrlich, bei all dem Mehrfachen Halb und Doppel und Schreibfehler bin ich mir echt nicht sicher was nun wirklich wo gemeint ist . Augenzwinkern

darki · Anmeldungsdatum: 03.10.2005 Beiträge: 236 Wohnort: Gehren

Gast

Montag Abend oder auch erst Dienstag muss ich selbst nochmal drüber nachdenken. Da ist nämlich was aufgetaucht, das sich derweil für mich, nicht zusammenreimen will . Augenzwinkern

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Wenn ich das hier richtig verstanden habe, suchst du den Gleichgewichtspunkt, des Systems. Mithilfe der Energie kann man das wie folgt lösen, erstmal stellst du dir vor, das statt der Kraft eine Masse m angehängt wird, die die Gleiche Kraft macht.
Dann stellst du Die Potenzielle Energie auf:

drückst du dann durch die Position des Punktes P's aus :

wobei

die horizontalen Federlängen am Anfang sind.
Beim Gleichgewicht muß

minimal sein. Also muß

in X und Y minimiert werden, das Ergebnis sollte die Gleichgewichtsposition sein.