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Thermodynamische Spannung eines Gummibandes
 
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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 21. Nov 2012 13:59    Titel: Thermodynamische Spannung eines Gummibandes Antworten mit Zitat

Hallo!

Meine Frage:

Im Gleichgewicht sei die Spannung eines Gummibandes gegen durch



: Spannung

: Absolute Temperatur

: Länge des Gummibandes mit bei , also

: Konstante

Desweiteren gilt für die Wärmekapazität:

Zu berechnen ist .

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Ein Hinweis ist: Vergleichen Sie die Differentiale und von und
. Der Spannungsanteil an der inneren Energie ist .

Der Hinweis verwirrt mich etwas, denn, um die Differentiale vergleichen zu
können, muss ich ja erst ein Mal und vorliegen haben.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Mein Ansatz:

Die partiellen Ableitungen zu bilden, wird kein Problem sein. Also muss ich zu-
nächst und (woraus dann folgt) bestimmen.

Ich kenne als Funktion von , also , formell:





Mit dem Hinweis des Spannungsanteiles kommt nun ein weiterer Term hinzu:





Ich nehme nun einfach mal an, dass hier keine Rolle spielen; so folgt:





Ich habe nun also als Funktion von , also , brauche es
aber als Funktion von , also . Muss ich hier also eine Le-
gendre-Transformation machen?

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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 22. Nov 2012 08:51    Titel: Antworten mit Zitat

Sind meine Überlegungen denn so abwegig? Bitte um Hinweise grübelnd Hilfe
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pressure



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Beitrag pressure Verfasst am: 22. Nov 2012 09:16    Titel: Antworten mit Zitat

Das totale Differential passt. Aber nein, es gibt keine Legendre-Transformation von zu ... vielleicht solltest du dir nochmal anschauen, was eine Legendre-Transformation ist.

Wenn du willst, dann nehme doch einfach an, dass diese Funktion existiert und ein totales Differential hat:



Jetzt bist du dran und solltest dir überlegen, was die partiellen Ableitungen sind und wie du sie berechnen kannst. Wenn du sie kennst, kannst du nämlich das totale Differential integrieren und hast .
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 22. Nov 2012 20:22    Titel: Antworten mit Zitat

pressure hat Folgendes geschrieben:
vielleicht solltest du dir nochmal anschauen, was eine Legendre-Transformation ist.


Ich hatte in dem Thread http://www.physikerboard.de/topic,30563,-legendre-transformation.html
noch eine weitere Teil-Aufgabe, die ich aber dort nicht gestellt hatte. Man sollte aus
die freie Energie und andere herleiten. Da sich da die Variablen ändern, und es
unter dem Stichwort Legendre-Transformation lief, dachte ich, diese wäre allgemein gut dafür,

pressure hat Folgendes geschrieben:
Wenn du willst, dann nehme doch einfach an, dass diese Funktion existiert und ein totales Differential hat:



Jetzt bist du dran und solltest dir überlegen, was die partiellen Ableitungen sind und wie du sie berechnen kannst. Wenn du sie kennst, kannst du nämlich das totale Differential integrieren und hast .


Wenn ich mir anschaue, dann müsste sich aus dem Koeff.verlgeich ergeben:



Über die allgemeine Maxwell-Relation - so glaube/hoffe ich - lässt sich die erste Partielle 'umformen':



Hilft mir das weiter? Erkenne ich im Moment nicht ... muss ja auf kommen.

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pressure



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Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 22. Nov 2012 21:02    Titel: Antworten mit Zitat

Bisher hast du nur Trivialität geschrieben. Ich hab dir einen Ansatzpunkt gegeben. Wenn du nicht bereit bist dich selber hinzusetzen und dir (auch mal länger) Gedanken zumachen, kann ich dir nicht weiterhelfen. Du hast die Aufgabe bestimmt nicht gestellt bekommen um dir die Lösung von jmd. anders geben zu lassen, da kannst du besser warten, bis die Aufgaben besprochen werden.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 22. Nov 2012 21:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab' zwar keinen Schimmer, was nun Dein Problem ist, aber, bevor
ich mir sowas anhören bzw. lesen muss, lass' Deine Ansatzpunkte lieber
stecken. Das Einzige, was mir bei Deiner vorangegangenen Antwort ge-
holfen hat, ist, dass ich das Differential anschein-
end richtig angesetzt habe. Für mich sind die Sachen hier nicht wirklich
trivial, ich höre diese Vorlesung zum ersten Mal. Und zudem lasse ich
mir garantiert nicht vorwerfen, einfach eine Lösung vorgesetzt bekom-
men zu wollen, denn ansonsten könnte ich mir einfach die eines Kom-
militonen besorgen und abschreiben. Schönen Abend noch. Hammer

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 23. Nov 2012 15:48    Titel: Antworten mit Zitat

Also, ich habe , mit der Annahme, dass hier irrelevant sind.
Offensichtlich ist, unter der Annahme der Korrektheit des Differentials, eine Funktion
von . Somit ergeben sich folgende Entsprechungen über Koeffizientenvergleich:



Gesucht ist aber nicht , sondern . Aus der allgemeinen Form für



kann ich im Differential oben, , durch den ersten Term ersetzen:



Im letzten Schritt habe ich durch ersetzt, da so definiert ist. Bei
Betrachtung des umgeschriebenen Differentials habe ich nun also offensichtlich als
Funktion von , also mein gesuchtes , wenn ich integriere:


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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Nov 2012 10:47    Titel: Antworten mit Zitat

? grübelnd Hilfe ?
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Beitrag spinator Verfasst am: 25. Nov 2012 11:59    Titel: Antworten mit Zitat

Berechne zuerst



unter Verwendung der Maxwell-Relation der freien Energie
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Nov 2012 12:32    Titel: Antworten mit Zitat

Zunächst ein Mal vielen Dank für Deine Antwort. Diese impliziert wohl, dass
das, was ich zuletzt geschrieben habe, auch wieder falsch ist??? Ich vermute
mittlerweile, dass ich einfach zu dumm für diese Aufgabe bin. Desweiteren:

Ich habe , woraus folgt, dass ist. Für
habe ich ja schöne Formel oben gegeben. Ich weiß nicht, was ich da noch
berechnen soll. Die partielle Ableitung ist ja identisch . Ich habe ja auch
keinen expliziten Ausdruck für , so dass ich das einfach nach x ableiten
könnte. So langsam geht meine Motivation für diese Aufgabe gegen Null.

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Beitrag spinator Verfasst am: 25. Nov 2012 12:52    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:

Ich habe , woraus folgt, dass ist.


Das stimmt nicht. Es ist



also

.

Du kannst aber oben dS formal durch dT und dx ausdrücken.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Nov 2012 17:39    Titel: Antworten mit Zitat

Wie konnte ich das übersehen, so ein Mist! Also ... in der Tat ist





und somit und . Langsam verliere
ich wirklich den Überblick. Du sagst, ich könne dS oben in dE durch
dT und dx ersetzen. Leider wüsste ich im Moment nicht, wie grübelnd Nur
so kann ich den Übergang vollziehen. Die
MW-Relation der freien Energie E ist für mich im Moment kein Begriff.

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spinator
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Beitrag spinator Verfasst am: 25. Nov 2012 19:24    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Du sagst, ich könne dS oben in dE durch
dT und dx ersetzen. Leider wüsste ich im Moment nicht, wie ?

Du kannst doch jede Zustandsgröße durch T und x ausdrücken, also
ihr Differential durch dT und dx. Erstmal rein formal, ohne die Ableitungen weiter auszurechnen.
Zitat:
Die MW-Relation der freien Energie E ist für mich im Moment kein Begriff.

Na, komm! Die freie Energie ist nicht E sondern F(T,x) = E - TS.
Die Maxwell-Relationen, und wie man sie ableitet, habt Ihr doch sicher gehabt.

Alternative: Ihr habt doch sicher auch in der Volesung gezeigt, daß die Energie eines idealen Gases nur von der Temperatur abhängt. Sieh Dir noch mal an, wie Ihr das gemacht habt.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Nov 2012 20:12    Titel: Antworten mit Zitat

spinator hat Folgendes geschrieben:
Du kannst doch jede Zustandsgröße durch T und x ausdrücken, also ihr Differential durch dT und dx.


Ist das nicht das, was ich schon zuvor mal gemacht habe? Also:





Das müsste ich nun noch ausmultiplizieren und zusammenfassen.

spinator hat Folgendes geschrieben:
Die freie Energie ist nicht E sondern F(T,x) = E - TS. Die Maxwell-Relationen, und wie man sie ableitet, habt Ihr doch sicher gehabt.


Ja, habe innere mit freie verwechselt. , richtig.
Und da , ist . Die T-Ab-
hängigkeit kommt davon, dass t von T abhängt. MW-Relationen
sind mir aber zusammen mit der freie Energie kein Begriff; kenne:

http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Beziehung#Thermodynamik

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spinator
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Beitrag spinator Verfasst am: 25. Nov 2012 20:45    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:


Die partiellen Ableitunge von E in diesem Ausdruck kennst Du ja. Damit hast du Ausdrücke für
und gefunden.

Zitat:

MW-Relationen sind mir aber zusammen mit der freie Energie kein Begriff; kenne:
de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Beziehung#Thermodynamik

Und welche dieser Beziehungen läßt sich jetzt anwenden??
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Nov 2012 21:30    Titel: Antworten mit Zitat



Vielem Dank! Nun bekomme ich wieder Appetitt ; ) Damit habe ich nun:





Bei der Verwendung der MW-Relationen in diesem Fall habe ich aber
immer noch Kopfschmerzen: alle hängen doch immer von vier Zustands-
größen ab. Selbst wenn ich eine davon durch ersetze,
habe ich noch eine, die ich hier gar nicht brauche. Meinst die Allgemeine?

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 26. Nov 2012 00:24    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich habe mich nun echt lange damit beschäftigt, und auch etwas
zur MX-Well-Relation der freien Energie im englischen Wiki gefunden
http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell_relations#Derivation , aber ich
komme damit einfach nicht weiter. Stimmt das von oben wenigstens?
Also im englischen Wiki habe ich zu der Problematik das gefunden:



Ich weiß aber bei Gott nicht, wie mir das hier helfen kann. Ich habe
nun also Ausdrücke für und .
Nun fehlen mir nur noch und .

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 26. Nov 2012 12:31    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe nun einfach das Differential



mit dem allgemeinen Differential



verglichen, und kam zu der Erkenntnis, dass:

und damit

Sicherlich nicht das Gewünschte, aber was soll's.

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spinator
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Beitrag spinator Verfasst am: 26. Nov 2012 19:13    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Stimmt das von oben wenigstens?
Ja.
Zitat:

Das ist nur eine Seite der Maxwell-Relation. Die Maxwell-Relationen sind doch nur Anwendungen des Satzes von Schwartz. Du hast schon

.

Jetzt mußt Du noch



bestimmen.



kannst Du ebenfalls über den Satz von Schwartz berechnen.


Zitat:

Bei der Verwendung der MW-Relationen in diesem Fall habe ich aber
immer noch Kopfschmerzen: alle hängen doch immer von vier Zustands-
größen ab.


Meistens hat man als Arbeitsdifferential -pdV. In Deinem Fall ist es aber tdx. Du hast also die Entsprechungen t <-> -p und x <-> V.

Zitat:
und damit


Ich weiß zwar nicht, wie Du darauf gekommen bist, aber es ist falsch;
x ist nämlich keine extensive Variable. Und selbst wenn es richtig wäre, würde es Dir nichts nützen, solange Du S(T,x) nicht berechnet hast.
spinator
Gast





Beitrag spinator Verfasst am: 26. Nov 2012 19:46    Titel: Antworten mit Zitat

spinator hat Folgendes geschrieben:
Ich weiß zwar nicht, wie Du darauf gekommen bist, aber es ist falsch;
x ist nämlich keine extensive Variable.


Wenn ich es recht überlege ist x doch eine extensive Größe. Aber ich meine, daß die Gleichung E = ST + tx trotzdem nicht stimmt, obwohl mir im Moment nicht klar ist, woran das liegt.
spinator
Gast





Beitrag spinator Verfasst am: 26. Nov 2012 20:52    Titel: Antworten mit Zitat

spinator hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich es recht überlege ist x doch eine extensive Größe.

Blödsinn! x ist keine extensive Größe. Hammer
Etwas anderes wäre es, wenn man als zusätzliche thermodynamische Variable einführte.
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 26. Nov 2012 22:41    Titel: Antworten mit Zitat

Zunächst vielen herzlichen Dank für Deine Hilfe!! Ich habe in meinem
letzten Poste einfach den Hinweis vom Aufgabenblatt verwendet, der
lautete, dass man die Differentiale von E(T, x) und S(T, x) vergleichen
solle. Da kam ich dann eben auf diese Entsprechung, wie erwähnt:

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich habe nun einfach das Differential



mit dem allgemeinen Differential



verglichen, und kam zu der Erkenntnis, dass:

und damit

Sicherlich nicht das Gewünschte, aber was soll's.


Ich wüsste sonst nicht, wie ich diesen Hinweis hätte nutzen sollen. Es
war ja auch nicht explizit nach S(T, x) gefragt, sondern nur nach E(T, x).
Wieso ist x keine extensive Größe? Wenn ich x z. B. verdoppele, bleibt
die Spannung ja nicht konstant, sondern ändert sich mit x. Eine extensive
Größe ist nach Definition ja eine Zustandsgröße, die sich mit der Größe
des betrachteten Systems ändert. Meiner Meinung nach tut x das?

_________________
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spinator
Gast





Beitrag spinator Verfasst am: 27. Nov 2012 20:09    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich wüsste sonst nicht, wie ich diesen Hinweis hätte nutzen sollen. Eswar ja auch nicht explizit nach S(T, x) gefragt, sondern nur nach E(T, x).

Wie der Hinweis genau gemeint ist, ist mir auch nicht klar.
Jedenfalls ist der Schluß

dE = TdS + tdx => E = TS + tx

nicht richtig. Du mußt hier integrieren:



wobei T und t jeweils Funktionen von S und x sind.

Zitat:
Wieso ist x keine extensive Größe? Wenn ich x z. B. verdoppele, bleibt die Spannung ja nicht konstant, sondern ändert sich mit x. Eine extensive Größe ist nach Definition ja eine Zustandsgröße, die sich mit der Größe des betrachteten Systems ändert. Meiner Meinung nach tut x das?

Ja, ich war gestern wohl etwas abgespannt. Schläfer
Das Problem ist, daß E(S,x) kein homogene Funktion ersten Grades ist:

In so einem Fall ist es nicht ganz klar, ob es überhaupt Sinn hat von extensiven Variablen zu sprechen. Die Sache klärt sich aber auf, wenn man als zusätzliche Variable einführt.
ist homogen. Das ist auch anschaulich klar: Wenn man zwei Gummifäden aneinander klebt, vergrößert sich auch die Länge im ungespannten Zustand.
entspricht etwa der Teilchenzahl N bei einem Gas. Wenn man jetzt noch

definiert, bekommt man . Da E homogen ist, kann man jetzt schließen, daß . Allerdings muß man dazu erst einmal zeigen daß E homogen ist, was eine etwas längere Rechung ist.
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