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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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 TruEnemy Verfasst am: 09. Nov 2012 13:57 Titel: Legendre-Transformation |
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Hallo!
Meine Frage:
Gegeben sei eine Funktion  ) mit dem totalen Di fferential  dx, p(x) = f'(x) ) .
Aufgabe der Legendre-Transformation ist es, eine Funktion  ) der neuen Variablen  zu fin-
den, die zu  äquivalent ist. Dabei wird vorausgesetzt, dass stetig d fferenzierbar und
 ) streng monoton ist.
Zunächst soll keine Transformation durchgeführt werden. Es soll eine Funktion im Bereich
 betrachtet werden, wobei  = 0 ) . Die Tangente  ) zu , x_0 > 0 ) ist aufzustellen.
Meine Idee:
Verfährt man bei dieser Teil-Aufgabe wie in der Schule? Der Punkt, an dem bzw. für den die Tan-
genten-Gleichung aufgestellt werden soll, lautet ja )) . Somit müsste lauten:
 = f'(x_0) \left(x - x_0 \right) + f(x_0) = p(x_0) \left(x - x_0 \right) + f(x_0)) , da  = p(x) ) nach Aufgabe
Grüsse.
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 10. Nov 2012 13:00 Titel: |
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Sorry, ist es einfach zu trivial oder bin ich schlichtweg zu blöd, um's zu verstehen?
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. Nov 2012 13:24 Titel: |
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Ja, das ist die Tangente. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 10. Nov 2012 13:29 Titel: |
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Danke, pressure! Nun sei  ) . Zunächst soll ich
 ) anhand einer Skizze interpretieren und dann zeigen,
dass  tatsächlich nur von  = f'(x_0) ) abhängt, so dass
 = f(x) - xp(x)|_{x=x(p)} ) folgt. Verstehe nur Bahnhof.
 = -p(x_0)\;x_0 + f(x_0) )
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. Nov 2012 13:47 Titel: |
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Naja die Skizze zu zeichnen sollte ja keine Schwierigkeit machen: Einfach eine konvexe Funktion zeichnen, Tangente an einen beliebigen Punkt zeichnen, und g identifizieren.
Okay nun schreibst du wieder  und musst nur zeigen, dass es eine eindeutige Funktion gibt, die x auf p abbildet, d.h. es ist nach der Existenz der Umkehrfunktion zu p(x) gefragt. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 10. Nov 2012 17:55 Titel: |
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Danke. Zu Deinem ersten Absatz: ich verstehe nicht ein Mal, was
sein soll. Es wird nur gesagt, dass  ) sein soll. Soll es
 = T(0) )
oder
 = T(0) = \text{nur noch abhängig von}\;x_0 )
sein?
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Nov 2012 11:44 Titel: |
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Die Tangente ) ist ja explizit abhängig von dem Punkt  zu dem sie die Tangente bildet. Also =T(x,x_0)) . Nun soll =T(x=0,x_0)) sein. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 11. Nov 2012 16:24 Titel: |
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Bei  = T(x, x_0) ) stimme ich Dir natürlich vollends zu.
Aber wenn nach Aufgabe  = T(x 0 =, x_0) ) ist,
wo ist dann der Unterschied zwischen  = T(x = 0, x_0) ) und  = T(x = 0, x_0) ) ?
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pressure
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| pressure Verfasst am: 11. Nov 2012 16:34 Titel: |
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Ich kann dein Problem bzw. deinen Post nicht nachvollziehen. Tut mir Leid. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 11. Nov 2012 16:43 Titel: |
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Das braucht Dir nicht Leid tun. Ich habe mich wahrscheinlich schlecht ausgedrückt.
Die Aufgabe ist 'Es ist nun  ) . Interpretieren Sie anhand einer Skizze.'
Gehe ich richtig in der Annahme, dass es zwischen und keinen mathematischen
Unterschied gibt? Es ist nur etwas dämlich niedergeschrieben, also:
 = T(x = 0, x_0) = g(x_0) )
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Nov 2012 16:44 Titel: |
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Ja, das ist korrekt. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 11. Nov 2012 17:09 Titel: |
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Also, da habe ich mich mal wieder an der Notation verwirrt.
Ich zeichne also eine konvexe Funktion, lege an einem be-
liebigen Punkt eine Tangente an. Diese Tangente ist dann
mit  = -f'(x_0) ) als Steigung und  )
als y-Achsen-Abschnitt. Ich wüsste nicht, was es da dann
mehr zu interpretieren gibt.
Den anderen Teil der Aufgabe mit der zu findenden Folgerung
 = f(x) -xp(x)|_{x = x(p)} ) stellen wir mal zurück.
Wichtiger sind mir nun die zuberechnenden Beispiele zur LT:
 f(x) = x^2 )
 f(x) = \sqrt{1 + x^2} )
Zu (a):
 = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x =: p(x)
<br />
\Rightarrow p(x) = p = 2x \Leftrightarrow x = x(p) = \frac{1}{2} p
<br />
)
Aus  = f(x) - xp(x) ) (was noch zu eigen ist), folgt:  = x^2 - x2x = x^2 - 2x^2 = -x^2)
Weiter folgt aus  = \frac{1}{2} p ) , dass:  = - x^2 = - \left( \frac{1}{2} p \right)^2 = - \frac{1}{4} p^2)
Somit ist die Legendre-Transformation:  = x^2 \Leftrightarrow g(p) = \frac{1}{4} p^2 )
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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 11. Nov 2012 18:13, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 11. Nov 2012 18:08 Titel: |
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Ich hoffe, ich habe es richitg gerechnet ...?!
Zu (b)
 = (1 + x^2)^{1/2} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}\left(1 + x^2 \right)^{-1/2}2x = x \left(1 + x^2 \right)^{-1/2} =: p(x)
<br />
<br />
\Rightarrow p(x) = p = x \left(1 + x^2 \right)^{-1/2} \Leftrightarrow x = x(p) = ?
<br />
)
HaHa, wie löse ich das auf? 
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 11. Nov 2012 21:13 Titel: |
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Um noch ein Mal zu der anderen Teil-Aufgabe zurückzukehren:
Ich habe nun einfach eine konvexe Funktion gezeichnet, mir ein-
en Punkt x_0 ausgesucht und dazu eine Tangente gezeichnet;
diese müsste dann eigentlich g(x_0) sein, oder nicht? Und weiter
weiß ich nicht, was man da noch groß interpretieren soll.
Nun ist ja zu zeigen, dass g ( = g(x_0)) wirklich nur von ihrer Stei-
gung, also f'(x_0) = p(x_0), abhängt. In der Aufgabe wurde vorraus-
gesetzt, dass f(x) stetig diff.bar und f'(x) streng monoton sein muss.
Kann ich dann nicht einfach als Argument anführen, dass die Steigung
der Tangenten allein diese charakterisiert, weil sie hier streng mono-
ton ist, also es nur eine bestimmte Steigung zu jedem Punkt gibt?
Ich weiß sonst nicht, wie ich da weiterverfahren soll, und daraus folgern,
dass g(p) = f(x) - xp(x) ausgewertet an x = x(p) ist.
 = - x_0 p(x_0) + f(x_0) )
Allein die Steigung charaktersiert die Tangente, x_0 irrelevant:
) = -x_0 p(x_0) + f(x_0) \Leftrightarrow g(p) = -x_0 p + f(x_0) )
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 29. Nov 2012 01:18 Titel: |
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| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | | Ich hoffe, ich habe es richitg gerechnet ...?! |
Hallo TruEnemy,
für den Fall, dass diese Frage noch offen ist: Du hast richtig gerechnet, aber bei der Zusammenfassung des Ergebnisses das Minuszeichen vergessen.
| Zitat: | | HaHa, wie löse ich das auf? |
Das sieht für mich nach einer quadratischen Gleichung aus. |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 29. Nov 2012 01:22 Titel: |
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| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | Und weiter
weiß ich nicht, was man da noch groß interpretieren soll. |
Wikipedia hilft da weiter: http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Transformation
Rechne doch mal die Legendre-Transformierte des Graphs aus dem Bildbeispiel aus. Dann siehst Du, dass g angibt, wo die Tangente die y-Achse schneidet.
MfG |
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