Lösen einer Differentialgleichung Stromverlauf Kondensator

Krachi · Anmeldungsdatum: 26.02.2012 Beiträge: 215

Hallo zusammen!

Ich möchte aus Interesse die Herleitung des Stromverlaufes beim Plattenkondensator verstehen, in der Schule wurde das nicht behandelt.

Summe der Gesamtspannung:

Entspricht:

Teilen durch R:

Bzw. mit

ergibt sich:

Erneutes Differenzieren:

Oder:

Ansatz:

Damit:

Vereinfacht:

| Einsetzen in |

Ergibt schlussendlich:

So, jetzt zu meiner Frage, die Herleitung musste sein, damit ihr wisst, wovon ich rede. Big Laugh

Ich verstehe nicht ganz, woher auf einmal der Ansatz

kommt (Klar ist ein exponentieller Abfall, mehr weiß ich nicht). Außerdem, könntet ihr mal erklären, wozu Differentialgleichungen in der Physik etc. genutzt werden? In welchem Zusammenhang steht das?

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Alles in der Physik kann oder wird durch Differenzialgleichungen beschrieben. Die Bedeutsamkeit von DGLs(Differentialgl.) kann nicht überschätzt werden.

Zur Lösung von derartigen Gleichungen kann man durch verschiedene Überlegungen kommen.
Homogene Probleme von gewöhnlichen DGLs 1. Ordnung etwa(Es kommt kein Summand vor der nicht multiplikativ mit der gesuchten Funktion oder einer ihrer ableitungen zusammenhängt) kann man direkt integrieren und daraus Lösungen für inhomogene Probleme gewinnen(gibt es zig tausende Artikel im Internet drüber falls es dich interessiert).
Ansonsten kann man noch theoretischer ran gehen und zeigen das die Ableitung (achtung hier erinnere ich mich nicht mehr so recht, daher schwammig) gewisse mathematische Eigenschaften aufweist und daher ich meine eine Algebra bildet wodurch man die Lösung gewöhnlicher DGLs beliebiger Ordnung finden kann.

Mal kurz bezogen auf die Gleichung

0 = I/(C*R) + dI/dt
Man sieht das die zeitliche Ableitung identisch ist zum gegenwärtigen Wert des Stromes multipliziert mit einer Konstanten(-1/CR).
Wenn man jetzt eine kleine mathematische Vorbildung besitzt erinnert man sich daran dass die e-funktion abgeleitet wieder die efunktion ergibt.
Daher liegt es nahe einen E-funktion Ansatz zu wählen.

edit: Großes Lob übrigens an deine Fragestellung, damit bist du schon besser als gefühlte 80% aller Threadersteller hier welche annehmen man wüsste wovon sie sprechen ohne das sie näheres erwähnen.