Brachistochone Variationsrechnung

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Meine Frage:
Hallo,
Ich versuche gerade, die allgemeine Brachistochone zwischen den Punkten (0/b) und (a/0) zu bestimmen. Dafür muss ich ja ein allgemeines Funktional für die Zeit aufstellen und mimimieren.
Bis hierhin habe ich es verstanden:

Aber wie genau muss ich denn jetzt weiter machen? Ich sollte ja wohl die Euler-Lagrange-Gleichung anwenden, wie bei der Berechnung von Bewegungsgleichungen aus der Lagrangegleichung, aber ich komme dabei einfach auf keinen grünen Zweig. Gibt es vielleicht mal wieder einen Trick, wie man vorher vereinfachen kann?
Viele Grüße
Nima93

Meine Ideen:
.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Meinst Du eine Brachistochrone?
Die Lösung wird von F. Kuypers, Klassische Mechanik, in Aufgabe 8-2a beschrieben.

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Das Buch habe ich leider nicht unglücklich

Aber ich bezweifle auch, dass es dort genauer erklärt wird als im Fließbach. Es geht mir nur um den einen Schritt, der dort übersprungen wird, bei dem die Euler-Lagrange-Gleichung angewendet wird. Ich habe versucht, die komplette zu mimimierende Funktion einzusetzen, aber das wird ziemlich kompliziert und ich glaube kaum, dass das so gedacht ist...

Euler · Gast

Du hast recht, die Euler-Lagrange-Gleichung ist grundsätzlich der richtige Weg. Aber ich denke, du kannst in diesem Fall mittels des Energiesatzes vereinfachen, da daraus eine DGL erster Ordnung (nicht zweiter Ordnung) folgt.

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Das habe ich auch gerade gelesen, ist ja auch logisch, da, wenn F nicht von x abhängt, T+V=const. gelten muss.
Aber wie kann ich denn das jetzt für mein Problem ausnutzen?

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Aah, kann es sein, dass dann der eine Teil der Euler-Lagrange-Gleichung (der mit der Zeitableitung) einfach wegfällt?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Wurden die Hinweise bei Fließbach zur Übung 12.1 beachtet?

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

oh, nein, das wurden sie nicht. Habe mich bisher
eher an das Arbeitsbuch gehalten, aber danke für den Tipp!

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Aber warum gilt denn :

, falls

?

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Lies daraus die Lagrangefunktion ab und setze in Euler-Lagrange-Geichung ein. Wo genau ist da das Problem?

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Ich habs jetzt nochmal probiert, in die Euler-Lagrange einzusetzen. Allerdings weiß ich nicht mehr weiter. Ich hab da stehen:

=> Einsetzen und Ausrechnen

Aber jetzt wirds schon richtig eklig... stimmt das überhaupt soweit?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Warum mißt Du nicht y nach unten

mit

usw.

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Tut mir leid, aber das verstehe ich garnicht. was meinst du mit "nach unten messen"?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hast doch selber schon gemerkt, wohin die ungünstige Koordinatenwahl von Herrn Fließbach führt... In der Sache geht es um eine Fallbewegung zwischen zwei beliebigen festen Punkten bei Ermittlung der optimalen Bahn (Paketrutsche meinetwegen). Dafür ist die Wahl eines P_1(x_1,0) und P_2(x_2,y_2) mit y - Richtung nach unten zweckmäßig.

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Ok, danke, ich werde das gleich nochmal versuchen, bin gerade dabei, nochmal das ganze Kapitel im Fließbach durchzuarbeiten...
aber jetzt mal ganz abgesehen von der Wahl der Koordinaten, die ja eigentlich nichts ändern dürfte, außer dass vll die Rechnung noch etwas hässlicher wird: Es ist doch allgemein in jedem Fall richtig, die Lagrangefunktion in die Euler-Lagrange-Gleichung einzusetzen, oder?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich komme nochmal auf den Vorschlag von oben (Euler, 04. Okt 2012 13:23) zurück; das sollte die Problematik der komplizierten DGL deutlich vereinfachen:

Unser Problem lautet

Nun zu einem Analogon in der klassischen Mechanik: dort ist die Gesamtenergie E abgeleitet mittels Legendretransformation in einer Variablen x (sowie konjugiertem Impuls p) aus einem Wirkungsfunktional S erhalten, wenn der Integrand (= die Lagrangefunktion L) nicht explizit von der Zeit t abhängt.

Übertragen auf unseren Fall können wir also sagen, dass eine Erhaltungsgröße H existiert, abgeleitet mittels Legendretransformation in der Variablen y sowie Impuls p, da der Integrand von F nicht von x abhängt. Die ist die Aussage des Noethertheorems bzgl. Symmetrie unter Translation in x.

Bestimmen wir also den konjugierten Impuls p sowie die Erhaltungsgröße H:

p selbst ist nicht erhalten, da F explizit von y abhängt.

Die Erhaltungsgröße H, die der Gesamtenergie E entspricht, berechnet sich mittels Legendretransformation in x und p zu

Der Vorteil dieser Vorgehenswiese ist, dass die auf eine DGL erster Ordnung führt, d.h. es ist ausschließlich y und y’ enthalten, nicht y’’.

Deine Aufgabe ist es also, zunächst p (ausgedrückt durch y, y’) sowie anschließend daraus H[y,y’] zu berechnen. Damit kannst du wg. H = const. die DGL formal durch Trennung der Variablen x und y auf eine Form

und somit

bringen und integrieren.

Bevor du nun zu rechnen anfängst solltest du diese Idee und den oben skizzierten Weg genau verstanden haben.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Um die Sache mal in eine Kurzform zu bringen: Wenn man ein Variationsproblem der Form

hat, gilt allgemein die Euler-Lagrange-Gleichung

Wenn L nicht explizit von x abhängt, gilt die vereinfachte Gleichung:

Das ist als Beltrami's Identität bekannt und völlig unabhängig davon, ob das Problem einen physikalischen Hintergrund hat. Hat das Problem einen physikalischen Hintergrund, gelangt man, wie schon mehrfach erwähnt, meist über den Energiesatz von (1) nach (2).

Du solltest einfach mal von Gl. (2) ausgehen. Man findet Gl. (2) in jeder besseren Formelsammlung. Der Herleitung kannst du dich auch später noch widmen.

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Hallo,
Tausend Dank für eure Mühe! Habs zwar noch nicht 100% verstanden, aber ich kann die Aufgaben mittlerweile rechnen, und das reicht für meine Klausur zum Glück... Werde mich ein andermal näher damit befassen...