Holonom-Rheonome Zwangsbedingung

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hallo, wieso ist folgende Zwangsbedingung holonom-rheonom:

z/x-tan(phi(t)) = 0 (sic!)
Bezieht sich auf eine Masse die auf einer schiefen Ebene mit variablem Winkel phi(t) liegt.
Das ist erstmal relativ egal. Laut Buch ist es eine holonom-rheonome Zwangsbedingung wenn die partielle Ableitung nach der Zeit ungleich Null ist, d.h.wenn explizite Zeitabhängigkeit vorliegt.
Nun heißt nach meinem Verständnis explizit Zeitabhängig, dass sich eine Funktion als f(x1,x2,...,,xn,t) = blabla vorliegt.
Das ist hier ja nicht der Fall, da phi explizit vorkommt und daher t nur implizit.
oO
Man erhelle mich. Danke.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Mit Änderung der Zeit ändert sich die Nebenbedingung, siehe partielle Ableitung. Wie das im einzelnen realisiert wird, ist eine andere Frage. Da könnten alle möglichen Dinge explizit zeitabhängig sein (Pendellängen, rotierende Behälter...), die als Zwangsbedingungen fungieren.
Man kann oben problemlos f(x, y, t) = 0 schreiben.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

wie denn?
Dafür müsste man für phi eben die Funktion von t einsetzen.
So wie es da steht, geht das nicht.
Oder erleuchte mich.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Mal so "aus dem Bauch": Natürlich kann man die explizite Zeitabhängigkeit irgendwo "verstecken", meinetwegen hinter Mondphasen ... smile

Was aber meines Erachtens die Frage nicht beantwortet, ob sich nur durch Zeitänderung die Zwangsbedingungen ändern.

Wobei es vielleicht möglich ist, diese Bewegungen durch Nichtinertialsysteme o.ä. abzufangen? Das würde jedoch die prinzipielle Frage nach den verwendeten Koordinaten aufwerfen ... grübelnd

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Jetzt mal nach http://de.wikipedia.org/wiki/Zwangsbedingung

Holonom sind die Zwangsbedingungen glas klar, denn ich kann es als

f(x,z,phi(t)) = 0 schreiben.
Rheonom nicht, denn f(x,z,phi(t)) hängt nicht explizit von der zeit ab.
Ich gehe jetzt nachdem was dort steht.
Mir kommt die Unterscheidung von expliziter und impliziter Abhängigkeit von der Zeit(bzw. irgendeiner Variable) etwas willkürlich vor.

Ich verstehe das eigentlich so:
Da die partielle Ableitung nach einer Variable ableitet, in dem es alle anderen Variablen konstant hält und nur "Veränderliche der parti. Ableitung" variiert, hat eine Funktion die als
f(x,z,phi(t)) = 0 geschrieben werden kann eine partielle Zeitableitung gleich Null, denn wenn man x,z und phi konstant hält passiert ja folgendes:

(f(x,z,phi(t))-f(x,z,phi(t))/h -> 0 für h->0, denn es gibt kein t das explizit als Parameter vorkommt.

Das deckt sich mit allem was ich bisher dazu gelesen habe.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Wenn man den Winkel fest hält, macht man praktisch das Problem selber kaputt, das ja in der Untersuchung zeitlicher Verläufe besteht. Genauso könnte man den freien Fall durch eine "dynamische" Höhe erschlagen.

Ohne Deinen Forschungseifer bremsen zu wollen: Mir erscheint diese formelle Einteilung für die physikalische Bearbeitung nicht sonderlich aufregend. Mehr "Sprengstoff" bietet die Klassifizierung nach holonom / nicht-holonom (rollende Scheiben u.ä.).

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Ich würde schlicht eine mathematische Antwort auf meine Frage erhalten:
Gemäß der Definition ist folgende Zwangsbedingung nicht rheonom, da keine explizite Zeitabhängigkeit besteht?
Falls dem nicht so ist, wieso liegt explizite Zeitabhängigkeit im formal mathematischen Sinne vor?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Die Frage nach den zu verwendenden Koordinaten ist letztendlich keine mathematische, sondern eine der physikalischen Zweckmäßigkeit. Bei den freien Massepunktsystemen sind dies ursprünglich kartesische und, in einer Sonderrolle, die Zeit.
Zwangsbedingungen schränken, gut bekannt, die Freiheitsgrade ein und man kommt der Lösung einen großen Schritt näher mit der glücklichen Reduzierung auf angepaßte, generalisierte Koordinaten - wieder ausgenommen die Zeit.
In dem angeführten Beispiel könnte man natürlich formal mit dem Winkel statt der Zeit arbeiten; das scheint mir aber physikalisch unangemessen. mfG