Volumenintegral

Niels90 · Anmeldungsdatum: 02.07.2011 Beiträge: 280

Hallo
Ich steh grad bisschen aufm Schlauch bei folgendem Volumenintegral:

Dabei ist an konstant aus dem R3 und es soll über eine Kugel mit dem Radius R integriert werden.
Bei mir hängts eigentlich nur bei dem Skalarprodukt was da im Exponent steht.
Könnt ihr mir da helfen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18198

wobei der Winkel zwischen der festen Richtung von a und dem variablen Vektor r zu verstehen ist. Nun kann man das in sphärische Koordinaten umschreiben, wobei die z-Richtung durch die Richtung von a definiert ist, also

Niels90 · Anmeldungsdatum: 02.07.2011 Beiträge: 280

Ok so ungefähr hatte ich mir das auch gedacht. Wird relativ kompliziert das Integral dadurch. Spielt es eine Rolle ob ich zuerst nach r oder erst nach teta integriere?

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Nein, es spielt keine Rolle. Aber die Grenzen bei der Intergration über Theta stimmen so nicht ganz.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18198

Hab' die Integrationsgrenzen geändert; ich hatte die Grenzen für theta angegebene, nicht für cos(theta)

Niels90 · Anmeldungsdatum: 02.07.2011 Beiträge: 280

Ja ich werde einfach nach

integrieren und damit sind die Grenzen dann wieder 0 und pi.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18198

Niels90 · Anmeldungsdatum: 02.07.2011 Beiträge: 280

Ehm doch das müsste gehen. Es gilt doch:

Und über Substitution kürzt sich der Sinus im Zähler da dann raus.
Bin ich zumindest der Meinung.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18198

Von der Umformung her hast du natürlich recht, aber Integrale

sind erstmal nicht elementar lösbar. Du benötigst also genau die genannte Substitutaion mit x=cos\theta und Integration über dx

Niels90 · Anmeldungsdatum: 02.07.2011 Beiträge: 280

Ja so hab ich das jetzt auch gemacht. Immer noch recht viel Schreibarbeit, aber was solls Big Laugh

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18198

und das Ergebnis?