Diffusion: Zeitdauer bis zum Konzentrationsausgleich

xcs123 · Gast

Hallo,

ich bin auf Wikipedia (Eintrag Diffusion) auf folgende Aussage gestoßen:

"In einem abgeschlossenen System bewirkt Diffusion den Abbau von Konzentrationsunterschieden bis hin zur vollständigen Durchmischung. Die Zeit, die dafür benötigt wird, wächst im -dimensionalen Raum mit der -ten Potenz des Abstands. Diffusion ist daher vor allem auf Nano- bis Millimeter-Skalen wirksam; auf größeren Skalen dominiert in Flüssigkeiten und Gasen in der Regel Stofftransport durch Strömung (Konvektion)."

Ich kann nicht nachvollziehen, warum die Dauer bis zum Konzentrationsausgleich von der Anzahl der Raumdimensionen abhängen soll. Die Teilchenbewegungen in z.B. x-, y- und z-Richtung sind doch unabhängig voneinander! Man könnte höchstens bei konstanter Molekülgeschwindigkeit davon ausgehen, dass mit jeder zusätzlichen Dimension die durchschnittliche Komponente der Geschwindigkeit in eine bestimmte Richtung (z.B. v_x) kleiner wird. Diese Abhängigkeit wäre aber linear bzw. proportional zu 1/SQRT(n).

Nach der Theorie der Brownschen Molekularbewegung ist doch der mittlere Abstand nach der Zeit t proportional zu SQRT(t) bzw. das mittlere Abstandsquadrat proportional zu t. Wenn jetzt n Dimensionen vorhanden sind, dann ist der Abstand unabhängig von n. Der Abstand a in einer bestimmten Komponente (z.B. x) bei n=3 wäre SQRT(x^2+ y^2 + z^2) usw. Da x=y=z ergibt sich SQRT(3x^2) ==> x = a/SQRT(3).

Warum soll jetzt die Dauer bis zum Konzentrationsausgleich in n Dimensionen mit der n-ten Potenz des Abstandes wachsen?
Oder liegt es ganz einfach am Verteilungsvolumen? Länge --> Fläche --> Volumen. Aber selbst hier kommt ja dann jeweils auch eine Bewegung der Moleküle in die jeweiligen zusätzlichen Richtungskomponenten hinzu, so dass sich das ausgleichen müsste.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18101

Wie mathematisch soll die Antwort sein?

Die Diffusionsgleichung ist formal verwandt (jedoch komplizierter) mit der Wärmeleitungsgleichung. Diese lautet

Dabei ist

der Laplaceoperator im n-dimensionalen Raum. Dies erklärt die Abhängigkeit von der Anzahl der Dimensionen.

http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation#Particle_diffusion
http://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_equation

Einfacher versteht man das evtl. über einen sogenannten random walk, also einen Zufallsweg im n-dimensionalen Raum. Es ist anschaulich klar, dass zu jedem Zeitpunkt ein Schritt in eine beliebige Richtung erfolgen kann. Da die Anzahl der Punkte mit Abstand r jedoch mit r^n wächst, gibt es für höheres n sozusagen mehr Punkte, wo man sich in direkter Nachbarschaft hinbewegen kann (n=1: 2 Nachbarn; n=2: 4 Nachbarn; ...). Stellt man sich die Diffusion ausgehend von einer punktförmigen Quelle vor, so ist die Wahrschienlichkeit, dass ein Teilchen zufällig zu dieser Quelle zurückkehrt für kleine n recht hoch, fällt jedoch mit wachsendem n schnell ab, da es ja so viele andere Punkte in der Nachbarschaft gibt.

Die Diffusion erfolgt also in höheren Dimensionen effizienter.

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk

xcs123 · Gast

Vielen Dank für die Antwort.

Mir war einfach nicht klar, warum die Zeit bis zum Konzentrationsausgleich im n-dimensionalen Raum mit der n-ten Potenz des Abstandes ansteigt.

Dies ist mir jetzt aber klar geworden: beim Konzentrationsausgleich ist die Dichte der Moleküle überall gleich. Die Anzahl der Teilchen, die vom Bereich hoher Konzentration in den Bereich niedriger Konzentration wandern muss, wächst daher mit dem Exponenten n.

Ich bin aber trotzdem der Meinung, dass der Wikipedia-Eintrag (siehe meine Eingangsfrage) nicht stimmt, denn auch bei n=1 gilt: T ~ d^2 mit dem Abstand d und T der Zeit bis zum Konzentrationsausgleich.
für n=2 gilt dann T ~ d^3, für n=3 T ~ d^4 usw.

Dass bei n=1 T ~ d^2 ist, lässt sich gut mit dem Random Walk für n=1 nachvollziehen: der mittlere quadratische Abstand ist proportional zu t.

Anders ausgedrückt: Wenn ein Konzentrationsausgleich von links nach rechts über die Distanz d stattfinden soll, müssen k Teilchen von links nach rechts wandern. Wenn d nun größer wird, müssen 1.) mehr Teilchen nach rechts wandern (k~d), damit ein Ausgleich stattfindet und sie müssen 2.) einen längeren Weg zurücklegen. Somit wird T ~ d^2 bereits für eine Dimension.