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J.B.
Anmeldungsdatum: 28.03.2011
Beiträge: 8
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 J.B. Verfasst am: 07. Apr 2012 12:44 Titel: Lambda/4-Plättchen als Jones-Matrix / Vorfaktor |
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Meine Frage:
Guten Tag,
ich suche den Vorfaktor für die Jones-Matrix eines Lambda/4-Plättchens:
Schnelle Achse ist die x-Richtung
Meine Ideen:
Die Matrix kommt von der Verzögerungsmatrix:
Wenn ich da jetzt die Verzögerung von $\pi /2$ einsetze, welche für die y-Komponente auftritt und für die Verzögerung in x-Richtung 0, dann komme ich genau auf die Matrix. Aber woher kommt der Vorfaktor?
Vielen Dank schonmal!
Grüße Johannes
EDIT: Vorfaktor hat ein minus!
Zuletzt bearbeitet von J.B. am 07. Apr 2012 14:28, insgesamt einmal bearbeitet |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 07. Apr 2012 13:16 Titel: |
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Welchen Vorfaktor meinst du genau?
exp(iPi/4)?
Der kommt daher, dass sich das licht um eine Strecke der Länge Pi/4 weiterbewegt. |
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J.B.
Anmeldungsdatum: 28.03.2011
Beiträge: 8
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| J.B. Verfasst am: 07. Apr 2012 14:29 Titel: |
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Sorry, hab's geändert: ja, ich meine diesen Vorfaktor, allerdings hat er ein Minusvorzeichen! |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 07. Apr 2012 14:38 Titel: |
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| J.B. hat Folgendes geschrieben: | | Sorry, hab's geändert: ja, ich meine diesen Vorfaktor, allerdings hat er ein Minusvorzeichen! |
Mich wundert darüber hinaus auch, warum es nicht Pi/2 ist.
Vllt. weiß jemand weiter? |
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Laron
Anmeldungsdatum: 20.02.2012
Beiträge: 230
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| Laron Verfasst am: 11. Apr 2012 10:16 Titel: |
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In der Jones-Darstellung wird die eine Achse Pi/4 verzögert und die andere
um Pi/4 "beschleunigt". Wichtig ist, daß die Differenz Pi/2 ist und wenn
man das "e" ausklammert, bleiben "1" und "i" übrig. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 11. Apr 2012 16:08 Titel: |
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| Laron hat Folgendes geschrieben: | In der Jones-Darstellung wird die eine Achse Pi/4 verzögert und die andere
um Pi/4 "beschleunigt". Wichtig ist, daß die Differenz Pi/2 ist und wenn
man das "e" ausklammert, bleiben "1" und "i" übrig. |
Wie meinst du das?
Für eine Welle von links nach rechts gilt doch:
E=Eo exp(ikx-iwt)
(x weg, k Wellenvektor, w Kreisfrequenz, t Zeit)
Jetzt durchläuft die Welle die Strecke x=l/4 (wobei l die Wellenlänge ist)
Zusammenhang zu k ist gegeben durch k=2Pi/(nl)
Den Spaß eingesetzt gilt:
})
Ein Vorfaktor von Pi/4 wäre also dann gerechtfertigt, wenn die Welle von rechts kommen würde und n=2 für die erste Komponente wäre. Sehe ich das korrekt?
Dass die Differenz wichtig ist, ist klar, die hat aber mit dem Vorfaktor nichts zu tuen. |
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Laron
Anmeldungsdatum: 20.02.2012
Beiträge: 230
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| Laron Verfasst am: 12. Apr 2012 12:49 Titel: |
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Sorry, das war wohl etwas zu knapp.
Das ist nur ein "Kunstgriff" in der Schreibweise. Durch M11 "beschleunigt" man
die x-Komponente um -Pi/4 (Vorfaktor*1).Jetzt muß man durch M22 die y-Komponente
um Pi/4 verzögern, damit die Differenz stimmt.
e^(i*Pi/4) kannst Du umschreiben in e^(i*(-Pi/4))*e^(i*Pi/2). Jetzt kannst Du
e^(i*(-Pi/4)) in M11 und M22 als Vorfaktor rausziehen und behälst e^(i*Pi/2)
in M22. Das ist aber gleich i und damit hast Du in Deiner Matrix nur noch 1 und i. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 12. Apr 2012 13:41 Titel: |
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| Laron hat Folgendes geschrieben: | [..]Durch M11 "beschleunigt" man
die x-Komponente um -Pi/4 (Vorfaktor*1)[...] |
Die Frage bleibt nach wie vor: WARUM genau DIESER Vorfaktor?
Es erscheint mir nach wie vor physikalisch nicht SINNVOLL, es sei denn der Brechungsindex für die zweite Komponente wäre n=2. |
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Laron
Anmeldungsdatum: 20.02.2012
Beiträge: 230
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| Laron Verfasst am: 17. Apr 2012 07:28 Titel: |
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Hi Chillosaurus,
möglicherweise verstehe ich Deine Frage nicht, aber in diesem Formalismus wird zunächst nur
der Phasenterm betrachtet. Den ganzen Rest Deiner Welle kannst Du mit der Amplitude ausklammern.
Einen besonderen Brechungsindex brauchst Du erst, wenn Du bestimmte Randbedingungen einhalten
mußt. Da nur der optische Weg entscheidet (2Pi*n*d/lambda), kannst Du ansonsten für jedes n ein
passendes d finden. Hilft das? |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 17. Apr 2012 09:07 Titel: |
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| Laron hat Folgendes geschrieben: | [...] Da nur der optische Weg entscheidet (2Pi*n*d/lambda), kannst Du ansonsten für jedes n ein
passendes d finden. Hilft das? |
Das hilft etwas.
Die Frage beantworten tut es dennoch nicht. Deswegen versuch ich die nochmals zu reformulieren:
Bei einem Lamda/4 Plättchen erhalten x, y komponente eine Phasenverschiebung von einer viertel Wellenlänge (Pi/2). Dies lässt sich durch eine Matrix: ([1,0],[0,i]) beschreiben, wobei i die imaginäre Einheit darstellt. Wenn man nun das elektrische Feld (Ex,Ey) aus dem elektrischen Feld (Ex0,Ey0) direkt vor der Platte bestimmen will, muss man noch die Dicke der Platte berücksichtigen. Sei d die Dicke der Platte und k=2Pi n/l der Betrag des Wellenvektors, so ändert sich die Phase der ersten Welle um kd, während sich die Phase der y-komponente um kd+Pi/2 ändert. Dies lässt sich berschreiben, indem man einen Vorfaktor exp(kd) vor der Matrix wählt. Dieser ist ganz offensichtlich abhängig vom schnelleren Brechungsindex n - ergo nicht universell.
Man kann also schreiben: (Ex,Ey)=exp(kd)([1,0],[0,i]).(Ex0,Ey0).
Jetzt die Frage: ist kd= -Pi/4 willkürlich gewählt? |
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Laron
Anmeldungsdatum: 20.02.2012
Beiträge: 230
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| Laron Verfasst am: 20. Apr 2012 08:10 Titel: |
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Der Faktor hat zwar eine physikalische Bedeutung, sonst würde er ja nicht auftauchen, seine Wahl ist aber nicht physikalisch motiviert. Der Formalismus lebt davon, daß die Darstellung einzelner optischer Elemente so einfach ist. Man kann auch komplexe Systeme auf eine relativ einfache Matrixmultiplikation zurückführen. Die wird dann umso leichter, je einfacher die Einzelmatrizen sind. Die Hersteller von moderner Optiksoftware nutzen gerne Jones oder Müller, weil sie damit sehr effiziente Algorithmen basteln können.
n und d sind interessant, wenn Du von der Geometrie auf die optischen Eigenschaften schließen willst. Wenn du umgekehrt weißt, es ist ein lambda/4-Plättchen, sind n und d völlig unerheblich, solange kd modulo 2Pi = Pi/4 ist (angenommen, die Matrixeinträge sind gleich). |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 20. Apr 2012 08:48 Titel: |
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| Laron hat Folgendes geschrieben: | | Der Faktor hat zwar eine physikalische Bedeutung, sonst würde er ja nicht auftauchen, seine Wahl ist aber nicht physikalisch motiviert. [...] kd modulo 2Pi = Pi/4 ist (angenommen, die Matrixeinträge sind gleich). |
Was ist denn seine physikalische Bedeutung und wo machst du einen Unterschied zwischen physikalischer Bedeutung und physikalischer Motivation?
Wieso kd modulo 2Pi=pi/4 ?
Meinst du den Wellenvektor im Vakuum oder im Medium? |
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Laron
Anmeldungsdatum: 20.02.2012
Beiträge: 230
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| Laron Verfasst am: 23. Apr 2012 09:44 Titel: |
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Die Größe der Lichtgeschwindigkeit ist physikalisch motiviert, wenn Du einen
anderen Wert annimmst, bekommst Du Schwierigkeiten. Wie groß Du diesen
Vorfaktor wählst, ist für die Physik egal, solange der Rest stimmt. Trotzdem
hat er eine Bedeutung, nämlich die eines Phasenterms.
Die Modulo 2*Pi sind ein Zugeständnis an die Realität. Wenn Du solche Platten
bestellst, haben die Dicken im Bereich von mm, und sind damit eigentlich von
lambda/4 weit entfernt. Da wir aber, wie gesagt, nur auf die Differenz der
beiden Teilwellen Wert legen, können wir eine belienige Anzahl ganzer Wellen
abziehen und uns auf den Rest konzentrieren. Dabei betrachten wir den
Wellenvektor im Medium. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 23. Apr 2012 15:30 Titel: |
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Ah ja, soweit sehen wir das ja genauso.
Wie kommst du jedoch darauf, dass im Lamda/4 - Plättchen kd immer Pi/4 entsprechen (bzw. Pi/4 +-2mPi)? Soweit mir bekannt, ist das einzige, 'was man vom lamda/4 Plättchen definitiv sagen kann, denn das ist Definition, die Aussage über den Phasenunterschied (von pi/2). Welchen Phasenfaktor das der E-Vektor erhalten muss (definiert durch die Durchlaufstrecke) ist völlig unbestimmt und hängt von der Differenz der Brechungsindizes ab. |
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