Planeten - Kugelform

Gustav123 · Gast

Meine Frage:
Warum haben Planeten eigentlich eine Kugelform, während die kleineren Himmelskörper eine unregelmäßige Form besitzen?

Meine Ideen:
Liegt es daran, dass die Kugel einen energetisch günstigen Zustand darstellt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Ja, daran liegt es wohl.

Gustav123 · Gast

Und dieser energetisch günstigere Zustand hat dann etwas mit der Gravitation zu tun, welche in einer Kugel gleichmäßig (symmentrisch) wirken kann?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Man kann sich das so vorstellen, dass jedes Materieteilchen möglichst nahe am Schwerkraftzentrum sitzen möchte, um die potentielle Energie zu minimieren; und aus Symmetriegründen kann das nur eine Kugelform ergeben.

Nur abstoßende Kräfte (z.B. zwischen den Atomen) stabilisieren die Kugel; ohne diese Kräfte würde jedes Objekt zu einem schwarzen Loch kollabieren.

Gustav123 · Gast

TomS. schreibt:
"Man kann sich das so vorstellen, dass jedes Materieteilchen möglichst nahe am Schwerkraftzentrum sitzen möchte, um die potentielle Energie zu minimieren; und aus Symmetriegründen kann das nur eine Kugelform ergeben."

Liegt das vielleicht daran, dass die Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche hat?

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Ich würde das vielleicht etwas anders sehen... denn die Kugelform wäre auch für einen Asteroiden energetisch günstig im Sinne der Gravitation.

Aber der Unterschied ist ganz einfach die Masse, und damit das Verhältnis zwischen den Kräften im Material, bzw. den Drücken, die das Material aushalten kann, und den Kräften die wirken. Wenn man die Masse immer größer macht, wächst natürlich die Autogravitation, während die zulässigen Maximaldrücke im Material im wesentlich konstant und materialabhängig sind. Ab einer gewissen Größe (für Gesteine kriegt man so ~400 km) wird das Limit überschritten und das Material "geknackt". Übrigens ist das die gleiche Ecke, wie die Frage "Wie hoch können maximal Gebirge werden" (Mars hat höhere Berge als die Erde, weil er leichter ist, oder so). Alles was zufällig größer werden wollen würde, als das zulässige Limit, wird zusammenbrechen. Wir beobachten natürlich dabei lediglich den finalen Zustand und stellen fest, dass wir nichts finden, was diese Limits überschreitet.

Grüße
w.bars

Gustav123 · Gast

Aber warum ist eine Kugel so günstig? Liegt der Ursache darin, dass mathematisch gesehen die Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche hat?

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Achso, ähm nein. Das liegt direkt an keinem der bekanntem Minimierungsprinzipien, die die Kugel als Sieger hervorgehen lassen, sondern an etwas anderem.

Nehmen wir also als Diskussionsgrundlage einen gasförmigen Planeten, oder von mir aus auch einen flüssigen. Der habe zunächst irgedneine Form. Die Kräfte der Autogravitation sind in dem Fall nicht unbedingt immer zum Zentrum gerichtet. Das macht aber nichts, sie sind "grob" zum Zentrum gerichtet, sagen wir mal, bei nicht zu abstrusen Oberflächen. Wenn man also jetzt einen Berg hat -- das kennt man aus dem Alltag -- rollen Steine von ihm runter Augenzwinkern

Genauso würde ein Flüssigkeitsberg unter dem Einfluss einer im wesentlichen nach unten (zum Zentrum des Planeten) gerichteten Kraft, versuchen, auseinander zu laufen und flach zu werden. Statt jetzt die genauen Prozesse zu betrachten, schaut man sich den finalen Zustand an.

Was ist der finale Zustand, also der Zsutand des Gleichgewichts? Warum rollt denn ein Stein runter? Weil es eine Tangentialkomponente der Kraft entlang der Oberfläche gibt. Der finale Zustand wird jener sein, bei dem die Tangentialkomponenten der Gravitationskraft an der Oberfläche stets verschwinden -- oder in anderen Worten, wo die Oberfläche an jedem Ort senkrecht zur Kraft steht.

Das ist der Fall bei einer Kugel -- denn da wirkt die Kraft exakt immer zum Zentrum, und die Tangentialebene an die Kugel ist immer senkrecht zum Radius. Wenn man es also auf den Punkt und in 2D bringen will: die wesentliche Eigenschaft ist "Tangente ist senkrecht zum Radius".

Die Erde ist auch deswegen keine Kugel, weil es eben neben der Gravitation ncoh eine Zentrifugalkraft gibt. Wenn man also das Kraftfeld kennt, braucht immer nur senkrecht zu den Feldlinien herumzulaufen, und schon hat man die Form des Planeten. Allerdings ist da ncoh ein kleiner Haken. Wenn man die Form hat, hat man wiederum ein neues Kraftfeld, weil dieses ja grade von dem Planeten erzeugt wird und von der Form abhängt. Die Gleichungen dafür sind also nicht ganz so einfach. Aber das ist ein anderes Thema...

w.bars
[edit] P.S. Das, was ich dargetsellt habe, ist die "Kraft-Sicht" der Aussage, dass die Kugel die potentielle Energie minimiert. Denn Kraft ist Ortsableitung der Energie (so lernt man s zumindest in der Schule, es ist auch fast rihctig), und wo die Energie minimal ist, gibt es keine Kraft -- und da steigt man dann direkt drei Absätze drüber mir ein, wo ihc sage, dass die Tangentialkomponente verschwinden muss.

D2 · Anmeldungsdatum: 10.01.2012 Beiträge: 1723

Man betrachtet die Kugel als einzige Lösung. Aber es gibt in der Natur auch eine andere Lösung - Ring

Z.B. wenn ich die Rotationsgeschwindigkeit einiger Pulsaren betrachte

"Daneben gibt es sogenannte Millisekunden-Pulsare (etwa fünf Prozent der Pulsare) mit Umlaufzeiten von einer bis zehn Millisekunden ". http://de.wikipedia.org/wiki/Pulsar
kann ich mir schon vorstellen das diese nicht mehr kugelförmig sind.

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Das erzählte ich doch im letzten Abschnitt Augenzwinkern

Der Unterschied zwischen Gravitations- und Zentrifugalkraftfeld ist, dass das eine gerne was isotropes hat und das andere gerne was achsensymmetrisches. Das führt dann zu Abplattung etc.

w.bars

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Letztlich kann man folgenden Ansatz wählen:

Minimieren der Energie E

unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen

Der erste Term in der Energie stellt die gravitative Selbst-WW der Massendichte dar; der zweite Term E[p] berücksichtigt außerdem einen Druck. Letzteres ist notwendig, da ohne den Druckterm keine stabilisierende Kraft wirken und daher ein Kollaps stattfinden würde. Die Zustandsgleichung für den Druck müsste man sich für entartete Materie erst beschaffen, aber ich denke, man kann immer argumentieren, dass ein kugelsymmetrischer Grundzustand existiert.

Die Nebenbedingung stellt sicher, dass die Gesamtmasse festgehalten wird.