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Bubsi
Anmeldungsdatum: 02.11.2011
Beiträge: 3
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 Bubsi Verfasst am: 10. Nov 2011 18:30 Titel: Matrizen |
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Meine Frage:
1. Wir betrachten einen zwei-dimensionalen Raum und lineare Abbildungen in Form von Matrizen
Wir wollen unter allen möglichen Matrizen M diejenigen finden, die die Länge der Vektoren erhalten.
Es soll also gelten: ^2=\vec{x}^2 )
(a) Finden Sie Bedingungen an a; b; c; d, indem Sie beachten, dass die Spalten der Matrix M die Bilder der Basisvektoren der Standardbasis sind. Verwenden Sie, dass die Längen der Basisvektoren,
sowie ihre Orthogonalität, unverändert bleiben sollen. (Warum darf sich auch der Winkel zwischen
den Basisvektoren nicht ändern?)
(b) Die gefundenen Bedingungen sollten Sie an Relationen trigonometrischer Funktionen denken lassen.
Überlegen Sie, wie die Bedingungen erfüllt werden können, in dem Sie für a; b; c; d in geeigneter Weise möglichst einfache Ausdrücke in cos(  ) und sin( ) einsetzen. Sie sollten zwei grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten finden, die einen mit Determinante +1, die anderen mit Determinante -1.
(c) Welche Abbildungen werden also durch die in (b) gefundenen Matrizen beschrieben? Versuchen Sie, die Lösungen M' mit Determinante -1 aus den Lösungen M mit Determinante +1 zu erhalten, in dem Sie einen der Basisvektoren zunächst an einer geeigneten Achse spiegeln. Versuchen Sie
also M' = SM zu schreiben und bestimmen Sie die Matrix S
Meine Ideen:
Ich bitte um dringende Hilfe. Ich habe keine Ahnung, was ich da tun soll, da ich noch nie etwas mit Vektoren zu tun hatte. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18094
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2011 22:53 Titel: |
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a) Du musst zunächst M auf die beiden Einheitsvektoren anwenden und die Bedingungen an a, b, c, d formulieren, so dass die beiden rotierten Vektoren wiederum Einheitsvektoren sind und wiederum einen 90°-Winkel einschließen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 11. Nov 2011 08:25 Titel: |
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Hallo Bubsi,
meiner Meinung nach kann man diese Aufgabe nur dann leicht lösen, wenn man schon mal weiß, dass M [edit]in diesem Fall[/edit] einfach Rotationen beschreibt. M dreht also jeden Vektor der zweidimensionalen Ebene um einen gewissen Winkel links oder rechts herum. Nur dann bleibt auch Länge des gedrehten Vektors gleich und damit weiß man dann auch, was M mit einem Vektor bei einer Matrizenmultiplikation (siehe unten) zwischen M und dem Vektor so anstellt.
Mit dieser Veranschaulichung schaut man sich dann an, was M aus den Basisvektoren so macht:
 = M \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array} \right)
<br />
)
sowie
 = M \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array} \right)
<br />
)
Den Rest der Aufgabe überlasse ich dir zur Übung.
Zuletzt bearbeitet von Telefonmann am 11. Nov 2011 08:53, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18094
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| TomS Verfasst am: 11. Nov 2011 08:45 Titel: |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | ... wenn man schon mal weiß, dass M einfach Rotationen beschreibt. ... |
Das ist im allgemeinen Fall für beliebige a,b,c,d eben gerade nicht so; ein Ziel der Aufgabe ist ja, zu verstehen, warum das so sein muss sowie einschränkende Bedingungen für a,b,c,d zu finden, so dass dies gilt.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 11. Nov 2011 08:56 Titel: |
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Hallo Tom,
danke für den Hinweis. Habe meinen obigen Text entsprechend ergänzt. Trotzdem finde ich die Aufgabe ohne diese Veranschaulichung ziemlich "ätzend". Dass die Veranschaulichung selbst durchaus "erlaubt" ist, zeigt IMHO der Hinweis aus der Aufgabe und eben genau diese Einschränkung läßt in euklidischen Räumen (auch rein anschaulich) nur Drehungen zu. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18094
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| TomS Verfasst am: 11. Nov 2011 09:20 Titel: |
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Ich kenne den Hintergrund nicht, aber 'ätzend' könnte schon stimmen
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 11. Nov 2011 09:33 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich kenne den Hintergrund nicht |
Bin ebenfalls Physiker.
| Zitat: | | aber 'ätzend' könnte schon stimmen |
Von mir aus auch langweilig. Stures Ausrechnen fand ich noch nie übermäßig interessant.
Gruß T. |
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