energie levels bei räumlich veränderlichem potential

wandbasilisk · Anmeldungsdatum: 26.09.2011 Beiträge: 18

Hey,

ich habe folgende aufgabe gegeben und komme nicht so recht weiter:
bei räumlich konstantem potential kann man mithilfe der tatsache, dass ein vielfaches von

in die klassisch erlaubten regionen hineinpassen muss, die energie levels abschätzen (z.b teilchen im kasten) Wie würden sie dieses prinzip auf räumlich veränderliche potentiale verallgemeinern (tipp: denke k(x)und nicht

)?

Benutzen sie diese idee, um die energie levels für rb im potential V(x)=b*|x| abzuschätzen. b=14mK/cm

ich weiß leider nicht so recht, wie ich an diese aufgabe herangehen soll.

lg

semoi · Anmeldungsdatum: 20.12.2011 Beiträge: 82

Servus,

die Aufgabe ist leider nicht klar formuliert, weshalb ich hier ein wenig rum rate. Vielleicht ist es aber so gemeint:

1) In einem (eindimensionalem) Kastenpotential (!) der Länge L erhalten die Energien der Eigenmoden als

.
Schreiben wir dies mit Hilfe des Wellenvektors, so finden wir

,
wobei die Wellenvektoren der Eigenmoden durch

gegeben sind.

2) Machen wir das gleiche für das lineare Potential,

, so erhalten wir

.
Hier habe ich den Ort im Potential durch den Wellenvektor ausgedrückt:

. Die Gleichung für die Energie,

, ist sehr anschaulich: Für kleine Abstände ist der kinetische Anteil groß und der potential Anteil gering. Für große Abstände ist es gerade umgekehrt. Minimieren wir die Energie, so sollten wir den Wellenvektor des Grundzustandes finden:

.
Ob jedoch das Spektrum durch

gut genähert wird weiß ich leider nicht. Ich glaube jedoch, dass es eine analytische Lösung für das Potential gibt. Schaue am besten in einem QM-Buch nach.
Gruß,
Semoi

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

semoi · Anmeldungsdatum: 20.12.2011 Beiträge: 82

Servus,

Es gibt eine exakte Lösung für dieses Problem. Insofern ist WKB absolut überflüssig. Was jedoch am wichtigsten ist: Es geht hier nicht darum irgendeine Lösung zu finden, sondern die obige Abschätzung hinzubekommen.

Gruß,
Semoi