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"Ein Loch ist im Eimer"
 
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Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 17. Jun 2011 17:22    Titel: "Ein Loch ist im Eimer" Antworten mit Zitat

hallo.

Ein Eimer der Masse M, der gefüllt mit Wasser der Masse m ist, wird aus einem Brunnen hochgezogen. Der Eimer hat ein Loch auf der Seite und verliert dabei Wasser. Innerhalb der Zeit T verliert er sein gesamtes Wasser und erreicht die das Ende vom Brunnen NICHT. Gezogen wurde so, dass die Beschleunigung am Anfang, also wo das Wasser noch drinnen war, gerade null war. Nun soll man seine Endgeschwindigkeit nach der Zeit T ausrechnen.

Wie setze ich da an? Also ich habe die Masse des Wassers als eine veränderliche Masse in Abhängigkeit der Zeit T betrachtet Fz ist die Zugkraft. Zum Zeitpunkt t=0 herrscht Gleichgewicht. Dann als man beginnt zu ziehen verliert der Eimer Wasser und gewinnt an Beschleunigung. m(T)=0, da das ganze Wasser jetzt weg ist. Nun weiß ich nicht weiter. Wenn ich einfach mit rechne (Werte sind gegeben) dann kommt eine sehr hohe Beschleunigung raus (um die 30 m/s²). Für einen Eimer der gerade mal 5kg wiegt ist das aber verdammt viel.
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 17. Jun 2011 19:22    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, in der Angabe fehlt, dass die hochziehende Kraft F konstant bleibt.

Betrachte die Masse des Wassers in Abhängigkeit von t (nicht von T)!

Die hochziehende Kraft ist dann F= (M+m)g nicht [M+m(t)]g

Ermittle zunächst die Beschleunigung a(t) und damit dann die Geschwindigkeit v(T).
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 17. Jun 2011 19:29    Titel: Antworten mit Zitat

Wie soll ich a(t) berechnen? Wenn ich einfach a=(m+M)g/M rechne kommt 29,43 m/s² raus was sehr viel ist. Wahrscheinlich geht das anders.
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 17. Jun 2011 19:38    Titel: Antworten mit Zitat

Als ersten Schritt musst du die Gesamtmasse in Abhängigkeit von t bestimmen.

Für t=0 ist die Masse (M+m)
Wie groß ist die Masse nach t Sekunden?
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 17. Jun 2011 19:43    Titel: Antworten mit Zitat

Also nach t Sekunden ist die Gesamtmasse M+m(t). Ich weiß ja nicht wie stark die Masse m abnimmt. Ich weiß aber, dass m(t=T)=0.
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 17. Jun 2011 19:52    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, es ist anzunehmen, dass das Wasser gleichmäßig ausströmt.
Dreisatz:
in T Sekunden strömen m kg aus.
in t Sekunden strömen dann x kg aus.

Weiters: wenn x ausgeströmt sind, wieviel bleibt dann im Eimer?
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 17. Jun 2011 19:56    Titel: Antworten mit Zitat

m-x bleiben dann noch im Eimer.
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 17. Jun 2011 20:05    Titel: Antworten mit Zitat

Du nusst aber schon x durch t und T ausdrücken!
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 17. Jun 2011 20:08    Titel: Antworten mit Zitat

hm... x=m(t). Also ist m-m(t)= was im Eimer ist. Wie soll ich das durch T ausdrücken? bei T ist m(T)=m
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 17. Jun 2011 20:12    Titel: Antworten mit Zitat

Ich muss mich wiederholen:

in T Sekunden strömen m kg aus.
in t Sekunden strömen dann x kg aus.

Wie groß ist x?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 18. Jun 2011 03:17    Titel: Antworten mit Zitat

Sicher nicht sehr zielführend, aber der Wasserauslauf durchs Loch dürfte von der Beschleunigung abhängen: http://de.wikipedia.org/wiki/Ausflussgeschwindigkeit
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 18. Jun 2011 07:00    Titel: Antworten mit Zitat

@franz,
da hast du vollkommen Recht.
Ich bin von einer konstanten Ausströmgeschwindigkeit ausgegangen, da sogar diese vereinfachende Annahme dem Rafael schon genügend Schwierigkeiten zu bereiten scheint.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3178
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 18. Jun 2011 10:47    Titel: Antworten mit Zitat

für eine nicht konstante Ausflussgeschwindigkeit fehlen Angaben.

zum Beispiel die Höhe und die Form des Eimers.

somit kann man das eigentlich nur nach packos weg machen
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 18. Jun 2011 15:57    Titel: Antworten mit Zitat

Nur die Masse des Wasses, des Eimers und die Zeit T ist gegeben. Sonst nichts.
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 18. Jun 2011 16:03    Titel: Antworten mit Zitat

Rafael, hast du denn noch immer nicht das x herausbekommen?
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 18. Jun 2011 16:05    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich könnte x durch das Verhältnis ausrücken. Also:
Aber ich kenne ja t nicht.
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 18. Jun 2011 16:14    Titel: Antworten mit Zitat

t ist eine Variable. Sie läuft von t=0 bis t=T.

m*t/T ist also die ausgelaufene Wassermenge bis zum Zeitpunkt t.

Wie groß ist denn dann zu diesem Zeitpunkt die Wassermenge im Eimer?
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 18. Jun 2011 16:19    Titel: Antworten mit Zitat

Die Wassermenge ist dann...
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 18. Jun 2011 16:33    Titel: Antworten mit Zitat

Zum Zeitpunkt t:
Welche Gesamtmasse muss hochgezogen werden?
Welche Kräfte wirken (Gravitationskraft =? ; Seilkraft =?)
Wie groß ist daher die Resultierende Kraft?
Wie groß ist zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung?
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 18. Jun 2011 16:44    Titel: Antworten mit Zitat

Gesamtmasse ist: M+m(1- t/T)
Zu den Kräften: Die Gravitationskraft ist: (M+m(1- t/T))*g=Fg
Seilkraft: (M+m)*g=Fs die bleibt konstant. War ja vorher im Gleichgewicht.
Resultierende Kraft: Fs-Fg= m*g*(t/T)=Fges. M kürzt sich dabei weg
Beschleunigung ist ja dann: Fges=m(oder M?)*a
a=[m*g*(t/T)]/m(oder M?)
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 18. Jun 2011 16:55    Titel: Antworten mit Zitat

m oder M ???

Die resultierende Kraft muss doch die Gesamtmasse beschleunigen!

Ergibt a = ?
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 18. Jun 2011 16:59    Titel: Antworten mit Zitat

ok. Also ist a=(m*g)/[M+m(1-t/T)]
Aber die Gesamtmasse wird doch mit der Zeit kleiner. Wie soll ich denn da noch die Beschleunigung ausrechnen? Integrieren?
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 18. Jun 2011 17:16    Titel: Antworten mit Zitat

Wie kommst du denn auf so ein a?

Es ist doch:
a = Gesamtkraft / Gesamtmasse

Hast du denn in der Aufgabe konkrete Werte gegeben?
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 18. Jun 2011 17:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe nur die Masse des Wassers m=10kg, die Masse des Eimers M=5kg und die Zeit T=5s gegeben. Sonst nichts. Die Beschleunigung ist doch zuerst 0. Die Gesamtmasse die dann übrig bleibt ist ja nur der Eimer.
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 13945

Beitrag GvC Verfasst am: 18. Jun 2011 17:44    Titel: Antworten mit Zitat

Rafael91 hat Folgendes geschrieben:
Die Gesamtmasse die dann übrig bleibt ist ja nur der Eimer.


Aber erst am Ende des Vorgangs, wenn der Eimer oben angekommen ist. Davor ist die Masse von Eimer plus Wasser veränderlich und damit auch die Beschleunigung. Das Zeitintegral der Beschleunigung von t=0 bis t=T ergibt die Geschwindigkeit am Ende des (erfolglosen) Schöpfvorgangs.
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 18. Jun 2011 17:52    Titel: Antworten mit Zitat

Ok. Wusst ich dochs dass ich hier integrieren muss. Aber wie lautet dann das Integral?
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 18. Jun 2011 17:53    Titel: Antworten mit Zitat

Rafael,
ich glaube, du hast die Aufgabe noch immer überhaupt nicht verstanden.
Die Beschleunigung a die du berechnen sollst ist variabel, also a(t).

Wie du mit solchen Kenntnissen das Integral für die Geschwindigkeit berechnen sollst, ist mir ein Rätsel.
(Ich erhalte Endgeschwindigkeit = 31,78 m/s)
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 18. Jun 2011 18:13    Titel: Antworten mit Zitat

Wie sieht denn dein Integral aus? Ich bekomme 35,1 m/s raus.

Update: Habe das Integral geändert und ist ziemlich kompliziert geworden. Was aber rauskam sind "nur" 0,69 m/s. also ziemlich wenig iwie.
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 19. Jun 2011 08:53    Titel: Antworten mit Zitat

Rafael,
also wenn zum Zeitpunkt t
die Kraft = g*m*t/T
und die Masse = M+m-m/T*t ist, dann ist die Bescleunigung

a(t) = g*m*t / ( T*M + T*m - m*t)

und die Endgeschwindigkeit


Ich glaube aber kaum, dass du dieses Integral lösen kannst.
Setze deine Werte ein:
das ergibt a(t) = 98,1*t/(75-10*t) (wenn ich mich nicht verrechnet habe)
Diese Integral kannst du (vielleicht) lösen.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 19. Jun 2011 11:16    Titel: Antworten mit Zitat

Entschuldigung bitte, wenn ich (als interessierter Leser) nochmal dazwischen quatsche!

Abgesehen davon, daß wir noch immer nicht den Originaltext der Aufgabe haben, auch eine gleichförmige Ausströmung angenommen und die ungünstigen Bezeichnungen beiseite: Was läßt sich plausibel über die Zugkraft annehmen? Mangels anderer Information als a(0) = 0 würde ich spekulieren, daß sie konstant und gleich dem Anfangsgewicht ist. Der Rest (Integration) wäre dann von der Sache her klar. grübelnd

Zur Illustration: Gesamtmasse, beschrieben als ,
wo sich k durch den leeren Eimer ergibt und damit
.
Rafael91



Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 194

Beitrag Rafael91 Verfasst am: 19. Jun 2011 16:14    Titel: Antworten mit Zitat

Wo bleibt bei dir die Masse vom Eimer M? Die Aufgabe ist sehr konstruiert. Also erwartet nicht, dass das irgendwie der Wirklichkeit entspricht.

Also bei mir sieht das Integral folgendermaßen aus:
Zum integrieren wirds schwer. Deswegen im Internet einen online "Integrator" verwenden. Alles eingesetzt und integriert kommt bei mir 35,1m/s raus.

Die Beschleunigung ist ja a=F/M also Zugkraft / Gesamtmasse. Zugkraft ändert sich nicht = (M+m)*g. Die Gesamtmasse ändert sich mit der Zeit also: M+m(1-t/T). Also bleibt nach T die Masse M übrig, also nur noch die Masse vom Eimer, da das Wasser jetzt weg ist. Und das hab ich eben integriert.
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 19. Jun 2011 19:01    Titel: Antworten mit Zitat

@franz,
bitte keine neuen Variablen einführen oder zumindest erklären, was sie bedeuten. Was ist k ? Was ist m0 ?

@Rafael, könntest du erklären, wie du auf den Integranden kommst? Er muss doch gleich a(t) sein!
fuss



Anmeldungsdatum: 25.05.2010
Beiträge: 519

Beitrag fuss Verfasst am: 19. Jun 2011 19:19    Titel: Antworten mit Zitat

rafael, du hast dabei noch vergessen, dass wir uns auf der Erde befinden Augenzwinkern
Und das Integral wird ganz übersichtlich, wenn du das konstante Zeug hinters Integral ziehst und im Nenner ein bisschen ausklammerst.
(dazu solltest du jedenfalls noch wissen, was die Stammfunktion von 1/x ist)
Packo
Gast





Beitrag Packo Verfasst am: 19. Jun 2011 19:44    Titel: Antworten mit Zitat

Rafael91 hat Folgendes geschrieben:
Die Beschleunigung ist ja a=F/M also Zugkraft / Gesamtmasse.


Das ist falsch!
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 19. Jun 2011 22:55    Titel: Antworten mit Zitat

Packo hat Folgendes geschrieben:
Endgeschwindigkeit = 31,78 m/s

Bestätigung smile
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3178
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 20. Jun 2011 15:34    Titel: Antworten mit Zitat

und jetzt die Preisfrage, wie müsste der Behälter aussehen (Form) und welche Füllstandshöhe hat er, damit die Ausflussgeschwindigkeit die ganze Zeit konstant bleibt =?.
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