"Ein Loch ist im Eimer"

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

hallo.

Ein Eimer der Masse M, der gefüllt mit Wasser der Masse m ist, wird aus einem Brunnen hochgezogen. Der Eimer hat ein Loch auf der Seite und verliert dabei Wasser. Innerhalb der Zeit T verliert er sein gesamtes Wasser und erreicht die das Ende vom Brunnen NICHT. Gezogen wurde so, dass die Beschleunigung am Anfang, also wo das Wasser noch drinnen war, gerade null war. Nun soll man seine Endgeschwindigkeit nach der Zeit T ausrechnen.

Wie setze ich da an? Also ich habe die Masse des Wassers als eine veränderliche Masse in Abhängigkeit der Zeit T betrachtet

Fz ist die Zugkraft. Zum Zeitpunkt t=0 herrscht Gleichgewicht. Dann als man beginnt zu ziehen verliert der Eimer Wasser und gewinnt an Beschleunigung. m(T)=0, da das ganze Wasser jetzt weg ist. Nun weiß ich nicht weiter. Wenn ich einfach mit

rechne (Werte sind gegeben) dann kommt eine sehr hohe Beschleunigung raus (um die 30 m/s²). Für einen Eimer der gerade mal 5kg wiegt ist das aber verdammt viel.

Packo · Gast

Ich denke, in der Angabe fehlt, dass die hochziehende Kraft F konstant bleibt.

Betrachte die Masse des Wassers in Abhängigkeit von t (nicht von T)!

Die hochziehende Kraft ist dann F= (M+m)g nicht [M+m(t)]g

Ermittle zunächst die Beschleunigung a(t) und damit dann die Geschwindigkeit v(T).

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Wie soll ich a(t) berechnen? Wenn ich einfach a=(m+M)g/M rechne kommt 29,43 m/s² raus was sehr viel ist. Wahrscheinlich geht das anders.

Packo · Gast

Als ersten Schritt musst du die Gesamtmasse in Abhängigkeit von t bestimmen.

Für t=0 ist die Masse (M+m)
Wie groß ist die Masse nach t Sekunden?

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Also nach t Sekunden ist die Gesamtmasse M+m(t). Ich weiß ja nicht wie stark die Masse m abnimmt. Ich weiß aber, dass m(t=T)=0.

Packo · Gast

Ich denke, es ist anzunehmen, dass das Wasser gleichmäßig ausströmt.
Dreisatz:
in T Sekunden strömen m kg aus.
in t Sekunden strömen dann x kg aus.

Weiters: wenn x ausgeströmt sind, wieviel bleibt dann im Eimer?

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

m-x bleiben dann noch im Eimer.

Packo · Gast

Du nusst aber schon x durch t und T ausdrücken!

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

hm... x=m(t). Also ist m-m(t)= was im Eimer ist. Wie soll ich das durch T ausdrücken? bei T ist m(T)=m

Packo · Gast

Ich muss mich wiederholen:

in T Sekunden strömen m kg aus.
in t Sekunden strömen dann x kg aus.

Wie groß ist x?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Sicher nicht sehr zielführend, aber der Wasserauslauf durchs Loch dürfte von der Beschleunigung abhängen: http://de.wikipedia.org/wiki/Ausflussgeschwindigkeit

Packo · Gast

@franz,
da hast du vollkommen Recht.
Ich bin von einer konstanten Ausströmgeschwindigkeit ausgegangen, da sogar diese vereinfachende Annahme dem Rafael schon genügend Schwierigkeiten zu bereiten scheint.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

für eine nicht konstante Ausflussgeschwindigkeit fehlen Angaben.

zum Beispiel die Höhe und die Form des Eimers.

somit kann man das eigentlich nur nach packos weg machen

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Nur die Masse des Wasses, des Eimers und die Zeit T ist gegeben. Sonst nichts.

Packo · Gast

Rafael, hast du denn noch immer nicht das x herausbekommen?

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Also ich könnte x durch das Verhältnis ausrücken. Also:

Aber ich kenne ja t nicht.

Packo · Gast

t ist eine Variable. Sie läuft von t=0 bis t=T.

m*t/T ist also die ausgelaufene Wassermenge bis zum Zeitpunkt t.

Wie groß ist denn dann zu diesem Zeitpunkt die Wassermenge im Eimer?

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Die Wassermenge ist dann...

Packo · Gast

Zum Zeitpunkt t:
Welche Gesamtmasse muss hochgezogen werden?
Welche Kräfte wirken (Gravitationskraft =? ; Seilkraft =?)
Wie groß ist daher die Resultierende Kraft?
Wie groß ist zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung?

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Gesamtmasse ist: M+m(1- t/T)
Zu den Kräften: Die Gravitationskraft ist: (M+m(1- t/T))*g=Fg
Seilkraft: (M+m)*g=Fs die bleibt konstant. War ja vorher im Gleichgewicht.
Resultierende Kraft: Fs-Fg= m*g*(t/T)=Fges. M kürzt sich dabei weg
Beschleunigung ist ja dann: Fges=m(oder M?)*a
a=[m*g*(t/T)]/m(oder M?)

Packo · Gast

m oder M ???

Die resultierende Kraft muss doch die Gesamtmasse beschleunigen!

Ergibt a = ?

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

ok. Also ist a=(m*g)/[M+m(1-t/T)]
Aber die Gesamtmasse wird doch mit der Zeit kleiner. Wie soll ich denn da noch die Beschleunigung ausrechnen? Integrieren?

Packo · Gast

Wie kommst du denn auf so ein a?

Es ist doch:
a = Gesamtkraft / Gesamtmasse

Hast du denn in der Aufgabe konkrete Werte gegeben?

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Ich habe nur die Masse des Wassers m=10kg, die Masse des Eimers M=5kg und die Zeit T=5s gegeben. Sonst nichts. Die Beschleunigung ist doch zuerst 0. Die Gesamtmasse die dann übrig bleibt ist ja nur der Eimer.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Ok. Wusst ich dochs dass ich hier integrieren muss. Aber wie lautet dann das Integral?

Packo · Gast

Rafael,
ich glaube, du hast die Aufgabe noch immer überhaupt nicht verstanden.
Die Beschleunigung a die du berechnen sollst ist variabel, also a(t).

Wie du mit solchen Kenntnissen das Integral für die Geschwindigkeit berechnen sollst, ist mir ein Rätsel.
(Ich erhalte Endgeschwindigkeit = 31,78 m/s)

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Wie sieht denn dein Integral aus? Ich bekomme 35,1 m/s raus.

Update: Habe das Integral geändert und ist ziemlich kompliziert geworden. Was aber rauskam sind "nur" 0,69 m/s. also ziemlich wenig iwie.

Packo · Gast

Rafael,
also wenn zum Zeitpunkt t
die Kraft = g*m*t/T
und die Masse = M+m-m/T*t ist, dann ist die Bescleunigung

a(t) = g*m*t / ( T*M + T*m - m*t)

und die Endgeschwindigkeit

Ich glaube aber kaum, dass du dieses Integral lösen kannst.
Setze deine Werte ein:
das ergibt a(t) = 98,1*t/(75-10*t) (wenn ich mich nicht verrechnet habe)
Diese Integral kannst du (vielleicht) lösen.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Entschuldigung bitte, wenn ich (als interessierter Leser) nochmal dazwischen quatsche!

Abgesehen davon, daß wir noch immer nicht den Originaltext der Aufgabe haben, auch eine gleichförmige Ausströmung angenommen und die ungünstigen Bezeichnungen beiseite: Was läßt sich plausibel über die Zugkraft annehmen? Mangels anderer Information als a(0) = 0 würde ich spekulieren, daß sie konstant und gleich dem Anfangsgewicht ist. Der Rest (Integration) wäre dann von der Sache her klar. grübelnd

Zur Illustration: Gesamtmasse, beschrieben als

,
wo sich k durch den leeren Eimer ergibt

und damit

.

Rafael91 · Anmeldungsdatum: 17.05.2011 Beiträge: 194

Wo bleibt bei dir die Masse vom Eimer M? Die Aufgabe ist sehr konstruiert. Also erwartet nicht, dass das irgendwie der Wirklichkeit entspricht.

Also bei mir sieht das Integral folgendermaßen aus:

Zum integrieren wirds schwer. Deswegen im Internet einen online "Integrator" verwenden. Alles eingesetzt und integriert kommt bei mir 35,1m/s raus.

Die Beschleunigung ist ja a=F/M also Zugkraft / Gesamtmasse. Zugkraft ändert sich nicht = (M+m)*g. Die Gesamtmasse ändert sich mit der Zeit also: M+m(1-t/T). Also bleibt nach T die Masse M übrig, also nur noch die Masse vom Eimer, da das Wasser jetzt weg ist. Und das hab ich eben integriert.

Packo · Gast

@franz,
bitte keine neuen Variablen einführen oder zumindest erklären, was sie bedeuten. Was ist k ? Was ist m0 ?

@Rafael, könntest du erklären, wie du auf den Integranden kommst? Er muss doch gleich a(t) sein!

fuss · Anmeldungsdatum: 25.05.2010 Beiträge: 519

rafael, du hast dabei noch vergessen, dass wir uns auf der Erde befinden Augenzwinkern

Und das Integral wird ganz übersichtlich, wenn du das konstante Zeug hinters Integral ziehst und im Nenner ein bisschen ausklammerst.
(dazu solltest du jedenfalls noch wissen, was die Stammfunktion von 1/x ist)

Packo · Gast

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

und jetzt die Preisfrage, wie müsste der Behälter aussehen (Form) und welche Füllstandshöhe hat er, damit die Ausflussgeschwindigkeit die ganze Zeit konstant bleibt =?.