Fouriertransformation für den realen Doppelspalt

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Habe hier eine Aufgabe aus dem Bereich der Optik:

"Für die Fouriertransformierte einer Funktion gilt

a) Berechnen sie dieses Fourierintegral für den realen Doppelspalt (Rechteckfunktion mit Höhe h) mit der Spaltbreite b und dem Abstand a.

b) Alternativ lässt sich diese Fouriertransformation auch als Faltung des Einfachspaltes mit dem idealen Doppelspalt beschreiben:

Berechnen sie dieses, wenn gilt:

"

Meine Ideen:

Bei Fouriertransformationen sieht es bei mir allgemein noch sehr dürftig aus. Wir haben es nicht wirklich behandelt, ich verstehe auch nicht ganz, warum wir die Aufgabe so aus heiterem Himmel gestellt bekommen.
Jedenfalls verstehe ich, dass man prinzipiell jede beliebige Funktion, die stetig ist etc. auf einem gewissen Intervall durch eine Kombination aus Sinus und Kosinus annähern kann. Ich habe es aber nie selbst durchgerechnet.

Das letzte Mal, als ich vom Doppelspalt gehört habe, war ich in der Schule und ich weiß, dass ich mit diesen Formeln einen realen Doppelspalt nicht beschreiben kann.
Desweiteren habe ich keine Ahnung, wo ich dann eine hinreichend genaue Formel für

herbekommen soll und außerdem ist mir schleierhaft, was

sein soll.

Was ich weiß:

Die Rechtecksfunktion ist definiert als

Und das dyadische Produkt aus der Faltung multipliziert f als Spaltenvektor mit g als Zeilenvektor. In einer praktischen Anwendung außerhalb der Mathematik habe ich das jedoch auch noch nie gesehen.

Ich hoffe echt, jemand kann mir ein paar Tipps geben. Sonst wird es schwierig.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Zunächst will ich die Fehler vom Übungsblatt ausbessern:
Eigentlich ist die Fouriertransformierte

Das Minus im Exponenten der e-Funktion ist in diesem Fall aus Symmetriegründen aber egal. Deswegen ändere ich das nicht mehr in der Rechnung.
Der zweite Fehler betrifft den B-Teil:

Ohne

macht das Ganze keinen Sinn, sonst hätten wir ja nur eine Konstante vorliegen. Die zwei haben die Übungsleiter auch verschlampt. Somit funktioniert die Rechnung. Wenn ich mir ein Koordinatensystem in die Mitte der zwei Spalte lege mit a als Abstand von einer Mitte des Spalts zur anderen Spaltmitte und mit h als Höhe der Spalte und b als Spaltbreite findet man

:

ist die Rechtecksfunktion, die nur dann einen Wert liefert, wenn sozusagen der Spalt an der richtigen Stelle ist.
Jetzt setzt man

in das Integral ein und spaltet es gleich in zwei auf, eins für jeden Spalt. Die Grenzen folgen aus der Anordnung:

Auswerten an den Grenzen liefert

Die komplexen e-Funktionen baue ich mit der Euleridentität zu trigonometrischen Funktionen um, wobei ich kurzzeitig wieder einen Faktor zwei im h verschwinden lasse, was am Schluss bei h steht:

Bei der Faltung muss man dasselbe für den Einzelspalt machen, um nachher die Multiplikation durchführen zu können:

Die Faltung ergibt somit das Ergebnis aus a):