Intensitaet Doppelspalt

OkTennis · Anmeldungsdatum: 29.04.2024 Beiträge: 45

Hallo zusammen,

Die Intensitaet einer Welle ist definiert als den Betrag des zeitlich gemittelten Poynting-Vektors :

Fuer eine ebene Welle

laesst sich dieser Ausdruck auch formal auswerten und man erhaelt:

wobei

die zeitliche gemittelte Energiedichte des elektromagnetischen Felds der ebenen Welle ist.

Kommen wir nun zu meinem Problem:

Bei einem Doppelspalt geht von jeder Oeffnung nach dem Huygenschen Prinzip eine Kugelwelle aus:

r_1 und r_2 sind die Abstaende vom betrachteten Punkt

auf dem Schirm zu den Oeffnungen 1 und 2.

In diversen Lehrbuechern wird die Intensitaet als Betragsquadrat des Felds angegeben:

bzw fuer den Fall dass z.B. Oeffnung 2 zu ist

Ich sehe jedoch nicht wie die hier angegebene Intensitaet mit der Definition

zusammenhaengt. Kugelwellen erfuellen ja nicht die Maxwellbeziehungen, also kann man fuer diese gar keinen Poynting-Vektor (anders als bei ebenen Wellen) angeben, oder?

Was hat es nun mit diesen beiden, mir unterschiedlich erscheinenden, Definitionen der Intensitaet auf sich?

Vielen Dank fuer Eure Hilfe!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Der Poynting-Vektor ist für jedes elektromagnetische Feld mittels dessen Energie-Impuls-Tensor definiert.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_stress%E2%80%93energy_tensor

OkTennis · Anmeldungsdatum: 29.04.2024 Beiträge: 45

Im Fall von ebenen Wellen gilt fuer das B-Feld die Beziehung

Das folgt aus den MAxwellgleichungen.

Aber die Kugelwellen erfuellen nicht die Maxwellgleichungen, deshalb kann ich den Ausdruck

gar nicht auswerten, da ich keinen Ausruck fuer B habe?

Mein Problem ist:

Die Intensitaet ist definiert als

Jedoch wird die Intensitaet in Zusammenhang mit dem Doppelspaltexperiment als

angegeben, und ich sehe nicht wie diese Beziehung mit der Definition vereinbar ist...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

OkTennis · Anmeldungsdatum: 29.04.2024 Beiträge: 45

Aus einer Oeffnung geht die Kugelwelle

aus. Wenn wir annehmen, dass Vakuum ist, muss gelten:

Diese Bedingung ist aber fuer einen konstanten Vektor E_0, der nicht der Nullvektor ist, und beliebige r nicht erfuellbar. Das gilt auch fuer die Beziehung div B = 0 .

Mein eigentliches Problem ist:

Die Intensitaet ist definiert als

Im Zusammenhang mit dem Doppelspaltexperiment wird in diversen Buechern und Onlineartikeln

oder

angegeben. Ich sehe nicht, wie dieser Ausdruck mit der obigen Definition vereinbar ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Ich komme bis heute Abend nicht dazu, mir das anzuschauen.

Vorab zu den Kugelwellen:

Die einfache, von dir vorgeschlagene Welle ist keine Kugelwelle, wenn dein E_0 konstant ist. Wird das so irgendwo so vorgeschlagen?

Für Kugelwellen eines Vektorfeldes gilt folgender topologischer Satz:

Auf einer n-Sphäre existiert für gerades n kein tangentiales, überall stetiges und zugleich nirgends verschwindendes Vektorfeld.

Was du als Kugelwelle konstruieren möchtest, wäre aber so etwas: zunächst das radiale Ortsvektorfeld, auf dem ein in jedem Punkt orthogonales E-Feld konstruiert wird, das dann in diesem Punkt tangential auf der Oberfläche der dort gedachten Kugelschalen ist. Ist dies gegeben, erscheint das Feld in der Umgebung dieses Punktes bzw. innerhalb eines Kegels mit kleinem Öffnungswinkel wie eine radial auslaufende Welle, mit orthogonal zur Ausbreitungsrichtung weisenden elektrischen und magnetischen Feldern. Diese Definition einer Kugelwelle erlaubt Lösungen der Maxwell-Gleichungen.

Um die Maxwellschen Gleichungen zu erfüllen, darf das Feld keine Radialkomponente aufweisen, und es muss über die Oberfläche seine Richtung ändern

d.h. der Vektor weist in theta- und/oder phi-Richtung.

Um dem o.g. "Satz vom Igel" für die 2-dim. Kugeloberfläche zu entgehen, muss das E-Feld über die Kugeloberfläche seinen Betrag ändern, es wird sogar Nullstellen aufweisen.

Derartige Lösungen erscheinen innerhalb genügend kleiner Kegel* und in großer Entfernung jedoch wie ebene Wellen, Feldstärke ~ 1/r, Richtung konstant, also ähnlich wie dein Ansatz.

* nicht in allen Kegeln, insbs. nicht in denen mit Nullstellen.

Zum Poynting-Vektor:

Typische Lösungen weisen folgende Form auf:

Beides führt demnach – bis auf Proportionalitäskonstanten – auf den selben Betrag.

OkTennis · Anmeldungsdatum: 29.04.2024 Beiträge: 45

Danke erstmal.

Wie beweise ich

?

Fuer ebene Wellen ist es klar. Aber aus den Oeffnungen des Doppelspalts gehen leider keine ebene Wellen aus...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442