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mathphys
Anmeldungsdatum: 10.12.2010
Beiträge: 7
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 mathphys Verfasst am: 14. Dez 2010 14:29 Titel: Lineare Operatoren in der Quantenmechanik |
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Servus
Ich habe ein paar Fragen bei denen ich euch bitte mir zu helfen. Ich finde einfach keine Antwort darauf :-(
1.) In der Quantenmechanik werden Observablen durch hermite'sche lineare Operatoren dargestellt. Manchmal lese ich aber auch das Wort Selbstadjungiert anstatt hermitesch. Ist das immer das Selbe oder ist das ein Unterschied?
2.) Da das was man misst Eigenwerte dieser linearen Abbildungen sind und Eigenwert-Gleichungen immer bei Endomorphismen aufgestellt werden, sind die linearen Operatoren auch immer Endomorphismen? Gehe sie also immer wieder in den selben Hilbertraum hinein von dem sie kommen?
3.) Sind lineare Operatoren in der QM auf dem ganzen Hilbertraum oder nur auf Teilmengen davon definiert und wenn letzteres, müssen die was erfüllen, z.B. offen sein oder sonst was?
Vermutlich müssen sie ein Untervektorraum sein und die Vollständigkeit soll dann auch drinnen sein, damit man eine Eins einschieben kann und Skalarprodukt muss man vermutlich auch haben, damit es bra aus dem Dualraum identifiziert gibt. Oder muss man keine Teilmenge als Definitionsbereich der linearen Operatoren haben?
4.) Ein Vektorraum ist nur dann zu seinem Dualraum isomorph, wenn er endlicher Dimension ist. In der Quantenmechanik sind Hilberträume doch schnell unendlich dimensional. Damit ist der zugehörige Dualraum nicht mehr isomorph. Wie kann es dann da die Identifizierung von bra und ket geben? Der Satz von Riesz ist doch verantwortlich für die Identifizierung von bra und ket. Ist dem Satz von Riesz die Dimension egal?
5.) Aus der linearen Algebra weiss ich, dass jede lineare Abbildung einen Kern und ein Bild hat, was wieder Untervektorräume sind. Damit haben lineare Operatoren doch auch einen Kern und ein Bild. Ist das physikalisch relevant und arbeitet man damit sogar irgendwie in der Physik?
6.) Unser Professor empfohl das Lehrbuch von einem Cohen-Tannoudji. Das ist gut, aber fragen wie die oben werden da gar nicht wirklich behandelt und Bücher über Funktionalanalysis machen Sachen, bei denen ich gar keinen Bezug mehr zu dem finde was ich in Physik mache. :-? Könnt ihr mir ein Quantenmechanik Buch nennen, dass obige Themen behandelt? Also die Mathematik dahinter näher beleuchtet?
Vielen Dank |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 14. Dez 2010 20:42 Titel: Re: Lineare Operatoren in der Quantenmechanik |
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| mathphys hat Folgendes geschrieben: | | ... Manchmal lese ich aber auch das Wort Selbstadjungiert anstatt hermitesch. Ist das immer das Selbe oder ist das ein Unterschied? |
Man unterscheidet
symmetrisch: 
hermitesch = symmetrisch und beschränkt
sowie selbstadjungiert, d.h.
| mathphys hat Folgendes geschrieben: | | ... sind die linearen Operatoren auch immer Endomorphismen? Gehe sie also immer wieder in den selben Hilbertraum hinein von dem sie kommen? |
Meist ja, aber es gibt natürlich schon Ausnahmen; z.B. ist die (diskrete) Fouriertransformation eine Abbildung zwischen L²[a,b] und l², im Falle der kontinuierlichen F-Trf. natürlich ein Endomorphismus von L²[-∞,+∞] nach L²[-∞,+∞].
| mathphys hat Folgendes geschrieben: | | 3.) Sind lineare Operatoren in der QM auf dem ganzen Hilbertraum oder nur auf Teilmengen davon definiert und wenn letzteres, müssen die was erfüllen, z.B. offen sein oder sonst was? |
Meist auf dichten Teilmengen. Aber man kann natürlich auch (z.B.) Umkehroperatoren von Operatoren mit nicht-leerem Nullraum betrachten, die wären dann nicht dicht. Mir fällt gerade kein Beispiel dafür ein. Observable sollten eigtl. immer dicht auf dem gesamten Hilbertraum definiert sein.
| mathphys hat Folgendes geschrieben: | | 4.) Ein Vektorraum ist nur dann zu seinem Dualraum isomorph, wenn er endlicher Dimension ist. |
Du meinst identisch, oder? Alle separablen Hilberträume sind isomorph. Was ist mit dem L²[-∞,+∞]? Bei unendlich-dimensionalen Hilberträumen ist der zugehörige Dualraum nicht mehr automatisch identisch.
| mathphys hat Folgendes geschrieben: | | Wie kann es dann da die Identifizierung von bra und ket geben? |
bra's und ket's sind zunächst mal abstrakte Symbole, die man ohne Betrachtung eines konkreten Hilbertraumes hinschreibt. Ich denke nicht, dass man damit eine tiefergehende Aussage verbinden sollte. Man kann jedem ket einen bra zuordnen, aber die so konstruierten bras müssen nicht unbedingt den gesamten Dualraum aufspannen.
| mathphys hat Folgendes geschrieben: | | Der Satz von Riesz ist doch verantwortlich für ... |
Welchen meinst du? Die Wikipedia kennt mehrere.
| mathphys hat Folgendes geschrieben: | | Damit haben lineare Operatoren doch auch einen Kern und ein Bild. Ist das physikalisch relevant und arbeitet man damit sogar irgendwie in der Physik? |
Der Kern kann wichtig sein, wenn man ihn z.B. wegprojizieren muss, um einen (eingeschränkten) umkehrbaren Operator zu erhalten. In der QFT kenne ich die sog. Diracsche Constraint-Quantisierung, in der der physikalische Hilbertraum ausschließlich aus dem Kern eines Operators besteht; z.B. wird das Gaußsche Gesetz
 = 0)
zu einer Constraint-Gleichung mit
|phys\rangle = 0)
In reparametrisierungsinvarianten Theorien (einfachstes Beispiel: relativistisches Teilchen) ist der kanonische Hamiltonian selbst ein Constraint:
|phys\rangle = 0)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 14. Dez 2010 22:06 Titel: |
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Ohne das Buch selbst gelesen zu haben: Thirring: Vol. 3, A course in mathematical physics
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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mathphys
Anmeldungsdatum: 10.12.2010
Beiträge: 7
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| mathphys Verfasst am: 16. Dez 2010 17:22 Titel: |
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Das hat mir weitergeholfen. Danke sehr!  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2010 17:54 Titel: |
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:-)
übrigens gibt es mich auf auf dem Matheplaneten - aber ich habe eigtl.nichts gegen Cross-Postings
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mathphys
Anmeldungsdatum: 10.12.2010
Beiträge: 7
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| mathphys Verfasst am: 16. Dez 2010 18:14 Titel: |
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Ich bin auch pro cross, denn mehr Köpfe bekommen mehr hin  |
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