Gravitationspotential innerhalb der Erde

pfnuesel · Anmeldungsdatum: 04.11.2004 Beiträge: 248 Wohnort: Zürich

Hallo. Folgende Aufgabe bereitet mir Mühe:

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A crazy physicist has dug a tunnel between two opposite points at the surface of the Earth. Then he has put a particle of mass

in the tunnel to study its movement.

a) Calculate the gravitational potential the particle is subjected to and sketch it. Assume the Earth to be homogeneous, i.e.

. Furthermore, we don't take into account the mass lost by the Earth because of the tunnel.

b) Calculate the force the Earth is exerting on the particle.

http://ihp-lx2.ethz.ch/physik1/ubg-16/ubg-16/img7.png

Hint: you may have to evaluate the integral

for

and

.
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Irgendwie komme ich überhaupt nirgendwo hin. Kann mir jemand erklären, was es mit dem Tipp auf sich hat? Der verwirrt mich momentan mehr, als das er mir weiterhilft. Also das Berechnen dürfte kein weiteres Problem sein, aber wie kommt man auf diesen Integral?

Für eure Hilfe bin ich sehr dankbar.

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Huhu,

Ein Ansatz wäre, dass du dir das Potential anguckst dass ein kleines Volumenelement

am Ort

am Ort r verursacht:

Einmal Integrieren:

Und dann das ganze in Kugelkoordinaten transformieren mit:

und

So müsste es ja eigentlich klappen können, ich habs mal probiert hab aber nix auf die Reihe bekriegt. Zunge raus

Vielleicht hast du mehr Glück.

Es kam zumindest ein Integral bei mir raus was so ähnlich aussah.. aber eben auch nur so ähnlich.

Naja, irgendwer weiß hier bestimmt noch nen schöneren Weg. smile

Edit: Hier ist sonst noch mal ne Herleitung: http://www.physik.rwth-aachen.de/~magass/Pspdf/Kraft_und_Potential.ps

pfnuesel · Anmeldungsdatum: 04.11.2004 Beiträge: 248 Wohnort: Zürich

Vielen Dank für deine Antwort.

Um ehrlich zu sein, bin ich immer noch nicht schlauer geworden, werde aber mal deine Tipps übers Wochenende durchgehen.

kurellajunior · Anmeldungsdatum: 16.08.2004 Beiträge: 16 Wohnort: Berlin

In meiner Familie war diese Fragestellung lange Zeit ein beliebtes Frühstücksdiskussionsthema. Irgendwann wurde es abrupt beendet:

- Was passiert mit einem Stein der durch einen gerade durch die Erde gebohrten Tunnel "fällt"?
- Er fällt genau 4,75m tief
- Warum?
- Dort wohnt der kleine grüne Steinbeißer und frißt ihn

Damit war die etwa 25 Jahre währende Frühstücksdiskussion beendet.

Zum Schmunzeln, falls Du veruweifeln solltest Augenzwinkern

Jan

etzwane · Anmeldungsdatum: 23.12.2004 Beiträge: 90 Wohnort: Hude

Vor Jahren habe ich mal zu dem Problem in einem Physikbuch eine Rechnung gesehen, erinner mich aber nur noch an folgendes:

Der Stein würde beschleunigt bis zum Mittelpunkt der Erde fallen und dann verzögert weiter, bis er den gegenüberliegenden Punkt erreicht, dann fällt er wieder zurück usw. Da war sogar ausgerechnet, wie lange so ein Fall bis zur anderen Seite dauern würde.
Ich will damit sagen, man kann es ausrechnen, wenn man weiß, wie es geht.

Andere Meinungen dazu: http://www.stern.de/wissenschaft/natur/531136.html?eid=501586

Hier ist auch eine Rechnung dazu (von quisquam, weiter unten): http://powerforen.de/forum/archive/index.php/t-38280.html
Vielleicht interessiert es ja jemanden ...

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Huhu,

Naja, das Problem ist hier ja erstmal nicht, wie die Bahn des Steins in dem Potential innerhalb einer Vollkugel aussieht, sondern wie überhaupt erstmal das Potential innerhalb einer Vollkugel aussieht.

Also im Tipler leiten die das ganz nett her. Es wird erstmal argumentiert, dass im Inneren einer Hohlkugel die Kraft, die auf ein Teilchen wirkt Null ist. (Weil für jedes Flächensegment auf der einen Seite gibt es ein Flächensegment auf der anderen Seite welches die Kraft genau ausgleicht, denn das entgegengesetzte Flächensegment wird quadratisch mit dem Abstgand größer, aber die Kraft nimmt auch quadratisch mit dem Abstand ab. Hmm mit Bild wird es besser klar unglücklich

).

Naja, wenn man das weiß, dann braucht man nur noch die Kraft betrachten, die von der Kugel ausgeübt wird, auf dessen Oberfläche sich das Teilchen befindet. Dieses hat eine Masse von

Damit ist die Kraft die auf das Teilchen wirkt:

Fürs Potential integriert man einmal die Beschleunigung:

So, hoffe das passt alles. smile

(edit: fehlendes

eingefügt.)
(edit: Das Potential korrigiert.)

Gast

mit

und Kugelsymmetrie gehts ganz einfach. Man muss nur über eine Kugel mit radius r integrieren und schon hat man das Ergebnis.

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Hmm, cool so ist es ja recht schnell ausgerechnet. Aber aus Interesse: Was ist denn das für ne Gleichung, wo kommt die her?

Gast

die Gleichung folgt einfach aus der Analogie zur Elektrostatik.

Henry · Anmeldungsdatum: 16.05.2005 Beiträge: 22

Über den Vergleich mit der Elektrostatik kann man sicherlich streiten. Die einzige Analogie bzw. Gemeinsamkeit besteht letztlich darin, dass beides (zeitunabhängige) Potentialfelder sind. Das Potential lässt sich dann immer als Lösung der Poisson-Gleichung ermitteln, wenn die Quellenverteilung bekannt ist. Für das Gravitationsfeld hat die Poisson-Gleichung die folgende Form:

Diese Gleichung wird auch als Feldgleichung der Newtonschen Gravitationstheorie bezeichnet und stellt somit deren eigentliche Grundgleichung dar.
Die Feldstärke ergibt sich aus dem Potential über folgende Beziehung:

Aus der Poisson-Gleichung folgt somit für die Feldstärke:

Die Kraft auf einem Körper der Masse m ergibt sich dann aus folgender Gleichung:

Henry · Anmeldungsdatum: 16.05.2005 Beiträge: 22

Innerhalb einer Kugel ist Dichte konstant und die Poisson-Gleichung nimmt, da das Potential nur vom Radius r abhängt, in Kugelkoordinaten folgende Form an:

Mit dem Ansatz

erhält man folgende Lösung für das Potential:

Diese Lösung stimmt bis auf die Masse m mit der Lösung von navajo überein. Diese Masse gehört allerdings tatsächlich nicht in die Gleichung, da das Potential der Kugel durch die kleine Masse natürlich nicht beeinflusst wird. Der Fehler ensteht dadurch, dass man zur Ermittlung des Potentials nach der Integration durch m dividieren muss. Dies ergibt sich aus der bereits angegebenen Formel zur Ermittlung der Kraft:

Aus der Integration der Beziehung

erhält man übrigens nicht das Potential sondern die Feldstärke.

Gast

Ich denke navajo hat unter "seinem Potential" da oben auch was anderes verstanden, nämlich Epot seiner Masse m ...

Das Potential dürfte aber nicht

Henry · Anmeldungsdatum: 16.05.2005 Beiträge: 22

Henry · Anmeldungsdatum: 16.05.2005 Beiträge: 22

Mit dem gleichen Vorgehen kann man auch die Lösung für den Außenraum r > R ableiten. Für r > R verschwindet die Massendichte:

Mit dem Ansatz

und der Übergangsbedingung auf der Oberfläche der Kugel

ergibt sich das folgende Potential für r > R:

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hallo!

Wenn ich mich recht erinnere, nimmt die Anziehung mit der Tiefe noch eine Weile zu (vermutlich wegen des Eisenkerns)? Gibt es auch Lösungen mit rho(r)?

mfG, Franz