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henry00
Anmeldungsdatum: 11.10.2010
Beiträge: 39
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 henry00 Verfasst am: 11. Okt 2010 20:39 Titel: Operator und Eigenwertproblem eines zweiniveausystems |
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Hallo zusammen
Ich stecke bei folgender Aufgabe:
 http://666kb.com/i/bnfiqg7ng1vde7bfl.jpg
nun habe ich H einfach mal auf den alpha ket angewendet und bekomm nun folgendes:
und naja, da ja für das skalarprodukt gilt:
bekomm ich nun:
|1>+(c_2*H_{22}+c_1*H_{12})|2>=E_\alpha |\alpha>)
nun komm ich nicht weiter und weiss zudem nicht, ob das, was ich hier mache überhapt mal zum ziel führt. Denn eigentlich möchte ich ja den eigenket alpha und den eigenwert E_alpha bestimmen. In meiner letzten gleichung hab ich aber die alpha kets im skalarprodukt verrechnet...
danke für eure hilfe
henry |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 20:44 Titel: Re: Operator und Eigenwertproblem eines zweiniveausystems |
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|1>+(c_2*H_{22}+c_1*H_{12})|2>=E_\alpha |\alpha>)
ohne Zeilenumrüche in LaTeX
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 21:10 Titel: |
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Also zunächst schreibe ich das Problem kompakt als
und
Einsetzen liefert
 \sum_{k}\psi_{k} \mid k\rangle = 0 )
Projizieren auf Bras sowie Auswerten mittels der Orthonormalität liefert
\psi_m = 0)
also formal
\psi = 0)
wobei h die 2*2 Koeffizientenmatrix von H ist. Damit folgen die Energieeigenwerte E direkt aus der Gleichung
 = 0)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 21:12 Titel: |
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Ich denke, das sollte als Ansatz genügen - sind hofentlich keine schlimmern Fehler drin
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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henry00
Anmeldungsdatum: 11.10.2010
Beiträge: 39
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| henry00 Verfasst am: 11. Okt 2010 21:26 Titel: |
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Hi tom
erstmal besten dank für deine antwort und mühe. Ein paar unklarheiten bleiben aber dennoch...
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Also zunächst schreibe ich das Problem kompakt als
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ist das wirklich korrekt so? Denn man würde doch mit dieser schreibweise beim letzten term in der aufgabenstellung die Indizes vertauschen? Da heisst es nämlich u.a.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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dein psi ist in der aufgabe das alpha, seh ich das richtig?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Projizieren auf Bras sowie Auswerten mittels der Orthonormalität liefert
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von wo nimmst du die information der orthonormalität? Und wie kommst du auf das kroneckerdelta bei E? Von mir aus gesehen müsste das beim H term stehen, da dort ja der bra steht der auf den ket wirkt
liebe grüsse
henry |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 22:33 Titel: |
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| henry00 hat Folgendes geschrieben: | ist das wirklich korrekt so? Denn man würde doch mit dieser schreibweise beim letzten term in der aufgabenstellung die Indizes vertauschen?
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Das ist egal, das du eine Summe über die Nebendiagonalelemente der Matrix h berechnest; die ist laut Aufgabenstellung aber symmetrisch, also kannst du die Indizes m und n (konkret 1 und 2) beliebig vertauschen.
| henry00 hat Folgendes geschrieben: | | dein psi ist in der aufgabe das alpha, seh ich das richtig? |
Ja, sorry, war unnötig, das umzubenennen.
| henry00 hat Folgendes geschrieben: | | von wo nimmst du die information der orthonormalität? |
Streng genommen weiß ich nicht, dass die beiden Zustände orthogonal sind, da es nur heißt "Eigenzustände eines Operators". Na ja, dennoch ist das doch physikalisch sinnvoll,oder?
| henry00 hat Folgendes geschrieben: | | Und wie kommst du auf das kroneckerdelta bei E? Von mir aus gesehen müsste das beim H term stehen, da dort ja der bra steht der auf den ket wirkt |
Es geht um die Projektion
Nun will ich das aber schreiben als Multiplikation einer 2*2 Matrix ) mit einem 2-Vektor ) . Dazu benötige ich in der Eigenwertgleichung die Einheitsmatrix
 = (\delta_{mn}))
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henry00
Anmeldungsdatum: 11.10.2010
Beiträge: 39
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| henry00 Verfasst am: 12. Okt 2010 17:22 Titel: |
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Hallo, ich nochmal 
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es geht um die Projektion
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Das ist der einzige schritt, den ich noch nicht verstanden habe. Sehe ich das richtig, dass du diese gleichung hier:
mit einem <n| bra multiplizierst?. Ich frage mich einfach, wie du diesen ket und den bra, die gleich bei H_nm stehen, wegbekommst...
liebe grüsse henry |
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henry00
Anmeldungsdatum: 11.10.2010
Beiträge: 39
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| henry00 Verfasst am: 12. Okt 2010 17:38 Titel: |
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noch gleich eine andere frage:
Kann ich nicht einfach die kets so schreiben:
und dann hab ich für H direkt:
und dann für die eigenwerte folgende lamdas berechnen:
=\begin{vmatrix} \lambda -H_{11} & H_{12} \\ H_{12}& \lambda -H_{22} \end{vmatrix} =0
<br />
)
le henry |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 12. Okt 2010 18:54 Titel: |
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Bra's und Ket's bekomme ich dadurch weg, dass ich sie durch h durchschieben kann, weil h eine Zahlenmatrix ist.
Deine Komponentendarstellung für |1> und |2> ist natürlich genau meine Darstellung mit der Matrix h. Ja, das passt
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henry00
Anmeldungsdatum: 11.10.2010
Beiträge: 39
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| henry00 Verfasst am: 12. Okt 2010 19:06 Titel: |
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okey super, dann passt das ja 
dann noch was letztes:
Wenn ich die lamdas berechne, bekomme ich offensichtlich 2 EWs raus. In der aufgabe hab ich aber nur einen EW nämlich E_alpha gegeben. Kann ich jetzt eines meiner lamdas (Welches gleich einem recht komplizierten term ist) einfach durch E_alpha ersetzen und dann damit die eigenvektoren berechnen? Oder wie handle ich das mit den beiden Eigenwerten?
ansonsten vielen dank für deine Hilfe
glg
henry |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 12. Okt 2010 20:01 Titel: |
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Du hast ein Zweiniveausystem mit zunächst zwei Basisvektoren |1> und |2>. Du bekommst aus der quadratischne Gleichung zwei Eigenwerte und demnach auch zwei Eigenvektoren. Der "Eigenraum" von H muss ja wieder zweidimensional sin.
Weil H hermitesch ist, sind die beiden Eigenvektoren zu H außerdem orthogonal.
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