Atwoodsche Fallmaschine Seilkraftbeschleunigung

StefanStefan · Gast

Meine Frage:
Hallo community,

Zur Zeit habe ich ein kleines Problem mit der Atwoodschen Fallmaschine, bei dem ich einfach nicht weiter komme. Ich bin zwar nicht neu auf dem Forum, aber neu angemeldet smile

Davor war ich immer fleissig am Mitlesen, bis ich jetzt nicht mehr weiterkomme unglücklich

Von Beruf bin ich Informatiker, habe allerdings in meiner Abiturzeit einen sehr gute Physik-Grundkurs besucht. (Leider nur grundkurs, wie ich später bereute)

Zur Zeit möchte ich meine Physik-Fähigkeiten etwas auffrischen und bin dann vor ca. 1 monat auf dieses Forum gestossen. Zuerst war ich nur am Mitlesen - bis ich folgendes Problem hatte:

Ein Bild von der Atwoodschen Fallmaschine kennt ihr ja bestimmt. Falls nicht, findet ihr hier eins:

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/4/5871_atwood.jpg

Das Errechnen der Kräfte ist natürlich nicht die Herausforderung - das konnte ich auch sehr schnell lösen (war ja auch sehr einfach). Was muss man aber nun rechnen, wenn das Seil mit einbezogen werden soll? Ich habe mich darüber schon informiert, bin aber noch nicht auf einen konkreten Lösungsansatz gestossen. Ausserdem vermute ich, das das Seil eine Länge l=2 meter braucht sowie eine gewisse dichte, um das gewicht zu errechnen. (Mal angenommen, das Seil habe exemplarisch eine Dichte von 0,5 g/kubikzentimeter). Falls man nun die Beschleunigung (a) errechnen möchte, wird ausserdem noch der Faktor t gebraucht.

Mein Problem: Je mehr Seil auf der einen Seite ist, desto schneller fällt es runter - ist ja auch logisch smile

-> es handelt sich um eine expotentielle Funktion. Wie soll das aber in die Gleichung miteinbezogen werden? Und wie komme ich auf a, die Beschleunigung?

Über jegliche Lösungsansätze würde ich mich freuen.

euer Stefan

Meine Ideen:
- expotentielle Funtkion
- rolle hat zur vereinfachung keinen widerstand
- seil muss eine länge haben (zum Beispiel 2meter)
- gewicht des seiles muss berechnet werden (zum beispiel durch die dichte und länge, hier mal als Beispiel 1g/kubikmeter)
- für die Beschleunigung ist die Zeit wichtig: t= 5sec

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hallo Stefan!

Üblicherweise wird bei diesem Gerät die Seilmasse nicht berücksichtigt. Deshalb Zwischenfrage: Handelt es sich sich hier um eine "Lockerungsübung"? Dann könnte man überlegen, wie ein entsprechendes Modell sinnvoll aussehen dürfte. Oder eine konkrete Aufgabe? mfG

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

hier wird ja üblicherweise das Seil über 180 Grad über einen Halbkreis umgelenkt.

Nun dürfte es ja klar sein das sämtliche Massestücke dm des Seils gleich beschleunigen müssen und zwar der gleichen Beschleunigung wie die Massen die man anhängt.

also mseil*a kommt hinzu.

wie sieht es aber mit den Gewichtskräften der Massestücke des Seils auf.

dazu würde ich mir jetzt gedanklich das Seil freischneiden nach dem es die Umlenkrolle verlässt und nur den Bereich der umlenkrolle betrachten.

hier wirken sich natürlich über der Umlenkrolle nur die tangential Komponenten auf die Beschleunigung des Seils aus die Radialen komponenten dienen als Zentripetalkraft bzw der Rest wird von der Umlenkrolle verschluckt. das bedeutet das Seil wird für das Lager leichter je schneller es sich bewegt als es unter stillstand wäre.

Das komplizierteste wäre die Lagerkraft berechnung in x und y.

Da sich die Gewichtskräfte in tangential Richtung jeweils aufheben haben sie in diesen Bereich keine Auswirkung auf die Beschleunigung.

wenn man diesen Gedanken weiter vollzieht zählt nur die Seildifferenz zwischen linker und rechter Seite die man entweder bei Überhang zur rechten Seite hinzu addieren muß oder umgekehrt.

Du mußt dir also nur über den Überhang rechts oder links gedanken machen, also wie er sich mit der Beschleunigung verändert mÜberhang(t)*g und im Endeffekt m*aSeil bei der Gesamtbeschleunigung berücksichigen.

So würde ich das machen

StefanStefan · Gast

Danke für eure Antworten, bei der Aufgabe handelt es sich um eine Lockerungsübung, die ich mir selbst gestellt habe, weil ich meine Physikkenntnisse etwas auffrischen will. Ich würde die Umlenkrolle zunächst vernachlässigen, ich möchte zunächst nur die Beschleunigung der Seile errechnen. Ist sowas auch möglich? Theoretsich gesehen geht ein Seil nach oben und - ohne Umlenkrolle- sofort wieder nach unten. Das gibt es natürlich nur in der Theorie, aber es erleichtert die"Aufgabe" ungemein. Ich würde die Rolle erst später hinzurechnen.

Danke für eure Antworten! Über weitere Tipps würde ich mich freuen.

eurer Stefan

Systemdynamiker · Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 594 Wohnort: Flurlingen

Die Atwoodsche Fallmaschine ist ein Beispiel, bei der die Punktmechanik stark zurecht gebogen werden muss, damit sie noch anwendbar bleibt.

Man kann den Gedankengang aber vereinfachen:

1. Die gesamt Trägheit setzt sich aus beiden Massen, dem Seil und eventuell dem Beitrag der Rolle zusammen: m_tot

2. Die Umlenkrolle zerlegt die Wirkung der Gewichtskraft in links- und rechtsdrehend. Nun legt man die positive Richtung auf die Seite der grösseren Gewichtskraft. Dann gilt eine Art Grundgesetz (Summe aller Gewichtskräfte gleich Masse mal Beschleunigung)

(m_1 - m_2)*g + 2*Massenbelegung*g*x = m_tot*a

Mit Massenbelegung ist hier Masse pro Seillänge gemeint. Weil die Beschleunigung die zweite Ableitung des Ortes x nach der Zeit ist, ergibt sich eine Gleichung, deren Lösung ein konstante Beschleunigung ist, die von einer exponentiell anwachsenden überlagert wird.

Etwas ungenau formuliert, bringt die Atwoodsche Fallmaschine eine Unterscheidung zwischen schwerer Masse (links vom Gleichheitszeichen) und träger Masse.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Versteh nicht was du mit deiner Aussage über die Punktmechanik meinst.

natürlich kann ich auch die Momente betrachten zum Mittelpunkt der Umlenkrolle oder zu irgendeinen Punkt und muß gar nichts gerade biegen, denn in der Punktmechanik gibts ja auch Momente.
Kommt aufselbe resultat.

Ich wolle ihm aber bildlich zeigen das bei Mitbetrachtung der Seilmasse nur die Massendifferenz des Seil zwischen rechts und links zählt und im Endeffekt bei der Trägheit die komplette Seilmasse mitberücksichtigt wird.

Das man den Gedankengang vereinfachen kann ergibt sich wenn man Momente versteht.

Damit du aber überhaupt erst auf deine Gesetzmässigkeiten kommst und verstehst benötigst du die Formeln der Punktmechanik.

Woher hast du die Momentformel, woher hast du die Formeln für das Trägheitsmoment, woher hast du die kinetische Energie bzw die Rotationsenergie, woher hast du die Formeln für den Drehimpuls?
Auf Steintafeln gefunden?

Das hört sich für mich nach verkaufsgespräch an. Ich habe den tollsten Staubsauger der Welt kaufen sie ihn mir ab

StefanStefan · Gast

@VeryApe

Die Formeln habe ich nicht auf irgendwelchen Steintafeln gefunden. Die Formeln sind logisch herzuleiten oder, wenn man das nicht kann, hilft das Internet weiter.

Mit der Punktmechanik meinte ich einfach nur, das man sich auch die Rolle erstmal wegdenken kann. Mein Problem besteht immer noch darin, das

-> je mehr seil rechts ist, um so schneller die beschleunigung

Das man nacher die Gewichtskraft auf eventuelle Gewichtsstücke hinzuaddieren muss, ist klar smile

Wenn man nacher die Beschleunigung a des Seiles graphisch sichtbar machen möchte, kommt eine kurve raus, die eine expotentielle Funktion abbildet. Wie komme ich jetzt aber auf diese Funktion?

Danke für eure (bisherigen) Antworten!

Stefan

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die nun aufgestellte Gleichung ist eine Differentialgleichung, denn das a auf der rechten Seite ist ja die zweite Ableitung von x nach der Zeit.

Diese Differentialgleichung gilt es also zu lösen, wenn man eine Lösung für x(t) = ... finden möchte.

Kennst du schon diverse Methoden, wie man Differentialgleichungen lösen kann? Magst du zum Beispiel mal testen, ob eine Exponentalfunktion für x(t) zu der Differentialgleichung passt, indem du einfach mal eine in die Differentialgleichung einsetzt? Wenns passt, bekommst du dann gleich auch die Werte für die Parameter dieser Exponentialfunktion, die diese DGL erfüllen.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

@Stefan das bezog sich auch nicht auf dich. sondern auf Systemdynamiker, von dem wir die ganze Zeit hören wie schlecht die Punktmechanik ist.

Systemdynamiker · Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 594 Wohnort: Flurlingen

Von schlecht habe ich kein Wort gesagt. Es geht hier um die Zweckmässigkeit. In der reinen Punktmechanik (z.B. unser Planetensystem) bewegen sich Massenpunkte unter ihren gegenseitigen Wechselwirkungen durch den leeren Raum, der selber - ausser über die Trägheit - das Massensystem nicht beeinflusst. Für dieses Modell - und nur für dieses - hat Newton seine Gesetzte aufgestellt. Später hat man dann neben der Gravitation auch noch die elektrische Wechselwirkung zugelassen. Das hat sich auf die Länge nicht bewährt und musste dann von Faraday, Maxwell und anderen korrigiert werden.

Nun wenden wir uns der Atwoodschen Fallmaschine zu. Da kann man im Idealfall zwei Massen ausmachen, die von einem dritten Körper, der Erde, angezogen werden. Zudem tauschen die beiden Massen über die Achse der Maschine uneingeschränkt Impuls mit der Erde aus (Zwangskräfte). Die Bewegungsgleichungen für solche Systeme stellt man am elegantesten mit Hilfe der Lagrange-Mechanik auf. Und so wird es in den meisten Multibody-Simulatoren auch gemacht.

Und nun zur Didaktik: in unseren Schulen werden wie vor über hundert Jahren die Newton-Axiome in Basiskursen eingeführt, obwohl viele didaktische Untersuchungen gezeigt haben, dass weder der Kraft- noch der Beschleunigungsbegriff richtig verstanden wird (vom Wechselwirkungsprinzip ganz zu schweigen). Weil es zur Punktmechanik neben dem schiefen Wurf, dem Satelliten auf Kreisbahn und dem Einmassenschwinger kaum weitere Beispiele gibt, werden andere Systeme, die man vernünftigerweise mit einem andern Ansatz lösen würde, auf die Punktmechanik zurecht gebogen.

Weil die Physik leider in vielen Ausbildungsgängen nur der Selektion dient, könnte man diesen konservativen Standpunkt stillschweigend akzeptieren. Wären da nicht ein paar Dinge, die einem echt Angst einflössen können. Wieso hat man in den siebziger Jahren Autos gebaut, die man heute als fahrbare Särge bezeichnen muss. Wieso ist die Crashtauglichkeit von Personenzügen erst seit ein paar Jahren ein Thema? Ein Grund - unter vielen weiteren - ist das mangelnde Verständnis von Ingenieuren und Ökonomen aber auch von Politikern (Gesetzgebung) für hochdynamische Prozesse.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Das hört sich ja so an wie wenn lauter pfeiffen in Konstruktionsbereich auf die Menschheit losgelassen werden. Augenzwinkern

.

Pfeiffen wirds immer geben in jeden Bereich.

wenn man noch weiter zurück geht als die 70 er jahre war wahrscheinlich nicht mal ein Gurt im Auto drinnen, aber nicht weil man nicht gewußt hätte welche Kräfte da wirken, sondern weil man ein Pfiff auf die Sicherheit gab und weil man nicht an alles denken kann, manches kommt erst mit der Zeit und der Erfahrung und manches wird aus finanziellen Gründen nicht beachtet.

Die Amerikaner bauen wahrscheinlich heute noch ihre Dreckschleudern mit 50 Liter pro 100km und pfeiffen auf die Umweltverschmutzung.

Es mag ja durchaus sein das die Systemdynamik ein gutes Konzept ist. Aber ich finde es doch etwas krass das sie sagen die klassische Mechanik nach Newton sollte man sofort aus den Schulen bannen, denn ich glaub auch nicht das mit der Systemdynamik lauter Genies herumlaufen werden

Was mich betrifft fliege ich wahrscheinlich sogar mit meiner actio reactio Anschauung samt meinen Mathematik schreibweisen in jeden Physikgrundkurs nach Newton durch und in Systemdynamik sowieso, daß muß aber nicht zwangsweise heißen das man mich wo anders nicht versteht und ich nicht auf das richtige Ergebnis komme.

Ich verstand oben generell nicht was sie mit gerade biegen meinten.
Ich muß doch gar nichts gerade biegen ich trag einfach die wirkenden Kräfte ein und betrachte alle Momente um den Mittelpunkt der Umlenkrolle.
Überall wo Kräfte wirken herrscht im Endeffekt ein Impulsfluss(strom), dem einen wird was entzogen dem anderen was dazugegeben. Insofern ist mir ihre Erklärung klar.

Ich finds nur witzig das man in der Systemdynamik von einen Impulsstrom redet, weil ich persönlich die Kräfte als durchreichung sehe, dann müßte ich ja mit der Systemdynamik besser zurecht kommen als mit dem actio reactio Prinzip der Physik genauso wie sagten.

Dabei ist die Dalembertsche Trägheitskraft sozusagen die letzte Stelle sieh entzieht den Strom und speichert ihn in Impuls oder sie liefert Strom aus dem Impulsspeicher reservoir.