Innere Energie Reale Gase

noclue · Gast

Hallo, ich habe eine theoretische Frage zur Inneren Energie der Realen Gase.

Durch das Äquipartitionsgesetz (gleichverteilungssatz) geht hervor, dass die Innere Energie bei einer translatorischen Bewegung (drei Freiheitsgrade) pro Freiheitsgrad 1/2 kT (k, Boltzmannkonst. T, temperatur Kelvin)

Nun gibt es noch bei mehratomigen Molekülen die Freiheitsgrade der Rotation (2 Freiheitsgrade) und der Vibration (1 Freiheitsgrad).

Berechnet man die Innere Energie der Rotation und Vibration auch mit 1/2kT??

Wie ist dann die gesamte Innere Energie? Beim Skript steht etwas von U=5/2kT. Kann das sein, und wenn, wieso?

Danke für alle Hinweise!!

mayap · Anmeldungsdatum: 15.12.2009 Beiträge: 301

Ist schon länger her, dass ich das mal ausgerechnet habe, aber eins weiss ich noch, weil ich da nen Fehler hatte:
Die Vibrationsfreiheitsgrade müssen doppelt gezählt werden, da Schwingungen kinetische als auch potentielle Energie haben.

Allgemein sollte also 7/2 kT rauskommen. Das mit den 5/2 kommt daher, dass 2 Freiheitsgrade im Normalfall energetisch nicht erreichbar sind (quantenmechanik->Anregungsniveaus). Es sind also effektiv nur 5 Freiheitsgrade bemerkbar.

Erklärung findet sich auch hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Freiheitsgrad#Thermodynamik

PS: Ich erinnere mich auch noch, dass in unserm Skript 5/2 ohne jede Begründung stand...sehr frustrierend das ganze smile

noclue · Gast

Danke für die Antwort,

Ich verstehe einfach nicht genau wieso man für alle Freiheitsgrade (egal ob translation, rotation oder vibration) 1/2kT benützen kann.

Denn soweit uns gesagt wurde, ist das die Energie für die Freihseitsgrade der Translationsbewegunen:

Hergeleitet wurde das folgendermassen:

Die mittlere Energie eines Gasatoms beträgt <E> = 1/2 m <v^2> = 3/2 kT

Da v drei Komponenten hat (aus den 3 translationsachsen, denke ich) vx, vy und vz (fett bedeutet Vektor)

gibt es vektor

Daher v^2 = vx^2+vy^2+vz^2

<vx>^2 = <vy>^2 = <vz>^2 = 1/3 <v>^2

daher entspricht die Energie eines Freiheitsgrades der Translationsbewegungen 1/3 der Mittleren Engergie eines Gasatoms, also (1/3) (3/2) kT

E = 1/2 kT

So kommt man nun meiner Meinung nach nur auf die Energie der Freiheitsgrade der Translationsbewegungen. Was ich nicht verstehe, ist ob und, wenn ja, wieso man diese Formel auch für Rotation und Vibration benutzen kann, da man sie ja aus den 3 Raumrichtungen der Translationsbewegungen gerechnet hat und man, wenn es nun mit Rotation und Vibration mehr Freiheitsgrade gibt, die Gesamtenergie 3/2kT nicht durch die Gesamtheit aller Freiheitsgrade (Translation, Rotation und Vibration) teilen muss, was dann nicht 1/2 kT geben würde...

Was denkt ihr? Wo ist der Denkfehler? und müsste die Potentielle Energie nicht auch noch einberechnet werden?

mayap · Anmeldungsdatum: 15.12.2009 Beiträge: 301

Naja, Denkfehler sehe ich nicht unbedingt, aber zur Erklärung, wie man auf die Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrade muss man vielleicht ein wenig anders rangehen:

Betrachten wir einmal ein 2-Atomiges Molekül (min 2 braucht man, da keine Rotation oder Schwingung existiert)

2 Atome = 6 Freiheitsgrade.
Allgemein erwartet man auch, dass diese die doppelte Energie besitzen, wie ein einzelnes.
Anders gesagt, 1/2 kT für jeden Freiheitsgrad.
Wenn du schonmal generalisierte Koordinaten (Lagrangemechanik) verwendet hast, dann stimmst du sicher zu, dass man dies auch mit 3 Translationen des Schwerpunktes, zwei Rotationen und einem Abstand der Atome beschreiben kannst. Es ist also erstmal nichts anderes als eine Koordinatentransformation. Eigentlich nichts als eine Umbenennung der Freiheitsgrade. Wenn nun der Abstand frei einzustellen wäre, wäre es eindeutig, dass dann auch in dieser Beschreibung die Gesamtenergie einfach zwei mal der Gesamtenergie eines Atoms ist, also 6/2 kT.

Nehmen wir erstmal den Abstand wieder weg, der spielt gleih noch eine Sonderrolle, sehen wir, dass das resultierende System eine Energie von 5/2 kT haben muss (als translatorischer Freiheitsgrad trägt der Abstand ja 1/2 kT). Somit fallen auf beide Rotationen zusammen 2/2 kT. Da keine von ihnen irgendwie besonders ist, müssen sie jeweils 1/2 kT haben.

Nun zum Abstand: wäre dieser frei beweglich, würde er tatsächlich mit 1/2 kT beitragen. Wir bennennen ihn allerdings schon mit Schwingungszustand, da er sich eben nicht frei bewegen kann. Allgemein gilt, dass ein Schwinger im zeitlichen Mittel genausoviel kin. Energie trägt, wie potentielle Energie. D.h. sein Anteil zur Inneren Energie ist doppelt so groß wie seine kin. Energie. Diese ist allerdings, wie zuvor angenommen genau 1/2 kT. Das System braucht also nochmal 1/2 kT für die potentielle Energie, um zu schwingen.

Ist jetzt ein wenig sehr ausführlich geworden, aber ich hoffe, es hilft ein wenig und man kann es verstehen, so wie ich es beschrieben habe smile

noclue · Gast

Danke, das macht sehr viel Sinn!!

noch eine Frage: was ist dann mit 5/2 kT?

Wenn ich richtig verstanden habe, dann sind 3/2 kT für die Translationsbewegungen, 2/2 für die Rotation, 1/2 für den Schwingungszustand und 1/2 für die pot. Energie

gäbe zusammen 7/2 kT, was ist mit den 5/2kT oder den 6/2 kT??

thx

mayap · Anmeldungsdatum: 15.12.2009 Beiträge: 301

Es gibt 7/2 kT. 6/2 kT nur, wenn die Atome nicht verbunden sind (also zwei getrennte einzelne Atome.

bei den 5/2 kommt die Quantenmechanik ins Spiel.
Zwei der Freiheitsgrade können im Allgemeinen nicht rein thermisch angeregt werden, da sie auf diskreten Energieniveaus liegen (ich glaube, das war die Schwingung, aber 100%ig sicher bin ich mir nicht) und der Schwingende Zustand bei "normalen" Temperaturen nicht rein thermisch angeregt wird.

Wenn du dich nicht mit Quantenmechanik auskennst, hier eine sehr kurze und einfache Erklärung:

Im Rahmen der Quantenmechanik erkennt man, dass nur quantisierte, dass heist diskrete Energien möglich sind. Die allgemeine Quantisierung ist grob gesagt

. Sämtliche Energiedifferenzen sind ganzzahlige vielfache hiervon.
Das heisst, dass nur energien von 1

möglich sind oder von 2

usw... Insbsondere heisst das, dass es eine minimale Energie gibt, ab der überhaupt etwas passieren kann (Grundzustand)

In "komplexeren" Situationen (z.B. Schwingungen, Rotationen, Translationsbewegungen) können daher nicht alle möglichen Energien auch eingenommen werden. Im allgemeinen sieht es dann so aus, als würden Freiheitsgrade fehlen.

Die kurze Antwort ist: Es wurden Werte gemessen, die auf 5/2 kT hinweisen. Dies führt man auf die Quantisierung der Schwingungszustände (oder Rotationszustände) zurück.

noclue · Gast

Macht Sinn!

Vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen!

noclue · Gast

Macht Sinn!

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