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Nachricht |
Olle
Gast
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 Olle Verfasst am: 07. Nov 2009 23:06 Titel: Plattenkondensator mit Dielektrika |
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Hi,
ich habe folgende Aufgabe:
In einem Plattenkondensator mit Plattenabstand d sind n Dielektrika mit Dicke d1...dn und epsilon1...epsilonn. Die Dielektrika füllen den Kondensator vollständig aus.
a) Kapazität des Kondensators berechnen
Das ist ja noch ganz einfach:
C=summe(epsilon0*epsiloni*A/di)
A ist die Plattenfläche, di die Dicke des i-ten Dielektrikums.
Aber jetzt:
b) Die Schichtdicken gehen gegen 0, epsilon ist kontinuierlich abhängig von x, berechne die Kapazität.
Wie genau muss ich da integrieren? Wenn ich von 0 bis d über epsilon0*epsilon(x)*A/x integriere, bekomm ich nen Problem mit ln(0)...
ausserdem bin ich mir nicht sicher, ob da nicht statt A/x A/(dx) stehen muss, aber dann weiß ich garnicht mehr wie ich das Integral lösen kann.
Ich hoffe ihr versteht mein Problem.
Danke schonmal für alle hilfe! |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 08. Nov 2009 01:19 Titel: |
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| Olle hat Folgendes geschrieben: | Das ist ja noch ganz einfach:
C=summe(epsilon0*epsiloni*A/di) |
Das ist nur dann richtig, wenn die einzelnen Dielektrikumschichten senkrecht zu den Platten stehen, es sich also um eine Parallelschaltung handelt. Denn nur für eine Parallelschaltung gilt, dass die Gesamtkapazität gleich der Summe der Einzelkapazitäten ist. Bei Normalschichtung (Schichten senkrecht zur Feldrichtung, also parallel zu den Kondensatorplaten) handelt es sich um eine Reihenschaltung von Kapazitäten. Dafür gilt, dass sich die Kehrwerte der einzelnen Kapazitäten zum Kehrwert der Gesamtkapazität addieren. Also: Um was für eine Schichtung der Dielektrika handelt es sich?
| Zitat: | | Die Schichtdicken gehen gegen 0, epsilon ist kontinuierlich abhängig von x, berechne die Kapazität. |
Auch hier ist natürlich zunächst zu fragen um welche Schichtung es sich handelt. Ist x die Richtung senkrecht oder parallel zu den Platten.
Wie Du auf ln(0) kommst, ist mir schleierhaft. Kannst Du das erläutern? |
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Olle
Gast
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| Olle Verfasst am: 08. Nov 2009 12:21 Titel: |
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erstmal mein fehler, die dielektrika sind parallel zu den kondensatorplatten, also für a) dann:
C=summe((epsilon0*epsiloni*A/di)^-1)=summe(di/(epsilon0*epsiloni*A)
dann wäre für b)
C=integral von 0 bis d (x/(epsilon0*epsilon(x)*A))dx
oder wird aus dem x direkt ein dx?
PS: den ln(0) hätte ich gehabt, wenn ich das alte integral ausrechne und die 0 einsetze, aber das hab ich jetzt nicht mehr... |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 08. Nov 2009 12:47 Titel: |
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| Olle hat Folgendes geschrieben: | | C=summe((epsilon0*epsiloni*A/di)^-1)=summe(di/(epsilon0*epsiloni*A) |
Nee, so geht das nicht! Du kannst doch eine physikalische Größe (Kapazität) nicht ihrem Kehrwert gleichsetzen! Du musst folgendermaßen vorgehen:
1/C = d1/(eps1*A) + d2/(eps2*A) + d3/(eps3*A) + ...
1/(eps0*A) ausklammern:
1/C = [1/(eps0*A)]*(d1/epsr1 + d2/epsr2 + d3/epsr3 + ...) = [1/(eps0*A)]*summe(di/epsri)
Kehrwert bilden:
C = eps0*A*[1/summe(di/epsri)]
Für den zweiten Teil der Aufagbe schreibst Du Dir am besten erstmal die Funktionsgleichung eps = f(x) auf, damit Du weißt, welche Funktion Du letztlich zu integrieren hast. Auch hier musst Du über den Kehrwert der Kapazität gehen, den man auch als dielektrischen Widerstand bezeichnet. Du schreibst also erstmal den differentiell kleinen dielektrischen Widerstand dRdi an der Stelle x auf und summierst alle dRdi von x=0 bis x=d auf. Die Summation differentiell kleiner Größen nennt man auch Integration. Abschließend musst Du natürlich den Kehrwert nehmen, um die Kapazität zu bekommen. |
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Olle
Gast
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| Olle Verfasst am: 08. Nov 2009 12:59 Titel: |
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ich glaube, wir nähern uns meinem problem, was wahrscheinlich größtenteils daraus besteht, dass ich planlos bin...
also ich habe jetzt meine funktion epsilon(x)=(b-a)/d*x*a
und für eine Kapazität: C=eps0*eps(x)*A/d, wobei das d unendlich klein ist.
und Cges=1/summe(1/Ci). dann wird doch aus der summe das integral, oder? Ein Problem ist von mir ist, dass ich nicht weiß, ob ich aus dem d aus der formel für eine kapazität einfach ein x im integral mache, oder ob das direkt mein dx ist.
muss jetzt leider arbeiten, deshalb kann ich erst heute abend antworten, werde aber dann für jede geleistete hilfe dankbar sein  |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 08. Nov 2009 13:37 Titel: |
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| Olle hat Folgendes geschrieben: | | also ich habe jetzt meine funktion epsilon(x)=(b-a)/d*x*a |
Das ist falsch! Es muss heißen:
eps(x) = (b-a)*x + a
Dabei ist b = eps(d) an der Stelle x = d und b = eps(0) an der Stelle x = 0
Und dann mach doch das, was ich Dir vorgeschlagen habe. Dann ergibt sich doch alles andere automatisch. Der differentiell kleine dielektrische Widerstand an der Stelle x hat eine Längsausdehnung dx, eine Fläche A und eine Dielektrizitätskonstante eps(x). (eps(x) = s.o.) An der Stelle x ist er also
dRdi = dx/[eps(x)*A]
Das ist doch die ganz normale Widerstandsformel: Länge durch (dielektrische) Leitfähigkeit und Fläche.
Jetzt musst Du nur noch das Integralzeichen davorsetzen und die Grenzen x=0 und x=d einsetzen. Dann hast Du den gesamten dielektrischen Widerstand. Da brauchst Du doch nichts mehr zu überlegen, es geht doch nur ums Abschreiben.
Ich habe sowieso das Gefühl, dass nicht nur Du nicht weißt, was Du beim Integrieren machst und warum und vor allen Dingen, was Du zu integrieren hast.
Bei einer Reihenschaltung müssen (dielektrische) Widerstände addiert (integriert) werden, bei einer Parallelschaltung ihre Kehrwerte. Hättest Du beispielsweise eine Parallelschichtung, also eine Parallelschaltung von Kapazitäten mit eps = f(y), dann musst Du die Kehrwerte der Widerstände, das sind nun mal die differentiell kleinen Kapazitäten, aufsummieren (=integrieren). Die differentiell kleine Kapazität einer solchen differentiell kleinen Parallelschicht wäre
dC = eps(y)*dA/d
Dabei wären die Plattenabmessungen beispielsweise b (senkrecht zur Zeichenebene) und l (in y-Richtung), die differentiell kleine Fläche also
dA = b*dy
---> dC = eps(y)*b*dy/d
Und das müsstest Du dann aufsummieren (integrieren) von y=0 bis y=d. Was gäbe es denn da noch zu überlegen? |
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Olle
Gast
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| Olle Verfasst am: 08. Nov 2009 20:23 Titel: |
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hi,
das was du geschrieben hast ist das was ich meinte, ob ich das so machen soll/so richtig verstanden hab.
mit dem unterschied, dass dein eps(x) falsch ist
ich hab gegeben:
eps(x)=m*x+h
eps(0)=a => h=a
eps(d)=b=md+a <=>m=(b-a)/d
=>eps(x)=(b-a)/d*x+a
das d muss also da rein. aber das ist ja auch unwichtig. ich weiß jetzt auf jeden fall, was ich zu tun habe.
dankeschön! |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 08. Nov 2009 22:28 Titel: |
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| Olle hat Folgendes geschrieben: | | mit dem unterschied, dass dein eps(x) falsch ist |
Du hast Recht. Hab das d im Nenner vergessen. Aber das, was Du geschrieben hattest, war auch falsch. Das letzte Multiplikationszeichjen musste ein Pluszeichen sein. Das wollte ich damit nur sagen. |
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