lösbarkeit der schrödingergleichung

d;-) · Anmeldungsdatum: 01.04.2009 Beiträge: 66

mir gehen zur zeit folgende fragen durch den kopf:

"hat die schrödingergleichung eigentlich immer eine lösung? ist diese lösung eindeutig?
was für eigenschaften muss dabei eigentlich der hamiltonoperator besitzen?"

für die zeitunabhängige SGL kann man das noch relativ einfach beantworten:

dies ist eine fixpunktgleichung
der hilbertraum ist ein banachraum .. also existiert nach dem banach'schen fixpunktsatz eine eindeutige lösung .. insbesondere für jeden operator

jetzt kommt der knifflige teil .. wie sieht das für die zeitabhängige SGL aus??

... hat jemand ne idee!?!

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Nur eine Frage am Rande: was verstehst du hier unter eindeutig? Es gibt ja schon für ein Kastenpotenzial keine eindeutige Lösung, sondern eine diskrete Menge an Lösungsfunktionen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Das Verhalten hängt wesentlich von den Eigenschaften des Hamiltonoperators ab.

Aus physikalischen Gründen kann man sich dabei auf symmetrische Operatoren beschräken, d.h.

Damit ist sichergestellt, dass H ein reelles Spektrum hat.

In den meisten Fällen wird man außerdem eine selbstadjungierte Erweiterung fordern; das ist jedoch nicht immer möglich;ein Gegenbeispiel wäre das freie Teilchen auf den positiven reellen Zahlen. Selbstadjungiert bedeutet dabei, dass die Definitionsbereiche übereinstimmen.

H muss natürlich nach unten beschränkt sein, d.h. es muss einen "kleinsten Energieeigenwert" geben, sonst könnte ein Quantenobjekt "unendlich tief in das Potential fallen".

Ob einem die Eigenschaften des Banachraumes dabei weiterhelfen ist mir nicht so ganz klar. Man benötigt ja ganz wesentlich die Eigenschaften des Hilbertraumes, also die Existenz eines Skalarproduktes (mit entsprechend normierbaren Eigenvektoren) sowie die Symmetrie bzw. Selbstadjungiertheit des Hamiltonoperators. All dies garantiert der Banachsche Fixpunktsatz natürlich nicht.

Ich bin mir auch nicht sicher, ob man nicht zusätzlich die Separabilität des Hilbertraumes fordern muss, bzw. dass die Eigenvektroren eine abzählbare Basis aufspannen. Ich weiß nicht, ob der Formalismus der QM ohne diese Eigenschaften auskommt (ich weiß, dass man die Separabilität teilweise fallen lässt, aber das sind dann schon recht abgehobene Theorien zur Quantengravitation).

Für die zeitabhängigte Schrödingergleichung ist das alles trivial, solange es sich um einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator handelt; dann ist ein Separationsansatz ja immer durchführbar. Für zeitabhängige Operatoren H(t) wäre zunächst zu prüfen, welche Form der Zeitabhängigkeit überhaupt physikalisch sinnvoll ist.