Rotation von Kugeln/Scheiben

Kr0e · Anmeldungsdatum: 26.11.2008 Beiträge: 7

Hallo,

ich bin schon wirklich lange dran an folgendem Problem und
habe diese FRage in vielen Foren gestellt, wo die Antworten mich
leider nicht weitergebracht haben.

2 Scheiben ruschten reibungsfrei über eine "Druckluftfläche"... Die Scheiben haben an den Rändern eine Gummibeschichtung... damit, falls sie zusammenstoßen, sie sich drehen.
..__
/......\ Diese Scheibe dreht sich zu Beginn kein Stück und rutscht geradlinig nach unten.
| ......| m = 5 kg, v = -1m/s (das - weil sie nach unten ruscht)
\ __ /

.......__
...../..... \ Diese Scheibe dreht sich zu Beginn kein Stück und rutscht geradlinig nach oben.
.... |.......| m = 5 kg, v = 1m/s
.....\ __ /

Ich würde nun gerne die anschliessende Rotation berechnen, mit der Annahme, dass die Reibung ziwschen den Scheiben sehr hoch ist...
(Deshalb eine Gummibeschichtung am Rand...)

Die Bewegungsimpulse kann ich ohne Probleme berechnen, aber wie drehimpulse 1. ausgetauscht, 2. entstehen. Mit Punkt 2 meine ich den Fall, dass sie sich eben nicht drehen, womit es keinen Drehimpuls gäbe... Aber dennoch fangen sie sich ja an, danach zu drehen.
Da ich genug Daten hab, kann ich das Trägheitsmoment berechnen, aber wie ich davon auf eine Rotationsbeschleunigung, bzw Kraft schliessen kann, ist mir zweifelhaft. Für meine Berechnung sehe ich den Austausch der Impulse und die Übertragung von Rotationsenergie als "sofort" an. Sprich t sollte keine Rolle spielen !

So, ich hoffe ihr könnt mir helfen, bin wirklich langsam am verzweifeln...

Ich bin mir im klaren darüber, dass dies wohl schon eine sehr schwere Aufgabe ist aber dsie müsste ja dennoch lösbar sein wie alles auf der Welt Zunge raus

Gruß Chris

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich denke, mit "Druckluftfläche" meinst du so etwas wie eine zweidimensionale Luftkissenbahn, also zum Beispiel eine Platte mit vielen Löchern, aus denen Luft kommt, auf der die Scheiben nahezu reibungslos gleiten können. Und mit "oben" und "unten" beziehst du dich auf deine Skizze, die diese Fläche zeigt, wie man sie sieht, wenn man von oben draufschaut.

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Mir scheint, deine bisherige Berechnung der Impulse hast du mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes und des Energieerhaltungssatzes gemacht, wobei du den Energieerhaltungssatz für die Translationsenergien

verwendet hast.

Der gilt aber nur, wenn bei dem Stoß keine Rotation entsteht. Denn wenn die Scheiben nach dem Stoß rotieren sollen, dann müssen natürlich in diesem Energieerhaltungssatz zusätzlich noch die Rotationsenergien nach dem Stoß mit berücksichtigt werden.

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Deine Idee, die Zeitdauer des Stoßes näherungsweise als sehr kurz zu betrachten, erscheint mir zum einen sinnvoll. Konkret würde ich dafür vorschlagen, näherungsweise anzunehmen, dass die Stoßzeit multipliziert mit der Scheibengeschwindigkeit vor dem Stoß klein sein soll gegenüber dem Durchmesser einer Scheibe.

Denn dann ändert sich die Richtung der Verbindungslinie zwischen den beiden Scheibenmittelpunkten während des Stoßes nur unwesentlich, was die Berechnung vereinfacht.

Ich würde allerdings die Zeitdauer des Stoßes nicht so stark aus dem Bewusstsein verdrängen, dass ich sie für alle Überlegungen Null setzen würde. Denn ich finde, einige Aspekte dieses Stoßes versteht man erst dann leicht, wenn man sich überlegt, was während so eines Stoßes im Detail passiert.

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Was passiert nun während so eines Stoßes, und von welchen Einflussgrößen hängt es ab, wie stark die Scheiben dabei in Rotation versetzt werden?

Fangen wir erst einmal mit einem Stoß an, bei dem die Scheiben gar nicht in Drehung versetzt werden, zum Beispiel weil der Haftreibungskeffizient zwischen den Scheibenoberflächen dafür viel zu klein wäre. Dann würden die Scheiben nur elastisch in radialer Richtung eingedrückt, wie eine Feder, und der Impulsübertrag beim Stoß würde nur in radialer Richtung erfolgen.

Der Impulsübertrag wäre dann gleich dem dabei übertragenen Kraftstoß:

, wobei der Zeitverlauf von

von der Federkonstanten

für das radiale Zusammendrücken der Scheibenränder bestimmt wird.

Betrachten wir nun einen Stoß, in dem der Haftreibungskoeffizient zwischen den Scheibenrändern groß genug ist, damit während des Stoßes eine Kraftkomponente tangential zum Scheibenrand übertragen werden kann (so etwas nennt man "Scherspannung"). Und bei dem zusätzlich das Material der Scheibenränder in tangentialer Richtung elastisch verformt ("wie eine Feder gespannt") werden kann.

Dann bekommen wir nicht nur einen Impulsübertrag in radialer Richtung sondern auch einen Impulsübertrag in tangentialer Richtung

und dementsprechend wegen

einen Drehimpulsübertrag

(= einen Drehmoment-Stoß

). Wie groß der ist, wird natürlich dementsprechend von den elastischen Eigenschaften in tangentialer Richtung bestimmt, also in unserem Betrachtungsmodell mit der Feder durch die Federkonstante

für die Beziehung zwischen tangentialer Kraft und tangentialer Auslenkung des Scheibenrand-Materials aus seiner Gleichgewichtslage.

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Ich würde also sagen:

Wie stark die beiden Scheiben bei ihrem Stoß in Drehung versetzt werden, hängt zum einen zwar vom Haftreibungskoeffizienten zwischen den Oberflächen, zum anderen aber auch entscheidend von den elastischen Eigenschaften ihrer Ränder ab.

Eine relativ einfache Abschätzung dieses Vorgangs könnte man vielelicht mit einem einfachen Feder-Modell mit radialer und tangentialer Federkonstanten versuchen.

Eine detailliertere Berechnung, die zum Beispiel berücksichtigt, dass die Verformungen der Scheibenränder keine einfachen Federstauchungen, sondern eher zum Beispiel muldenförmige Einbuchtungen und Verzerrungen sind, dürfte schnell zu deutlich komplizierteren Rechnungen führen, die man dann bald vielleicht schon viel lieber numerisch mit Computerprogrammen als mit Rechnungen von Hand angehen würde.

Kr0e · Anmeldungsdatum: 26.11.2008 Beiträge: 7

Hi!

Zuerst möchte ich dir danken! Sehr nett, dass du soviel Zeit investierst!

Nun zu deiner Lösungsidee:

Also das Problem trat bei einer Computersimulation auf, genauer gesagt bei der Programmierung einer 3D-Physik Engine, insofern wird das ganze System sowieso vom Rechner berechnet...

Aber die muldenförmige Eindellung werde ich nicht simulieren Augenzwinkern

.

So, nun zu der Idee mit der Feder, die ich leider nichzt so richtig verstehe:

Die Elastizität spielt also auch bei der Rotation eine Rolle ?
Ich hatte gehofft, dass die "nur" bei der Berechnung der Translationsenergie wichtig sei unglücklich

.

Der Reibungskoeffizient ist natürlich wichtig!

Mein größtes Problem bestand darin, dass ich wohl davpn ausgehe t = 0!
Denn ich kam einfach auf kein Drehmoment ! (Wie auch, und so drehte ich mich mit den Formeln im Kreis )

Tanzen

Wie du auf die Zeit kommst ist mir leider auch fern! Wäre nett, wenn du das nochmal etwas genauer erklären könntest:

1. Die Frage ist bestimmt dumm, aber was heißt << ? Ich habe bisher lediglich 12. Klasse Mathe-LK-Wissen...

2. Dein Vorschlag ist ja, t nicht gleich 0 zu setzen, aber je kleiner t ist, desto größer bzw. ansich doch fast unendlich groß müsste auch die Kraft sein, die bei dem Drehmoment herscht ? Iwie verrenn ich mich glaub ich

Klo

Wie du dann mit Hilfe der Zeit auf ein Drehmoment kommst, ok das verstehe ich ...

Mein Physiklehrer wusste auf Anhieb garkeinen RaT Lehrer

Aber nungut, du scheinst tiefgehendes Wissen darüber zu haben und ich muss sagen Respekt, dass du das so bereitwillig mit Anderen teilst und dabei jede Menge Arbeit aufnimmst ...

So nun aber gute Nacht!

Schläfer

Gruß Chris

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Kr0e · Anmeldungsdatum: 26.11.2008 Beiträge: 7

Brauch ich nicht für die Berechnung der Dauer die Länge der Feder ?

Zum Impuls:

Der Impuls hinterher müsste vom Betrag her der Selbe sein! Natürlich wird die Geschwindigkeit dabei rumgedreht.

Gruß Chris

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Kr0e · Anmeldungsdatum: 26.11.2008 Beiträge: 7

Es gibt keine Impulsänderung!

Wegen der Federung schau ich mal noch nach !

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Hallo,

vieleicht kann ich auch noch einen Nützlichen Tipp dazusteuern, es geht
hier mehr um die Umsetzung in Simulationen als um physikalische Erklärungen, also lasst euch in euere Diskussion nicht davon stören.

Ohne Kontaktmodell kommt man hier nicht zu einer Lösung. Wie Markus
schon sagte braucht man sowohl für die tangentiale, als auch für die normale Richtung ein Modell. Ich würde hier das Modell von Cundall
und Strack vorschlagen, das ist so ähnlich wie der Vorschlag von Markus.
(edit: Wenn man so ein Modell implementiert, kann man die Bewegungsgleichungen numerisch lösen, mit realistischen Parameter braucht man jedoch meist recht kleine Zeitschritte.)

Für deine Simulation ist aber eventuell ein anderer Weg sinnvoll.
Man kann das Konzept der Restitutionskoeffizienten nutzen. Dazu
bestimmt man zunächst die normale und die tangentiale Relativgeschwindigkeit der beiden Scheiben. Dazu brachen wir zunächst
die Relativgeschwindigkeit zwischen den Mittelpunkten:

Um die Normalkomponente, also der Teil der Geschwindigkeit der parallel
zur Verbindungslinie der beiden Scheiben ist, zu erhalten definieren wir uns zunächst eine Vektor der die Länge eins hat und in eben diese Richtung zeigt:

Die Normakomponente dieser Geschwindigkeit ist

Um die Tangentialkomponente zu erhalten definieren wir uns analog einen
Vector, der in die tangentiale Richtung zeigt. In zwei Dimensionen ist das
recht einfach, wenn

und

die Komponenten von

sind, kann man als Tangentialvektor

nehmen.
Die Tangentialkomponente der Relaltivgeschwindigkeit ist dann

.
Das ist aber erst die halbe Wahrheit, denn es geht um die Relativgeschwindigkeit am Kontaktpunkt, und wenn die Scheiben rotieren macht auch dies einen Beitrag. Der Betrag der Geschwindigkeit eines den Scheibenrändern ist

.
Es kommt also noch ein Beitrag dazu, die richtige Tangentialgeschwindigkeit ist dann

.
(hier muss man mit den Vorzeichen aufpassen, am besten man macht sich eine Skizze).
Man sagt nun der Stoss ist sehr kurz, so das sich Normal- und Tangentialrichtung nicht ändern, aber die Relativgeschwindigkeiten.

.
Die Koeffizienten

und

nennt man normalen und tangentialen Restitutionskoeffizienten. Im Allgemeinen sind diese Abhängig von den Kollisionsgeschwindigkeiten, aber im einfachsten Fall betrachtet man sie als konstant.
Der normale Restitutionskoeffizient kann Werte zwischen 1 (elastischer Stoß) und 0 (volkommen inelastischer Stoß) annehmen. Interesanterweise kann der tangentiale Koeffizient Werte zwischen 1 (keine tangentialen Kräfte) und -1 (sehr weiches Gummi, kein Rutschen nur elastische Deformation) annehmen. Nun hat man die relative Tangential- und Normal Geschwindigkeit nach dem Stoss. Wir wollen aber die Geschwindigkeiten der Teilchen vor und nach dem Stoss, sowie die Winkelgeschwindigkeiten haben. Zusammen mit Impuls und Drehimpulserhaltung findet man diese auch, die Rechnung ist etwas länger, ich gebe mal das Ergebnis an. Dieses Ergebnis ist aber nur für identische Scheiben Richtig (gleicher Radius R, gleiche Masse M, gleiches Trägheitsmoment J), ansonsten wird es noch länger.

So, das war jetzt doch mehr als ich ursprünglich schreiben wollte. Ich hoffe es hilft dir etwas weiter.

edit:
OT - ich sehe gerade: dies ist mein 333 Beitrag, darauf ein Prost

.

Kr0e · Anmeldungsdatum: 26.11.2008 Beiträge: 7

Hallo,

@sax:

Auch dir gilt mein Dank! Letztenendes hast du Recht, da es um eine Simulation geht, ist es wichtig, dass ich diese Werte habe und, was noch viel wichtiger ist, verstehe wie man dorthin kommt! Dies konnte ich nun anhand deines Beispiels sehr gut, da es praxis-bezogen war.

Da ich ich mich auch noch für den Fall von unterschiedlichen Radien bzw Massen interessiere, versuche ich mal die Formel zu vervollständigen. Ich hoffe, dass du mir, falls ich nicht weiter komme, nochmal helfen kannst.

Hilfe

Gruß Chris

Kr0e · Anmeldungsdatum: 26.11.2008 Beiträge: 7

Ich bins nochmal:

@sax: Ich hab gedacht ich könnte darauf kommen, wie du es geschafft hast, diese Formel herzuleiten... Aber fehlanzeige...
Wieso rechnest du SAchen wie 1 + \epsilon t .. Vlt. gehts nur mir so, aber wenn ich nicht weiß wie du genau darauf gekommen bis, fällt es schwer, zu begreifen wie du es geschafft hsat, diese formel aufzustellen?

Ich verlang ja garkeine genaue Herleitung, aber vlt wenigstens die Grundfkt.(en) auf die du dich beziehst..
Entschuldigung für die Umstände...

Gruß Chris

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Hallo,

ich kann das demnächst mal ausführlicher schreiben, muss aber mal schauen
wann ich Zeit dazu habe, da es eine etwas längere Rechnung wird. Ich denke
ich werde erst am Wochenende dazu kommen.

Kr0e · Anmeldungsdatum: 26.11.2008 Beiträge: 7

Das macht doch nichts, ich bin froh, dass ich einen gefunden hat, der mit weiterhelfen kann !

Gruß Chris