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Hagbard
Anmeldungsdatum: 07.02.2006
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 Hagbard Verfasst am: 06. Jul 2008 13:16 Titel: Wirkungsquerschnitt eines Atoms | Einsteinkoeffizienten |
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Hallo, ich versuche gerade Überlegungen aus der Atomphysikvorlesung nachzuvollziehen und hänge momentan etwas.
Der Ausgangspunkt ist folgender:
Energieübergänge zwischen Niveau E2 und E1 (mit E2 > E1) im Atom können bei Lichteinstrahlung im Wesentlichen über drei Wege stattfinden:
I. induzierte Absorption
Elektron ist im Zustand E1 und wird durch Absorption eines Photons auf E2 angehoben
Die WK hierfür ist proportional zur Teilchenzahl N1 und zur Energie des Lichtes.
Die Rate dieses Prozesses sei gleich "A21"
II. spontane Emission
Elektron ist in E2 und da E2 > E1 ist besteht die Möglichkeit, dass das e- auch ohne Anregung durch ein Photon unter Aussendung eines Photons von E2 auf E1 "springt".
Da dieser Prozess nicht angeregt ist hängt seine Häufigkeit nur von der Anzahl N2 ab.
Rate sei B21
III. induzierte Emission
Ähnlich wie bei II. kann der Übergang von E2 -> E1 aber auch durch ein Photon hervorgerufen werden...
Häufigkeit ist also proportional zu N2 und der Energie des Lichtes.
Gleich wahrscheinlich wie B21 => B12 = B21 = B
Nach der Boltzmann-Statistik verhalten sich die Teilchenzahlen N1 und N2 in den Energieniveaus E1 und E2 (im Gleichgewicht... d. h. N1/N2 = konst.) so:
Was ich oben Energie des Lichtes genannt habe setzt sich aus dem Planck´schen Strahlungsgesetz folgendermaßen zusammen:
} \cdot ~dV ~df ) mit }=\frac{8 \cdot \pi \cdot h \cdot f^3}{c^3 \cdot (e^{\frac {h \cdot f}{k \cdot T}}-1)} )
Das Gleichgewicht zwischen Übergängen von 1 -> 2 und umgekehrt lautet dann:
} = N1 \cdot B \cdot u_{(f)})
Durch Einsetzen bekommt man raus, dass  ist.
Jetzt hat mein Prof. gesagt, dass man die durch das Atom aus dem Lichtstrahl absorbierte Leistung über den Wirkungsquerschnitts des Atomes errechnen kann zu:
}~df = \int_{Resonanz}^{}~h \cdot f \cdot B \cdot g(f) \cdot \frac {I}{c}~df)
Durch vergleichen der beiden mit "=" verbundenen Integrale hat er dann den Wirkungsquerschnitt ermittelt... Wie er aber auf das zweite Integral kommt ist mir ein Rätsel. Ich hatte mir überlegt, dass der Wirkungsquerschnitt natürlich zur Absorptionsrate B proportional sein muss (große Fläche, große Absorption) und außerdem zu einer Funktion, die beschreibt wie stark das Atom bei der Frequenz "f" absorbiert. Kann mir jemand sagen wo das I/c herkommt?
[EDIT 14:37 Uhr] Das die Funktion g(f) eine Lorentz - Resonanzkurve ist leuchtet mir jetzt mittlerweile ein. Im Bereich der Resonanz kommt es zu starker Absorbtion und diese Funktion beschreibt also die spontane Emission (ausgelöst durch Vakuum Fluktuationen).
Den Bogen mit dem "I / c" habe ich leider noch nicht gespannt.
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Immer schön die Kirche im Dorf lassen... und dann in die Stadt ziehen. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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| dermarkus Verfasst am: 06. Jul 2008 16:08 Titel: |
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Ich glaube, da dürfte das Ausräumen von zwei Missverständnissen und ein Tipp weiterhelfen:
1) Die Zuordnung der Einstein-Koeffizienten lautet anders:
-  ist der Einstein-Koeffizient der induzierten Absorption
-  ist der Einstein-Koeffizient der induzierten Emission
-  ist der Einstein-Koeffizient der spontanen Emission.
2) Der Einstein-Koeffizient für die spontane Emission ist zwar in der Tat gleich der Rate pro Atom für diesen Vorgang.
Die Einstein-Koeffizienten und sind aber nicht direkt die Raten der Übergänge, sondern sie sind der Proportionalitätsfaktor zwischen diesen Raten  und der spektralen Energiedichte ) , denn diese Übergangsraten hängen ja zusätzlich noch davon ab, wieviel Licht da ist.
Also lautet die Rate pro Atom für induzierte Absorption:
)
und die Rate pro Atom für induzierte Emission
) .
* Tipp:
 ist die Intensität des eingestrahlten Lichtes, also die Energie pro Fläche und Zeit.
Also ist  die Energiedichte des Lichtes, also die Energie pro Volumen.
Also ist  die spektrale Energiedichte des Lichtes, also die Energie pro Volumen und Frequenzintervall, die in den Gleichungen deines Profs mit bezeichnet wird.
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Hilft dir das schon weiter dabei, dich erfolgreich durch den "Einheitendschungel" zu schlagen, und um dir einen klaren Weg durch all die
"Raten oder Raten pro spektraler Energiedichte",
"Intensität als Energie pro Fläche und Zeit",
"Energiedichte als Energie pro Volumen",
"spektrale Energiedichte als Energie pro Volumen und Frequenzintervall",
"Gesamtübergangsrate als Zahl der Atome im passenden Zustand mal Rate pro Atom", ...
zu schlagen, auch wenn in diesem Dschungel die Variablenbuchstaben alleine oft schon nicht mehr ganz reichen, um die zugehörige Einheit auf den ersten Blick erkennbar zu machen? |
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Hagbard
Anmeldungsdatum: 07.02.2006
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| Hagbard Verfasst am: 06. Jul 2008 18:10 Titel: |
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Oh, die Fehler in der Einsteinkoeffizienten - Nomenklatur habe ich natürlich unabsichtlich reingebracht. "A" steht freilich für die spontane Emission... schließlich sind die beiden induzierten Übergänge "B" ja miteinander verwandt.
Mit den Raten hast du natürlich auch recht. Da habe ich mich ziemlich undeutlich ausgedrückt und nicht ganz richtig gedacht  .
Ach herrjeh...
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Ein großes Dankeschön.
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Immer schön die Kirche im Dorf lassen... und dann in die Stadt ziehen. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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| dermarkus Verfasst am: 08. Jul 2008 19:09 Titel: |
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| Hagbard hat Folgendes geschrieben: |
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Von den Einheiten stimmt das nun schon prima.
Von der Interpretation her würde ich allerdings hier nicht davon ausgehen, dass in dem betrachteten Volumen V nur ausgerechnet gerade ein einziges Photon umherschwirrt.
Also sollte man hier wohl statt  besser so etwas wie  schreiben, wobei dann  die Anzahl der Photonen mit Frequenz  ist, die sich innerhalb des Volumens V befindet.
Vielleicht magst du dir ja mal bei Gelegenheit genauer anschauen und formulieren, was all die Größen in dem Integral rechts sind und welche Einheit sie konkret haben (insbesondere auch das  und das ) ), so dass dieses Integral am Ende genau die Bedeutung der gewünschten Übergangsrate hat? |
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Hagbard
Anmeldungsdatum: 07.02.2006
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| Hagbard Verfasst am: 11. Jul 2008 09:39 Titel: |
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Meiner Überlegung nach müsste das mit den Einheiten so sein:
] = \frac {W}{m^2})
Auf B bin ich gekommen, weil ja }) keine Einheit hat sondern schlicht und einfach die Teilchenzahl ist. Also muss B den die Einheit von u(f)^-1 haben.
}] = [\frac {N \cdot h \cdot f}{\Delta f \cdot dV}] = \frac {Ws }{s^{-1} \cdot m^3})
Deuten würde ich "B" einfach als Proportionalitätskonstante in folgendem Sinne:
Die Anzahl an induzierten Übergängen ist proportional zu der Energie, die die Photonen mit Frequenzen innerhalb eines Intervalls  haben, bezogen auf ein bestimmtes Volumen.
g(f) hat die Einheit einer Intensität. Ich dachte mir, dass diese Funktion beschreibt welche Leistung ein Atom aus Photonen (die wieder Energien zwischen  und ) haben) pro wirksamer Absorptionsfäche "ziehen". Diese Kurve müsste eine sehr schmale lorentzförmige Kurve sein, weil die Energieübergänge in Atomen ziemlich "scharf" sind.
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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| dermarkus Verfasst am: 11. Jul 2008 19:02 Titel: Re: Wirkungsquerschnitt eines Atoms | Einsteinkoeffizienten |
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Mit deinen Einheiten für B und u(f) bin ich einverstanden; mit der Einheit für g(f) noch nicht.
Das g(f) ist eine Gewichtungsfunktion im Frequenzraum, die angibt, um welchen Gewichtungsfaktor das ganze in der Nähe der Resonanz stärker abläuft als weiter offresonant. Sie ist eine Anzahl oder ein Anteil pro Frequenzintervall.
Das g(f) hat also die Einheit einer Größe "1 durch Frequenzintervall", also ]= \frac{1}{\rm Hz}) .
Magst du damit dann mal überprüfen, ob die gesamte Gleichung
| Hagbard hat Folgendes geschrieben: |
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schon von den Einheiten her aufgeht? |
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Hagbard
Anmeldungsdatum: 07.02.2006
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| Hagbard Verfasst am: 13. Jul 2008 19:46 Titel: |
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 \cdot I \cdot c^{-1} \cdot df ])
Danke fürs Nachhaken; ich weis gerade nicht mehr wie ich da vor zwei Tagen umgeformt habe um [g(f)] zu bekommen
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 15. Jul 2008 10:04 Titel: |
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